平行線分線段成比例定理、作第四比例項

------------------------------------數(shù)學(xué)驛站------------------------------------平行線分線段成比例定理、作第四比例項平行線分線段成比例定理、作第四比例項重點和難點：平形線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線的性質(zhì)和判定一、知識點回顧1、定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（這個定理其實就是平行線分線段成比例定理的推論的逆定理）2、定理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。這兩個定理以及之前學(xué)過的平行線分線段成比例定理及其推論在應(yīng)用時都要注意“對應(yīng)”二字，所寫出的比例式對應(yīng)位置一定要是對應(yīng)線段。例如：BC∥DE，不能將比例寫成，因為這樣比例式的左邊和右邊是不對應(yīng)的。二、例題：已知線段a、b、c，求作a、b、c的第四比例項。作法：（1）、任意作∠MON。（2）在邊OM上順次截取OA=a，AB=b，在邊ON上截取OC=c。（3）連結(jié)AC，過點B作BD∥AC，交邊ON于點D則線段CD為所求。如圖，F(xiàn)是□ABCD的邊CD上一點，連結(jié)BF，并延長BF交AD的延長線于點E。求證：證明：∵□ABCD∴CD∥AB，AD∥BC∴（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例）同理可得∴說明：本題是證明等積式的典型題。要證明，經(jīng)常要把它轉(zhuǎn)化為兩個等式：和。我們通常把叫做中間比。而找中間比的常見的方法就是通過找到平行線，然后利用平行線分線段成比例定理和它的推論來構(gòu)造比例式。如圖，D、E、F分別為△ABC邊BC、CA、AB上的點，。連結(jié)DE、CF。求證：DE和CF互相平分。分析：證明兩條線段互相平分，最好的方法就是證明這兩條線段是一個平行四邊形的對角線。因此可以連結(jié)EF、DF，然后證四邊形DCEF是平行四邊形。證明：連結(jié)EF、DF∵∴EF∥BC（如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。）同理DF∥AC∴四邊形DCEF是平行四邊形∴DE和CF互相平分說明：證兩直線平行，通常都是通過證角的關(guān)系來得到，現(xiàn)在我們又有了新的方法——證對應(yīng)線段成比例。如圖，在△ABC中，E為中線AD上的一點，。連結(jié)BE，延長BE交AC于點F。求證AF=CF。證明：作DH∥AC，交BF于點H∴（平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。）∵D是BC的中點∴=∵同理可得∴∴AF=CF說明：在證線段成比例這一類問題中，平行線是常見的輔助線。已知：如圖，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，連結(jié)AD，BC交于E，EF⊥BD于F。求證：證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD∴AB∥EF∥CD∴（平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。）∴∴說明：證明通常是把它轉(zhuǎn)化為證。三、訓(xùn)練題：1、將正方形ABCD的BC邊延長到E，使CE=AC，AE與DC相交于點F，則CE：FC=（）A、2+ B、+1 C、－1 D、2－2、如圖所示，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，下列各式中不正確的是（）A、 B、C、 D、3、如圖，梯形ABCD，AD∥BC，AC、BD交于點O，過點O作EF∥AD交AB、CD于點E、F，則（）A、OE=OF B、OE≠OF C、OE>OF D、OE<OF4、如圖，在□ABCD中，E在AD上，且4AE=5DE，CE交BD于F，則BF：DF=（）A、4：5 B、9：4 C、10：4 D、5：95、如圖，已知D為△ABC的邊AC的中點，EF過D交AB及BC延長線于E、F。求證：6、如圖，已知在△ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，BE=AD，ED和AB相交于F。求證：。7、如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使BD=CE，DE