第四講文藝復興時期的數學

第四講文藝復興時期的數學第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三1中世紀的歐洲

時代背景公元476年，西羅馬帝國在各種蠻族的猛攻下滅亡。在舊帝國的不同部分不久便形成了一些封建社會，這意味著歐洲各民族國家的長期發(fā)展過程的肇始。然而，在隨后五個世紀中，歐洲文化的總體水平很低。商品經濟的發(fā)展為政教分離和宗教改革奠定了基礎。2010年8月2文藝復興時期的數學第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三中世紀的歐洲

時代背景西羅馬帝國滅亡后至文藝復興以前的時代被稱為“中世紀”。此時，歐洲各地的封建政權利用教會勢力和宗教壟斷社會文化，這一時期（公元5－11世紀）被史學家稱為“最黑暗的時期”。天主教會成為歐洲社會的絕對勢力。封建宗教統(tǒng)治，使一般人篤信天國，追求來世，從而淡漠世俗生活，對自然不感興趣。教會宣揚天啟真理，并擁有解釋這種真理的絕對權威，導致了理性的壓抑，歐洲文明在整個中世紀處于凝滯狀態(tài)。2010年8月3文藝復興時期的數學第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三中世紀的歐洲

數學成就不過因宗教教育的需要，也出現一些水平低下的算術和幾何教材。羅馬人博埃齊根據希臘材料用拉丁文選編了《幾何》、《算術》等教科書，《幾何》內容僅包含《幾何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命題，以及一些簡單的測量術；《算術》則是根據400年前尼科馬科斯的一本淺易的著作編寫的。2010年8月4文藝復興時期的數學第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三中世紀的歐洲

數學成就古代學術傳播西歐的線路圖波斯希臘印度中國唐漢中國宋元巴格達北非西西里意大利西班牙西歐可以說12世紀是歐洲數學的翻譯時代。最偉大的翻譯家杰拉德將90多部阿拉伯文著翻譯成拉丁文，其中包括托勒玫的《大成》、歐幾里得的《原本》、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》以及阿基米德的《圓的度量》。2010年8月5文藝復興時期的數學第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三中世紀的歐洲

數學成就歐洲黑暗時期過后，第一位有影響的數學家是斐波那契(1170-1250)。代表作《算經》，內容涉及整數和分數算法，開方法，二次和三次方程以及不定方程。特別是，書中系統(tǒng)介紹了印度－阿拉伯數碼，對改變歐洲數學的面貌產生了很大影響。2010年8月6文藝復興時期的數學第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三中世紀的歐洲

數學成就1228年的《算經》修訂版還載有如下“兔子問題”：某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個月就能生育。問從這對兔子開始，一年內能繁殖成多少對兔子？《算經》可以看作是歐洲數學經歷了漫長的黑夜之后走向復蘇的號角。2010年8月7文藝復興時期的數學第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三1個月1個月1個月1個月2010年8月8文藝復興時期的數學第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三中世紀的歐洲

數學成就歐洲數學復蘇的過程十分曲折，從12世紀到15世紀中葉，教會的經院哲學派利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學的進步。歐洲數學真正的復蘇，要到15、16世紀。在文藝復興的高潮中，數學的發(fā)展與科學的革新緊密結合在一起，數學在認識自然和探索真理方面的意義被文藝復興的代表人物高度強調。2010年8月9文藝復興時期的數學第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號代數的引入兩個方面。2010年8月10文藝復興時期的數學第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學帕喬利在1494年指出，對一般的三次方程還沒有得到代數解，但整個15世紀和16世紀早期，許多數學家都在探索這個問題。2010年8月11文藝復興時期的數學第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學2010年8月12文藝復興時期的數學第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學波倫比亞大學的數學教授費羅(1465-1526)在1515年發(fā)現了形如的三次方程的代數解法。1535年意大利另一位數學家塔塔利亞(1499?-1557)宣稱自己可以解形如兩類型的所有三次方程2010年8月13文藝復興時期的數學第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學2010年8月14文藝復興時期的數學第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學2010年8月15文藝復興時期的數學第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學在法國，數學家韋達(1540-1603)寫了《分析引論》、《論方程的整理與修正》與《有效的數值解法》等方程論著作，其中包括給出代數方程的近似解法與代數方程的多項式分解因式解法。2010年8月16文藝復興時期的數學第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學代數學上的進步還在于引用了較好的符號體系，這對于代數學本身的發(fā)展以及分析學的發(fā)展來說，至關重要。正是由于符號化體系的建立，才使代數有可能成為一門科學。近現代數學最為明顯的標志之一，就是普遍使用了數學符號，它體現了數學學科的高度抽象與簡練。2010年8月17文藝復興時期的數學第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學數學符號系統(tǒng)化首先歸功于法國數學家韋達，由于他的符號體系的引入導致代數性質上產生重大變革。在《分析引論》中，他第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數字母和符號，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量。他把符號性代數稱為“類的算術”，同時規(guī)定了算術與代數的分界，認為代數運算施行于事物的類或形式，算術運算施行于具體的數。2010年8月18文藝復興時期的數學第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

代數學對韋達所使用的代數符號的改進工作是由笛卡兒完成的，他首先用拉丁字母的前幾個(a，b，c，d，…)表示已知量，后幾個(x，y，z，w，…)表示未知量，成為今天的習慣。到17世紀末，歐洲數學家已普遍認識到，數學中可以使用符號具有很好的效果。并且使數學問題具有一般性。不過當時隨意引入的符號太多，今天所使用的符號，實際使這些符號經過長期淘汰后剩下的。2010年8月19文藝復興時期的數學第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

三角學“三角學”，英文trigonometry，來自拉丁文trigonometria。在古希臘文里沒有這個字，原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的學科，而是依附于天文學。最早使用trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯，德國人，1595年出版《三角學：解三角形的簡明處理》，創(chuàng)造了這個新詞。由triangulum（三角形）和metricus（測量）兩字湊合而成。三角學輸入我國，開始于明崇禎4年。這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為歷書的一部分呈現給朝廷。這是我國第一部三角學，卷首說明《大測》名稱的意義：“大測者，測三角形之法也?！?010年8月20文藝復興時期的數學第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

三角學航海、歷法推算以及天文觀測的需要，推動了三角學的發(fā)展。早期三角學總是與天文學密不可分。在1450年以前，三角學主要是球面三角，后來由于間接測量、測繪工作的需要而出現了平面三角。在歐洲，第一部脫離天文學的三角學專著是雷格蒙塔努斯(1436-1476)的《論各種三角形》，而在其另一部著作《方位表》中，制定了多達5位的三角函數表。雷格蒙塔努斯首次對三角學做出完整、獨立的闡述，使其開始在歐洲廣泛傳播。2010年8月21文藝復興時期的數學第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

三角學哥白尼的學生雷提庫斯(1514-1576)將傳統(tǒng)的弧與弦的關系，改進為角的三角函數關系，并采用了六個函數，而且還編制了間隔為10``的10位和15位正弦表。三角學的進一步發(fā)展，是法國數學家韋達所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作。他在《標準數學》和《斜截面》二書中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起。在16世紀，三角學已從天文學中分離出來，成為一個獨立的數學分支。2010年8月22文藝復興時期的數學第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何文藝復興是14～16世紀反映西歐各國正在形成中的資產階級要求的思想、文化運動。其主要中心最初在意大利，16世紀擴及德意志、尼德蘭、英國、法國和西班牙等地?！拔乃噺团d”的概念在14～16世紀時己被意大利的人文主義作家和學者所使用。2010年8月23文藝復興時期的數學第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何女詩人像意大利佚名壁畫直徑37厘米那不了斯國立古文物陳列館藏此畫繪制一位少女正在拿著寫字板和筆作吟詩狀。她的姿勢是當時龐貝城少女肖像壁畫中常用的一種姿勢。整幅畫面色彩變化柔和和圓潤，充分體現出龐貝藝術家驚人的寫實技巧和細致入微的洞察力。中世紀的名畫2010年8月24文藝復興時期的數學第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何亞當與夏娃意大利佚名鑲嵌畫藏處不祥這副作品描繪的是“人之師祖”亞當、夏娃在伊甸園生活的情景。亞當與夏娃在蛇的引誘下偷吃了樹上的禁果后，被逐出了樂園，從而開始了人類的繁衍，同時也開始了人類的文明。畫面中亞當、夏娃都赤裸著，但人體直立，沒有體積感。用極省略的方法描寫了人物臉部、手部。中世紀的名畫2010年8月25文藝復興時期的數學第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何維納斯的誕生意大利波提切利布上蛋彩縱172×橫283厘米佛羅倫薩烏菲齊美術館藏此畫通過對維納斯傷感的神情和秀美的姿態(tài)的描繪，展現了一個復雜、矛盾而又富有詩意美的形象。在清晨寧靜的氣氛中，從海洋中誕生的維納斯站在飄浮于海面的貝殼上，左邊是花神和風神在吹送著維納斯；右邊是森林女神手持用鮮花裝飾的錦衣在迎接維納斯。文藝復興時期名畫2010年8月26文藝復興時期的數學第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何蒙娜麗沙意大利達·芬奇板上油彩縱77×橫53厘米巴黎盧浮宮藏這是達·芬奇的著名肖像畫作品。它表達了達·芬奇的藝術思想。畫面描繪了一位恬靜端莊的美麗少女，她充滿著對生活的喜悅和信心。畫家敏捷地抓住少女一瞬間微笑的表情，表現出她微妙的心理活動，給觀眾以想象。2010年8月27文藝復興時期的數學第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何最后的審判意大利米開朗基羅壁畫縱1370×橫1220厘米梵蒂岡西斯廷小教堂畫家時年61歲，從1535年末到1541年10月底，用了近6年的時間，在將近200平方米的祭壇后的大墻上，繪出了數以百計真人大小的裸體群像。體現了畫家的人文主義思想。要用正以懲罰一切邪惡，“末日”意味著人類悲劇的總崩潰。2010年8月28文藝復興時期的數學第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何雅典學院意大利拉斐爾壁畫縱279.4×橫617.2厘米梵蒂岡賽那圖拉大廳雅典學院是古希臘唯心主義哲學家柏拉圖興辦的。拉斐爾在這副巨型壁畫中，描繪了當時這個學院里的哲學家、科學家記憶藝術家們進行學術探討的熱烈場面。畫面中央邊走邊議的是柏拉圖和他的弟子亞里斯多德。2010年8月29文藝復興時期的數學第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何文藝復興時期幾何創(chuàng)造其動力來自于藝術。中世紀宗教繪畫具有象征性和超現實性。而文藝復興時期，描繪現實世界成為繪畫的重要目標，這就使畫家們在將三維現實世界繪制到二維的畫布上時，面臨這樣的問題：⑴一個物體的同一投影的兩個截影有什么共同的性質？⑵從兩個光源分別對兩個物體投影到同一個物影上，那么兩個物體間具有什么關系？2010年8月30文藝復興時期的數學第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何迪伊：“透視是說明所有光線直射、折射和反射的方式與性質的數學藝術”。這種藝術解釋為什么“平行的墻在遠處互相靠近”，為什么“地板和天花板是平行的，但一個向下，另一個向上，在離你很遠的地方互相靠近”。2010年8月31文藝復興時期的數學第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何第一個認真從事透視幾何研究的意大利畫家是布努雷契，而阿爾貝蒂于1435年寫成了第一本透視學著作，名為《論繪畫》。正是由于繪畫、制圖的刺激而導致了富有文藝復興特色的學科——透視學的興起，從而誕生了射影幾何學。2010年8月32文藝復興時期的數學第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何對于透視法所產生的問題從數學上直接給予解答的第一個人是德沙格。1636年，發(fā)表了第一篇關于透視法德論文，但他的主要著作是1639年發(fā)表的《試論錐面截一平面所得結果的初稿》，書中引入70多個射影幾何術語。這部著作中充滿了創(chuàng)造性的思想，如從焦點透視的投影與截影原理出發(fā)，對平行線引入無窮遠點的概念，繼而獲得無窮遠線的概念。2010年8月33文藝復興時期的數學第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

從透視學到射影幾何德沙格等人把這種投影分析方法和所獲得的結果，視為歐幾里得幾何的一部分，從而在17世紀人們對二者不加區(qū)分。射影幾何產生后不久，很快就讓位于代數、解析幾何和微積分，終由這些學科進一步發(fā)展出在近代數學中占中心地位的其它學科。德沙格等人的工作與結果也漸被人們所遺忘，遲至19世紀才又被人們重新發(fā)現。2010年8月34文藝復興時期的數學第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

計算技術與對數這一時期計算技術最大的改進是對數的發(fā)明和應用，它的產生主要是由于天文和航海計算的強烈需要。蘇格蘭貴族數學家納皮爾(1550-1617)正是在球面天文學的三角學研究中首先發(fā)明對數方法的。著有《奇妙的對數定理說明書》2010年8月35文藝復興時期的數學第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向近代數學的過渡

計算技術與對數對數的發(fā)明大大減輕了計算工作量，很快風靡歐洲。可以說，到16世紀末、17世紀初，整個初等數學的主要內容基本定型，文藝復興促成的東西方數學的融合，為近代數學的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。2010年8月36文藝復興時期的數學第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三解析幾何的誕生到了16世紀，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題。這就迫切地需要一種新的數學工具，從而導致了變量數學亦即近代數學的誕生。