挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題-強(qiáng)化訓(xùn)練

------------------------------------------------------------------------挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題_強(qiáng)化訓(xùn)練目錄第一部分壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練題專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問題專題訓(xùn)練二相似三角形的存在性問題專題訓(xùn)練三直角三角形的存在性問題專題訓(xùn)練四平行四邊形的存在性問題專題訓(xùn)練五梯形的存在性問題專題訓(xùn)練六面積的存在性問題專題訓(xùn)練七相切的存在性問題專題訓(xùn)練八線段和差最值的存在性問題專題訓(xùn)練九由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題專題訓(xùn)練十由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題專題訓(xùn)練十一代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題專題訓(xùn)練十二幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題第二部分填空題選擇題中的動(dòng)態(tài)圖形訓(xùn)練題一、圖形的平移二、圖形的翻折三、圖形的旋轉(zhuǎn)四、三角形五、四邊形六、圓七、函數(shù)的圖象及性質(zhì)參考答案

挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練篇馬學(xué)斌編這是一本訓(xùn)練題。這本訓(xùn)練題是《挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題》系列的第三本，是供沖刺數(shù)學(xué)高分和滿分的同學(xué)在最后一個(gè)階段訓(xùn)練用的。中考數(shù)學(xué)壓軸題的靈魂是數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的精髓是函數(shù)，函數(shù)的核心是運(yùn)動(dòng)變化。中考數(shù)學(xué)壓軸題的共同特點(diǎn)是題目的情景都是動(dòng)態(tài)的，不同的是在圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程中，探究的內(nèi)容不同，這些內(nèi)容分為三大類。第一類為函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題，探究在函數(shù)的圖象上是否存在符合條件的點(diǎn)。第二類為圖形運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)關(guān)系問題，這部分壓軸題的主要特征是在圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程中，探求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)實(shí)際情況探求函數(shù)的定義域。第三類為圖形運(yùn)動(dòng)中的計(jì)算說理問題，這部分壓軸題的主要特征是先給出一個(gè)圖形進(jìn)行研究，然后研究圖形的位置發(fā)生變化后結(jié)論是否發(fā)生變化，進(jìn)而進(jìn)行證明。解決這部分壓軸題的關(guān)鍵是抓住圖形運(yùn)動(dòng)過程中的數(shù)據(jù)特征和不變關(guān)系，通過計(jì)算進(jìn)行說理。我們把這三大類的動(dòng)態(tài)題目分為12個(gè)專題訓(xùn)練，每個(gè)專題訓(xùn)練由六個(gè)板塊組成，【五年掃描】把這個(gè)專題訓(xùn)練近五年的50份樣卷涉及到的地區(qū)介紹一下；【專題攻略】簡(jiǎn)單介紹這個(gè)專題的一般解題步驟和策略；【針對(duì)訓(xùn)練】三道題目是根據(jù)歷年的中考?jí)狠S題改編的；【三年真題】選擇三道近三年的中考題供同學(xué)們訓(xùn)練；【兩年模擬】選擇兩道近兩年的中考模擬題供同學(xué)們訓(xùn)練；【自編原創(chuàng)】是我們參考近十年的中考題，編制的一道訓(xùn)練題。在選擇題和填空題中，也有一些動(dòng)態(tài)圖形的題目，我們把這些題目分為7個(gè)專題，提供給同學(xué)們訓(xùn)練。壓軸題肯定是有難度的，因此我們?cè)跁暮蟀氩糠痔峁┝嗽敱M的解答過程，個(gè)別題目還提供了多種解法。這個(gè)解答過程，保持了《挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題》系列的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，用盡可能多的圖形幫助同學(xué)們理解題意。專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問題典藏回顧我們收集、解讀近5年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)壓軸題，以全?。ㄊ校┙y(tǒng)一考試的北京、上海、重慶、山西、陜西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市為單位統(tǒng)一考試的江蘇、浙江、廣東、山東、湖北、湖南、福建、四川、遼寧等地的試題為樣本，分析各地考試壓軸題的常見類型。等腰三角形的存在性問題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，近五年上海、重慶和江蘇、浙江、廣東、湖北等省份的部分市考到過這個(gè)問題，也是上海各區(qū)模擬考試的熱點(diǎn)．專題攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．已知腰長(zhǎng)畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D在坐標(biāo)為(3，4)，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△DOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（09上海24）2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過程中，當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值．（08南匯25）3．如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q，如果△APQ是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．三年真題4．（12臨沂26）如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（11湖州24）如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)．P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）．當(dāng)點(diǎn)P從O向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長(zhǎng)（不必寫解答過程）．圖1圖2

6．（10南通27）如圖，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常數(shù)），BC＝8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若m＝8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？?jī)赡昴M7．（2012年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．動(dòng)線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始）沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．過點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)F（當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合），聯(lián)結(jié)DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長(zhǎng)；（2）在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，MN所掃過的面積．8．（寧波七中2012屆保送生推薦考試第26題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB＝3，BC＝，直線y＝經(jīng)過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G．（1）點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C（），D（）；（2）求頂點(diǎn)在直線y＝上且經(jīng)過點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；（3）將（2）中的拋物線沿直線y＝平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為點(diǎn)E（頂點(diǎn)在y軸右側(cè)）．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．自編原創(chuàng)9．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，∠ADE＝∠B．設(shè)BD的長(zhǎng)為x，CE的長(zhǎng)為y．（1）當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）如果△ADE為等腰三角形，求x的值．備用圖備用圖參考答案:1．因?yàn)镈（3，4），所以O(shè)D＝5，．①如圖1，當(dāng)PD＝PO時(shí)，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②如圖2，當(dāng)OP＝OD＝5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，0)．③如圖3，當(dāng)DO＝DP時(shí)，點(diǎn)D在OP的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)．第1題圖1第1題圖2第1題圖32．在Rt△ABC中，.因此.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.第2題圖1第2題圖2第2題圖3①如圖1，當(dāng)時(shí)，，解得(秒).②如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，則CM＝.在Rt△QMC中，，解得(秒).③如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作PN⊥BC于N，則CN＝.在Rt△PNC中，，解得(秒).綜上所述，當(dāng)t為時(shí)，△PQC為等腰三角形.3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以O(shè)A＝1，OB＝2．如圖，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，m)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合條件的點(diǎn)P不存在．②當(dāng)PA＝PQ時(shí)，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．③當(dāng)QA＝QP時(shí)，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．第3題圖4．（12臨沂26）（1）如圖，過點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．第4題圖5．（11湖州24）（1）因?yàn)镻C//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4－m)．（2）在△APD中，，，．①當(dāng)AP＝AD時(shí)，．解得（如圖1）．②當(dāng)PA＝PD時(shí)，．解得（如圖2）或（不合題意，舍去）．③當(dāng)DA＝DP時(shí)，．解得（如圖3）或（不合題意，舍去）．綜上所述，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，m的值為，或．第5題圖1第5題圖2第5題圖3[另解]第（2）題解等腰三角形的問題，其中①、②用幾何說理的方法，計(jì)算更簡(jiǎn)單：①如圖1，當(dāng)AP＝AD時(shí)，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．②如圖2，當(dāng)PA＝PD時(shí)，P在AD的垂直平分線上．所以DA＝2PO．因此．解得．（3）點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．思路是這樣的：如圖4，在Rt△OHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的⊙G經(jīng)過點(diǎn)H，也就是說點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)過的圓心角怎么確定呢？如圖5，P與O重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．第5題圖4第5題圖6．（10南通27）(1)因?yàn)椤螮DC與∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因?yàn)椤螩＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為．(2)如圖1，當(dāng)m＝8時(shí)，．因此當(dāng)x＝4時(shí)，y取得最大值為2．(3)若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF為等腰三角形，只存在ED＝EF的情況．因?yàn)椤鱀CE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y(tǒng)．將x＝y(tǒng)＝2代入，得m＝6（如圖2）；將x＝y(tǒng)＝6代入，得m＝2（如圖3）．第6題圖1第6題圖2第6題圖37．（1），．（2）△DEF中，∠DEF＝∠C是確定的．①如圖1，當(dāng)DE＝DF時(shí)，，即．解得．②如圖2，當(dāng)ED＝EF時(shí)，．解得．③如圖3，當(dāng)FD＝FE時(shí)，，即．解得，即D與B重合．第7題圖1第7題圖2第7題圖3（3）MN是△FDE的中位線，MN//DE，MN＝2，MN掃過的形狀是平行四邊形．如圖4，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，N在AC的中點(diǎn)，N到BC的距離為3；如圖5，運(yùn)動(dòng)開始，D與B重合，M到BC的距離為．所以平行四邊形的高為，面積為．第7題圖4第7題圖58．（1），．（2）頂點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，橫坐標(biāo)為，代入直線y＝，得．設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)，可得．所以物線的解析式為．（3）由頂點(diǎn)E在直線y＝上，可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為，直線與y軸正半軸的夾角為30°，即∠EGF＝30°．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，那么EG＝2m，平移后的拋物線為．所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為．①如圖1，當(dāng)GE＝GF時(shí)，yF－yG＝GE＝2m，所以．解得m＝0或．m＝0時(shí)頂點(diǎn)E在y軸上，不符合題意．此時(shí)拋物線的解析式為．②如圖2，當(dāng)EF＝EG時(shí)，F(xiàn)G＝，所以．解得m＝0或．此時(shí)拋物線的解析式為．③當(dāng)頂點(diǎn)E在y軸右側(cè)時(shí)，∠FEG為鈍角，因此不存在FE＝FG的情況．第8題圖1第8題圖29．（1）當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，AD⊥BC，DE⊥AC，CE．（2）如圖1，由于∠ADC＝∠ADE＋∠1，∠ADC＝∠B＋∠2，∠ADE＝∠B，所以∠1＝∠2．又因?yàn)锳B＝AC，所以∠C＝∠B．所以△DCE∽△ABD．因此，即．整理，得．x的取值范圍是0≤x≤8．（3）①如圖1，當(dāng)DA＝DE時(shí)，△DCE≌△ABD．因此DC＝AB，8－x＝6．解得x＝2．②如圖2，當(dāng)AD＝AE時(shí)，D與B重合，E與C重合，此時(shí)x＝0．③如圖3，當(dāng)EA＝ED時(shí)，∠DAE＝∠ADE＝∠B＝∠C，所以△DAC∽△ABC．因此．解得．第9題圖1第9題圖2第9題圖3專題訓(xùn)練四平行四邊形的存在性問題典藏回顧平行四邊形的存在性問題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，近五年上海、山西、河南、江西和以市為單位統(tǒng)一考試的江蘇、浙江、山東、湖北、福建、四川等省份的部分市考到過這個(gè)問題，也是上海各區(qū)模擬考試的熱點(diǎn)．專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算．難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使得解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算又好又快．如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)．如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．靈活運(yùn)用向量和中心對(duì)稱的性質(zhì)，可以使得解題簡(jiǎn)便．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．若以A、C、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(11金山24)2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝－x2+2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（11普陀24）3．將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖所示．現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(11江西24)三年真題4．（11上海24）已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），一次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖像上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、M．（1）求線段AM的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖像上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．5．（12福州21）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD//BC，交AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PQ．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．圖1圖26．（11成都28）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上．已知|OA|∶|OB|＝1∶5，|OB|＝|OC|，△ABC的面積S△ABC＝15，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH．則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長(zhǎng)；（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．兩年模擬7．（2012年從化市初三綜合測(cè)試）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－3a經(jīng)過A(－1,0)、B(0,3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；（2）經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)E，若點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖2，P（2，3）是拋物線上的點(diǎn)，Q是直線AP上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△APQ的最大面積和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．圖1圖28．（2012年高安市九年級(jí)模擬考試）已知拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．（1)直接寫出拋物線對(duì)稱軸方程；（2）若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；（3）若D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，請(qǐng)求出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由．自編原創(chuàng)9．如圖，已知雙曲線與直線AB交于A、B兩點(diǎn)，與直線CD交于C、D兩點(diǎn)．（1）求證四邊形ACBD是平行四邊形；（2）四邊形ACBD可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？（3）如果點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m(m＞0)，四邊形ACBD的面積為S，求S與m的之間的關(guān)系式．參考答案:1．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．如圖，過△PAC的三個(gè)頂點(diǎn)，分別作對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交的三個(gè)交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)M．①因?yàn)锳M1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移點(diǎn)A可以得到點(diǎn)M1．因?yàn)辄c(diǎn)P(－1，4)先向下平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位可以與點(diǎn)C(0，3)重合，所以點(diǎn)A(－3，0)先向下平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位就得到點(diǎn)M1(－2，－1)．②因?yàn)锳M2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移點(diǎn)A可以得到點(diǎn)M2．因?yàn)辄c(diǎn)C(0，3)先向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位可以與點(diǎn)P(－1，4)重合，所以點(diǎn)A(－3，0)先向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位就得到點(diǎn)M2(－4，1)．③因?yàn)镻M3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移點(diǎn)P可以得到點(diǎn)M3．因?yàn)辄c(diǎn)A(－3，0)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位可以與點(diǎn)C(0，3)重合，所以點(diǎn)P(－1，4)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位就得到點(diǎn)M3(2，7)．第1題圖2．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如圖1，當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PM與AB互相平分，因此點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于AB的中點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2．當(dāng)x＝2時(shí)，y=－x2+2x＋3＝3．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，3)．②如圖2，圖3，當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PM//AB，PM＝AB＝4．所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或－4．如圖2，當(dāng)x＝4時(shí)，y=－x2+2x＋3＝－5．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，－5)．如圖3，當(dāng)x＝－4時(shí)，y=－x2+2x＋3＝－21．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－4，－21)．第2題圖1第2題圖2第2題圖33．拋物線c1：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(－1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為．拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，AB＝2．拋物線c2在平移的過程中，與拋物線c1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．所以四邊形AMEN是平行四邊形．如果以點(diǎn)四邊形AMEN是矩形，那么AE＝MN．所以O(shè)A＝OM．而OM2＝m2＋3，所以(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1（如圖）．第3題圖[另解]探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中，因?yàn)锳B＝2，AB邊上的高為，所以△ABM是等邊三角形．同理△DEN是等邊三角形．當(dāng)四邊形ANEM是矩形時(shí)，B、D兩點(diǎn)重合．因?yàn)槠鹗嘉恢脮r(shí)BD＝2，所以平移的距離m＝1．4．（1）當(dāng)x＝0時(shí)，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA＝3．如圖1，因?yàn)镸O＝MA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．將代入，得x＝1．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為．因此．（2）因?yàn)閽佄锞€y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．（3）如圖2，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設(shè)AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，3－2m)．將點(diǎn)C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）．第4題圖1第4題圖25．（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，四邊形PDBQ不可能為菱形．說理如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．已知PD//BC，當(dāng)PQ//AB時(shí)，四邊形PDBQ為平行四邊形．所以，即．解得．此時(shí)在Rt△CPQ中，，．所以，．因此BQ≠BD．所以四邊形PDBQ不是菱形．如圖1，作∠ABC的平分線交CA于P，過點(diǎn)P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△APE中，，所以．當(dāng)PQ//AB時(shí)，，即．解得．所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為．第5題圖1（3）以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．如圖2，當(dāng)t＝0時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)E(3，0)．如圖3，當(dāng)t＝4時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是PB的中點(diǎn)F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖4，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為（，t）．經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)M（，t）在直線EF上．所以PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是線段EF的長(zhǎng)，EF＝．第5題圖2第5題圖3第5題圖4[另解]第（3）題求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的中點(diǎn)為(2，2)．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y＝－2x＋6．6．（1）設(shè)OA的長(zhǎng)為m，那么OB＝OC＝5m．由△ABC的面積S△ABC＝15，得m＝5．所以點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－5)，代入點(diǎn)C(0，－5)，得a＝1．所以拋物線的解析式為y＝(x＋1)(x－5)＝x2－4x－5．（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，設(shè)點(diǎn)E在對(duì)稱軸右側(cè)，坐標(biāo)為(x，x2－4x－5)．①如圖1，當(dāng)E在x軸上方時(shí)，EF＝2(x－2)，EH＝x2－4x－5．解方程2(x－2)＝x2－4x－5，得或（舍去）．此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為．②如圖2，當(dāng)E在x軸下方時(shí)，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4x－5)．解方程2(x－2)＝－(x2－4x－5)，得或（舍去）．此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為．第6題圖1第6題圖2第6題圖3（3）如圖3，因?yàn)辄c(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(5，0)、(0，－5)，所以BC與x軸正半軸的夾角為45°．過點(diǎn)B作BM⊥BC，且使得BM＝．過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，那么△BMN是等腰直角三角形．在Rt△BMN中，斜邊BM＝，所以BN＝MN＝7．因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2，7)或(12，－7)．經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(－2，7)在拋物線y＝(x＋1)(x－5)上；點(diǎn)(12，－7)不在這條拋物線上．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(－2，7)．[另解]第（3）題也可以這樣思考：設(shè)拋物線上存在點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，x2－4x－5)．由于△BMN是等腰直角三角形