四川省內(nèi)江市高中2018屆高三第一次模擬考試題數(shù)學(理工類)-含解析

PAGE四川省內(nèi)江市高中2018屆高三第一次模擬考試題數(shù)學（理工類）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.已知集合，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】故選2.設(shè)為虛數(shù)單位，，若是純虛數(shù)，則A.2B.C.1D.【答案】C【解析】是純虛數(shù)，，計算得出故選3.下列各組向量中，可以作為基底的是A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】選項中，零向量與任意向量都共線，故錯誤；選項中，不存在實數(shù)，使得，故兩向量不共線，故正確；選項中，，兩向量共線，故錯誤；選項中，，兩向量共線，故錯誤；故選4.下列說法中正確的是A.先把高三年級的2000名學生編號：1到2000，再從編號為1到50的50名學生中隨機抽取1名學生，其編號為，然后抽取編號為的學生，這樣的抽樣方法是分層抽樣法B.線性回歸直線不一定過樣本中心點C.若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1D.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則【答案】D【解析】中抽樣方法為系統(tǒng)抽樣，故錯誤；中線性回歸方程必過樣本中心點，故錯誤；:若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,故錯誤；故選5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是A.2B.1C.D.【答案】A【解析】輸入，，令，則原式當時，幾何意義指到原點距離有，解得代入原式故選11.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】不妨令則當時，在時單調(diào)遞增，當時不恒大于，不成立當時在時恒成立當時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，令，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當時且時綜上的取值范圍是，故選點睛：本題考查了導數(shù)的應(yīng)用，在恒成立的條件下求得參量的取值范圍，通過構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導，然后對參量進行分類討論，求得在定義域的條件下恒成立時參量的取值范圍12.設(shè)，函數(shù)，，，…，，曲線的最低點為，的面積為，則A.是常數(shù)列B.不是單調(diào)數(shù)列C.是遞增數(shù)列D.是遞減數(shù)列【答案】D【解析】根據(jù)題意得，…，，又曲線的最低點為，則當時，則所以是遞減數(shù)列，故選點睛：本題根據(jù)題意總結(jié)出最低點的規(guī)律，計算三角形面積時采用了點到線的距離為高，在計算出底邊長度，從而計算出面積，這樣雖計算量較大，但是最后好多可以約去，得出函數(shù)的單調(diào)性，本題也可以通過分割三角形計算面積二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，的系數(shù)是_____________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意可知，展開式的通項為則的展開式中，含的項為，所以的系數(shù)是14.甲、乙、丙三位同學中有一人申請了北京大學的自主招生考試，當他們被問到誰申請了北京大學的自主招生考試時，甲說：丙沒有申請；乙說：甲申請了；丙說：甲說對了.如果這三位同學中只有一人說的是假話，那么申請了北京大學的自主招生考試的同學是_____________.【答案】乙【解析】(1)假設(shè)甲說的是假話，乙、丙說的是真話，則甲所說與乙相矛盾（2）若乙說的是假話，甲、丙說的是真話，則甲沒申請，丙沒申請故申請人為乙15.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是_____________.【答案】【解析】（1）當時，解得，即(2)當時，，滿足題意(3)當時，恒成立綜上的取值范圍是點睛：本題考查了分段函數(shù)求解不等式問題，尤其注意當時的解析式，結(jié)合分段函數(shù)進行分類討論，求出解析式即可求得不等式解集16.已知菱形的邊長為2，，是線段上一點，則的最小值是_____________.【答案】【解析】以所在直線為軸所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖:由題意可知，，，，設(shè)，則故，當時取得最小值點睛：本題采用了建立平面直角坐標系的方法求向量的最小值，運用建系的方法可以直接給出各點坐標表示，設(shè)出點坐標，只含一個未知數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化，只要計算關(guān)于的一個一元二次函數(shù)的最值問題即可三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：根據(jù)題意求出當時，求出的表達式，然后驗證當時是否成立(2)先給出通項，運用分組求和法求前項和解析:（1）數(shù)列滿足當時，，∴當時，，即當時，滿足上式，∴數(shù)列的通項公式（2）由（1）知，18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，點在邊上，，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）運用正弦定理進行邊角互化，即可求出的值（2）運用余弦定理求得，計算得，再解三角形即可求出結(jié)果解析:（1）∵，∴由正弦定理知，，∵∴，于是，即，∵，∴（2）由（1）和余弦定理知，∴，∴∵在中，，∴，∴19.某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標值，若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.表1：甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]頻數(shù)14192051圖1：乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)；甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計合格品不合格品合計（2）根據(jù)表1和圖1，對兩套設(shè)備的優(yōu)劣進行比較；（3）將頻率視為概率.若從甲套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，隨機抽取3件產(chǎn)品，記抽到的不合格品的個數(shù)為，求的期望.附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)表1和圖1即可完成填表，再由將數(shù)據(jù)代入計算得即把握認為產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)（2）根據(jù)題意計算甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲套設(shè)備相比較為分散，從而做出判斷（3）根據(jù)題意知滿足，代入即可求得結(jié)果解析:（1）根據(jù)表1和圖1得到列聯(lián)表甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計合格品484391不合格品279合計5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得∵，∴有90%的把握認為產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)（2）根據(jù)表1和圖1可知，甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，乙套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，甲套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值主要集中在[105,115）之間，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲套設(shè)備相比較為分散.因此，可以認為甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率更高，且質(zhì)量指標值更穩(wěn)定，從而甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備.（3）由題知，∴.20.已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為：.（1）求，的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：根據(jù)題意得當時，代入得由切線方程知，聯(lián)立解得，的值（2）表示，求導然后分類討論當時和當時兩種情況解析：（1）由切線方程知，當時，，∴∵，∴由切線方程知，∴（2）由（1）知，∴，當時，當時，，故單調(diào)遞減∴在上的最大值為②當時∵，，∴存在，使當時，，故單調(diào)遞減當時，，故單調(diào)遞增∴在上的最大值為或又，，∴當時，在上的最大值為當時，在上的最大值為當時，當時，，故單調(diào)遞增∴在上的最大值為綜上所述，當時，在上的最大值為當時，在上的最大值為點睛：本題考查了導數(shù)的幾何意義，通過求導計算出在某點處的切線方程，從而可以計算出參量的值，第2問在計算最值時需要進行分類討論，需要注意在第一次討論過程中不知兩斷數(shù)量的大小，這里再一次進行討論21.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）證明：當時，；（2）設(shè)為整數(shù)，函數(shù)有兩個零點，求的最小值.【答案】（1）見解析；（2）1【解析】試題分析：（1）要證明不等式成立，構(gòu)造設(shè)，求導，利用單調(diào)性即可證明，從而證明整個不等式組（2）結(jié)合（1）問結(jié)論得當時無零點，當時，利用導數(shù)求得其單調(diào)性當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，然后求得，從而得到兩個零點解析：（1）證明：設(shè)，則，令，得當時，，單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞增∴，當且僅當時取等號，∴對任意，∴當時，，∴當時，∴當時，（2）函數(shù)的定義域為當時，由（Ⅰ）知，，故無零點當時，，∵，，且為上的增函數(shù)∴有唯一的零點，當時，，單調(diào)遞減當時，，單調(diào)遞增∴的最小值為由為的零點知，，于是∴的最小值，由知，，即又，∴在上有一個零點，在上有一個零點∴有兩個零點，綜上所述，的最小值為1.點睛：本題考查了證明函數(shù)不等式成立及函數(shù)零點問題，在證明不等式成立問題時構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求導，結(jié)合單調(diào)性即可證明，在解答零點問題時雖求不出具體的零點的值，但是根據(jù)條件和計算能夠判斷函數(shù)值與零的大小關(guān)系，然后利用零點的存在定理解答本題22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）已知直線上一點的極坐標為，其中.射線與曲線交于不同于極點的點，求的值.【答案】（1），；（2）1【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意將直線參數(shù)方程先轉(zhuǎn)化為普通方程，然后再改寫為極坐標方程，圓的方程亦是這樣完成(2)將其轉(zhuǎn)化為極坐標運算，從而求得長度解析：（1）直線的普通方程為，極坐標方程為曲線的普通方程為，極坐標方程為（2）∵點在直線上，且點的極坐標為∴，∵，∴∴射線的極坐標方程為，聯(lián)立，解得∴點睛：本題考查了極坐標與參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)換，以及利用極坐