靜電能電磁學(xué)

靜電能電磁學(xué)第1頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.1帶電系統(tǒng)的靜電能與電場(chǎng)的能量

1、點(diǎn)電荷組的靜電相互作用能2、電荷連續(xù)分布的帶電系統(tǒng)的靜電能3、利用靜電能求靜電力4、電場(chǎng)的能量與能量密度第2頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.1.1點(diǎn)電荷組的靜電相互作用能

1、真空中N個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷帶電系統(tǒng)，電量分別為q1q2..qN，空間位置分別為r1r2..rN，其中i、j點(diǎn)之間距離rij為：全部rij決定點(diǎn)電荷組中點(diǎn)電荷的相對(duì)位置分布。處于一定電荷分布狀態(tài)的點(diǎn)電荷組具有與rij有關(guān)的能量。這種與點(diǎn)電荷之間相對(duì)位置有關(guān)的點(diǎn)電荷組能量，稱為點(diǎn)電荷組的靜電相互作用能。第3頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、點(diǎn)電荷組W互的具體表達(dá)式（1）討論相距r12的兩個(gè)點(diǎn)電荷q1和q2組成的點(diǎn)電荷組，從無窮遠(yuǎn)處狀態(tài)到相距r12狀態(tài)，外力克服電場(chǎng)力所做的功與兩點(diǎn)電荷移入的次序無關(guān)，只與點(diǎn)電荷組終態(tài)的狀態(tài)參數(shù)q1、q2和r12相關(guān)。如前所述，這個(gè)功就等于兩個(gè)點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷組的靜電相互作用能W互，即第4頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）N個(gè)點(diǎn)電荷組的W互由兩個(gè)點(diǎn)電荷組的靜電相互作用能公式推廣到N個(gè)點(diǎn)電荷組，可以對(duì)這N個(gè)點(diǎn)電荷進(jìn)行不重復(fù)的組對(duì)，然后把每對(duì)點(diǎn)電荷的靜電相互作用能加起來，即可得到N個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷組的靜電相互作用能W互。式中，是第j個(gè)點(diǎn)電荷在第i個(gè)點(diǎn)電荷處產(chǎn)生的電勢(shì)。rji是第j個(gè)點(diǎn)電荷到第i個(gè)點(diǎn)電荷的距離。第5頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于第j個(gè)點(diǎn)電荷與第i個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷對(duì)的相互作用能相等，由此可得N個(gè)點(diǎn)電荷組的靜電相互作用能W互為：定義

為點(diǎn)電荷組中除qi外其他點(diǎn)電荷在qi處產(chǎn)生的電勢(shì)代數(shù)和，即點(diǎn)電荷組中除qi外其他電荷在qi處產(chǎn)生的電場(chǎng)電勢(shì)。由此上式可寫成：第6頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.2電荷連續(xù)分布的帶電系統(tǒng)的靜電能

對(duì)一個(gè)體電荷連續(xù)分布的帶電體，體積設(shè)為V，所帶電荷設(shè)為q，電荷在帶電體中的分布情況由體電荷密度ρ描述，我們?cè)O(shè)想把其分割成許多小體電荷元ΔVi，這些體電荷元都可以視為點(diǎn)電荷，因此可得帶電體的相互作用能

式中，Ui(ri)為除第i個(gè)電荷元以外帶電體其他電荷在ri處產(chǎn)生的電勢(shì)。第7頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、帶電體的靜電能We對(duì)帶電體內(nèi)電荷無限分割時(shí)，即過渡到體積分：這里，U(r)包括電荷元ρdV在內(nèi)的帶電體全部電荷在r處產(chǎn)生的電勢(shì)。故U(r)=Ui(r)+dU，其中dU是ρdV在自身r處產(chǎn)生的電勢(shì)，可以證明，dU趨于0。因此，帶電體的靜電能包括帶電體內(nèi)電荷元之間的相互作用能和電荷元內(nèi)的電能。第8頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、N個(gè)帶電體的系統(tǒng)的靜電能設(shè)N個(gè)帶電體的體積為V1,V2..VN，它們?cè)诳臻gr處產(chǎn)生的總電勢(shì)為其中，Ui(r)是除了第i個(gè)帶電體的電荷以外其余所有電荷在r處產(chǎn)生的電勢(shì)，U(i)(r)是第i個(gè)帶電體的電荷在r處產(chǎn)生的電勢(shì)。則N個(gè)帶電體組成的帶電系統(tǒng)的靜電能為：We=W互+W自

第9頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中，這里，W自(i)是第i個(gè)帶電體的靜電能，并稱為第i個(gè)帶電體的自能。W互是帶電系統(tǒng)內(nèi)N個(gè)帶電體之間的相互作用能，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)的互能。第10頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四帶電體的相互作用能的討論如果系統(tǒng)內(nèi)帶電體體積Vi非常小，以至于其他帶電體在Vi內(nèi)產(chǎn)生的電勢(shì)Ui(r)在Vi內(nèi)各點(diǎn)近似相等，即Ui(r)=Ui，則系統(tǒng)的相互作用能為：這和點(diǎn)電荷組的相互作用能完全一致。第11頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四帶電體的自能的討論對(duì)點(diǎn)電荷和線電荷的自能的討論點(diǎn)電荷的自能無限大，即自能是發(fā)散的。因此討論點(diǎn)電荷組的電能時(shí)，只討論互能。點(diǎn)電荷的自能為無限大表明，真正的點(diǎn)電荷實(shí)際上是不存在的。線電荷的自能也是無限大，這表明線電荷只是一種近似模型，真正的線電荷是不存在的。第12頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、帶電面的靜電能帶電導(dǎo)體的電荷分布在表面上，因此求帶電導(dǎo)體的靜電能是求面電荷分布的帶電系統(tǒng)的靜電能。對(duì)面電荷系統(tǒng)的靜電能為：這里U(r)為帶電面上r處的電勢(shì)。對(duì)于帶電導(dǎo)體，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，因此其靜電能為：第13頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4、N個(gè)帶電面的帶電系統(tǒng)靜電能由N個(gè)帶電面組成的帶電系統(tǒng)的靜電能為：如果是N個(gè)帶電導(dǎo)體表面，注意到導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，則其靜電能為：第14頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5、帶電體的電勢(shì)能帶電體或帶電系統(tǒng)的電勢(shì)能是我們研究的帶電體同產(chǎn)生外電場(chǎng)的帶電系統(tǒng)之間的相互作用能。由此，兩個(gè)帶電系統(tǒng)之間的相互作用能為：其中，U1(r1)為外電場(chǎng)在r1處產(chǎn)生的電勢(shì)，U2(r2)為研究的帶電體在r2處產(chǎn)生的電勢(shì)。第15頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此，可得：即兩個(gè)帶電系統(tǒng)彼此在對(duì)方產(chǎn)生的電場(chǎng)里，它們之間產(chǎn)生的相互作用能可以稱為一個(gè)帶電系統(tǒng)在另外一個(gè)帶電系統(tǒng)產(chǎn)生的電場(chǎng)里的電勢(shì)能，且它們相等。即我們研究的帶電體的電勢(shì)能為：第16頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四N個(gè)帶電體的電勢(shì)能當(dāng)帶電體體積V很小時(shí)，可認(rèn)為外電場(chǎng)的電勢(shì)在V內(nèi)是相等的，如點(diǎn)電荷，則這個(gè)帶電體在外電場(chǎng)中的電勢(shì)能為：對(duì)于由N個(gè)體積很小的帶電體所組成的系統(tǒng)，如點(diǎn)電荷組，則其電勢(shì)能為：其中，U(ri)為外電場(chǎng)在qi電荷所在位置ri處的電勢(shì)。第17頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四有電介質(zhì)存在時(shí)帶電系統(tǒng)的靜電能可以證明，有介質(zhì)存在時(shí)，面自由電荷帶電系統(tǒng)在形成過程中外界對(duì)帶電系統(tǒng)做功，即帶電系統(tǒng)的靜電能的表達(dá)式為：推廣到有電介質(zhì)情況下的體自由電荷帶電系統(tǒng)的靜電能為：其中，U(r)是由自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生，因此其靜電能與自由電荷和極化電荷都有關(guān)。第18頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.3利用靜電能求靜電力如果兩個(gè)帶電體的電荷分布給定，或者受力帶電體的電荷分布和施力帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)分布已經(jīng)給定，帶電體之間的靜電力通過積分原則上就可以求了。但在很多情況下，求帶電體之間靜電力的積分不容易求，而受力帶電體和施力帶電體組成的帶電系統(tǒng)的靜電能容易求出，通過對(duì)靜電能求微商就可求出受力帶電體所受的靜電力。第19頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）由N個(gè)彼此絕緣的帶電體組成的系統(tǒng)其中第i個(gè)是受力帶電體，其余N-1個(gè)帶電體為施力帶電體。設(shè)想N-1個(gè)施力帶電體保持靜止，讓受力帶電體作無限小的位移，在這過程中系統(tǒng)內(nèi)電場(chǎng)力做功為：設(shè)系統(tǒng)在位移過程中是不與外界進(jìn)行能量交換的孤立系統(tǒng)，這個(gè)過程中系統(tǒng)內(nèi)帶電體的電荷qi保持不變，系統(tǒng)內(nèi)電場(chǎng)力做功只消耗系統(tǒng)的靜電能。第20頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四即則有：

寫成式中，下標(biāo)q表示在對(duì)We進(jìn)行偏微商時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)的電荷qj應(yīng)視為常數(shù)。第21頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四靜電力矩的表達(dá)式如果系統(tǒng)內(nèi)第i個(gè)帶電體不是位移做功，而是繞某軸作無限小轉(zhuǎn)動(dòng)角位移，則第i個(gè)帶電體受靜電力矩所作的功為：因此，靜電力矩為：如果已知系統(tǒng)的靜電能We的表達(dá)式，通過上述兩個(gè)公式即可求得系統(tǒng)內(nèi)第i個(gè)帶電體所受的靜電力和力矩。第22頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）由N個(gè)帶電導(dǎo)體組成的系統(tǒng)研究第i個(gè)帶電導(dǎo)體所受的靜電力或靜電力矩：設(shè)想第i個(gè)帶電導(dǎo)體作無限小位移或無限小轉(zhuǎn)動(dòng)角位移，在這過程中，設(shè)想通過外界電源作功保持系統(tǒng)內(nèi)各導(dǎo)體的電勢(shì)Uj不發(fā)生改變，則由能量守恒可知，系統(tǒng)的靜電能的改變量應(yīng)等于過程中外界所作的功與系統(tǒng)內(nèi)靜電力作的功之差，即第23頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四保持系統(tǒng)內(nèi)各帶電導(dǎo)體電勢(shì)不變而其電荷改變，外界（電源）所做的功為：而N個(gè)帶電導(dǎo)體組成的系統(tǒng)的靜電能為

保持系統(tǒng)內(nèi)帶電導(dǎo)體電勢(shì)不變而電荷改變，系統(tǒng)的靜電能改變?yōu)椋汗实?4頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由或可得受力帶電導(dǎo)體i所受靜電力或靜電力矩為：第25頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）利用互能求靜電力或靜電力矩如果受力帶電體在位移或轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，受力帶電體和施力帶電體上的電荷分布都不改變，則各帶電體的電荷在自身體積內(nèi)產(chǎn)生的電勢(shì)在過程中就不變化，因而帶電系統(tǒng)內(nèi)各帶電體的自能在受力帶電體位移或轉(zhuǎn)動(dòng)過程中不變，則有由能量守恒定律，受力帶電體所受靜電力或靜電力矩可以通過相互作用能表示為第26頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四式中下標(biāo)表示微商時(shí)把受力帶電體與施力帶電上的電荷密度看作為常數(shù)。即，第27頁(yè)，共30頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3.4電場(chǎng)的能量與能量密度1、一個(gè)自由電荷密度為的帶電系統(tǒng)，如果系統(tǒng)空間體積為V，則這帶電系統(tǒng)的靜電能為：上式適用于真空中帶電系統(tǒng)，也適用于有線性介質(zhì)存在的帶電系統(tǒng)