《隨機(jī)事件及其概率》

第1次課:隨機(jī)事件及其概率Ⅰ隨機(jī)事件及其概率事件間的相互關(guān)系與運(yùn)算概率的統(tǒng)計(jì)定義——頻率概率概率的古典定義——古典概率習(xí)題一：3，8，9，10，11，121整理課件人們通常將自然界或社會(huì)中出現(xiàn)的現(xiàn)象分成二類：一類是必然的：necessity,inevitability，一類是偶然的：chanciness,casualness,chance,fortuity,randomly必然現(xiàn)象的例子：同性電荷互相排斥純水加熱到100攝氏度必然沸騰偶然現(xiàn)象的例子：擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面或反面兩種結(jié)局，但究竟出現(xiàn)哪種結(jié)局事先無(wú)法確定2整理課件必然性和偶然性之間是相互聯(lián)系的大量的偶然性會(huì)導(dǎo)致某種必然的結(jié)果例如，在鬧市區(qū)，開(kāi)一家商店，每天有哪些顧客前來(lái)購(gòu)買東西是偶然的但每天必然有顧客來(lái)購(gòu)買東西則是必然的，概率論的任務(wù)就是從偶然性中發(fā)現(xiàn)必然性3整理課件概率一詞的英文是probabilityProbable意指可能-ility意指程度(largeorsmall?)因此，probability可認(rèn)為是“可能性的大小”，翻譯成中文就是概率，但也有不同時(shí)期或者不同的資料翻譯成或然率或者幾率的。而在不同的學(xué)科中又有不同的稱呼，如產(chǎn)品合格率，犯罪率，出生率，離婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。4整理課件概率論在各個(gè)學(xué)科都有廣泛應(yīng)用包括社會(huì)科學(xué)：社會(huì)學(xué)，管理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，軍事學(xué)，等等和自然科學(xué)：包括物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)，醫(yī)學(xué)，等等尤其是你們所要學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)，概率論將在后繼課程中有重要的應(yīng)用5整理課件本課程目的是為了給后繼課程的應(yīng)用打基礎(chǔ)分為兩部分，第一部分建立概率論的基本的各個(gè)術(shù)語(yǔ)和概念，常用的公式和基本的定理，這樣后繼課程就可以繼續(xù)在專業(yè)領(lǐng)域中使用這些基礎(chǔ)知識(shí)。第二部分為數(shù)理統(tǒng)計(jì)，即研究怎樣從大量的隨機(jī)的看似雜亂無(wú)章的數(shù)字中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的技術(shù)。6整理課件試驗(yàn)為了研究隨機(jī)現(xiàn)象,就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察.觀察的過(guò)程稱為試驗(yàn).概率論里所研究的試驗(yàn)有下列特點(diǎn):

在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行;

每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性,而且在試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;

在每次試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪一種結(jié)果7整理課件事件事件——試驗(yàn)的結(jié)果稱為事件。隨機(jī)事件——每次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量試驗(yàn)中呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件?；臼录荒芊纸獾淖詈?jiǎn)單的事件。復(fù)合事件——由基本事件復(fù)合而成的事件。必然事件——每次試驗(yàn)一定會(huì)發(fā)生的事件。不可能事件——每次試驗(yàn)一定不會(huì)發(fā)生的事件。8整理課件事件與集合基本事件:只包括一個(gè)樣本點(diǎn)ω,或者說(shuō)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的事件稱為基本事件，用單點(diǎn)集{ω}表示。復(fù)合事件：用包含的基本事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合表示，通常用大寫字母A，B，C等表示。必然事件:，用包含所有樣本點(diǎn)的集合表示，這個(gè)集合也稱為樣本空間，記為。不可能事件:不包括任何樣本點(diǎn)的空集,即每次試驗(yàn)一定不會(huì)發(fā)生,稱為不可能事件,用表示。9整理課件事件間的關(guān)系及其運(yùn)算1包含2相等3事件的和4事件的積5事件的差6互斥事件（互不相容事件）7對(duì)立事件8完備事件組10整理課件2事件的相等如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,稱事件A與B相等.即A與B中的樣本點(diǎn)完全相同.記作A=B。A=B的充分必要條件為A

B且AB。11整理課件n個(gè)事件A1,A2,…,An中至少有一個(gè)發(fā)生是一個(gè)事件,稱為事件的和,記作

A1+A2+…+An

或A1A2…An

可列個(gè)事件的和表示可列個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生,記作12整理課件例2從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)(每次取出的產(chǎn)品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件:三次都取到了合格品;A1A2A3三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有兩次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.13整理課件事件的概率

事件A發(fā)生的可能性大小稱為事件A的概率,記作P(A)或P{A}.

最高的發(fā)生概率為1,表示必然發(fā)生.

最低的概率為0,表示不可能發(fā)生.

一般的隨機(jī)事件的概率介于0與1之間.

概率其實(shí)就是任何一個(gè)事件到實(shí)數(shù)軸上的[0,1]區(qū)間的映射.但怎樣獲得切合實(shí)際的一個(gè)事件的概率呢?14整理課件概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義并非嚴(yán)格的數(shù)學(xué)上的定義,而只是大數(shù)定律的一個(gè)描述.在n次重復(fù)試驗(yàn)中,如果事件A發(fā)生了m次,則m/n稱為事件A發(fā)生的頻率.同樣若事件B發(fā)生了k次,則事件B發(fā)生的頻率為k/n.如果A是必然事件,有m=n,即必然事件的頻率是1,當(dāng)然不可能事件的頻率為0.如果A與B互不相容,則事件A+B的頻率為(m+k)/n,它恰好等于兩個(gè)事件的頻率的和m/n+k/n,這稱之為頻率的可加性.15整理課件定義1.1在不變的條件下,重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地某一常數(shù)p附近擺動(dòng),且一般說(shuō)來(lái),n越大,擺動(dòng)幅度越小,則稱常數(shù)p為事件A的概率,記作P(A).但這不是概率的數(shù)學(xué)上的定義,而只是描述了一個(gè)大數(shù)定律.16整理課件歷史上的擲硬幣試驗(yàn)試驗(yàn)者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.499817整理課件

概率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),但并不是說(shuō)概率決定于經(jīng)驗(yàn).一個(gè)事件發(fā)生的概率完全決定于事件本身的客觀本質(zhì),是先于試驗(yàn)而客觀存在的.

概率的統(tǒng)計(jì)定義僅僅指出了事件的概率是客觀存在的,但并不能用這個(gè)定義計(jì)算P(A).實(shí)際上,人們是采取一次大量試驗(yàn)的頻率或一系列頻率的平均值作為P(A)的近似值的.例如,對(duì)一個(gè)婦產(chǎn)醫(yī)院6年出生嬰兒的調(diào)查中,可以看到生男孩的頻率是穩(wěn)定的,約為0.51518整理課件新生兒性別統(tǒng)計(jì)表出生年份新生兒總數(shù)n新生兒分類數(shù)頻率(%)男孩數(shù)m1女孩數(shù)m2男孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總計(jì)31394161461524851.4848.5219整理課件概率的古典定義(概率的古典概型)有一類試驗(yàn)的特點(diǎn)是:1每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果；2每次試驗(yàn)中,各基本事件出現(xiàn)的可能性完全相同.具這兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn).在古典概型的試驗(yàn)中,如果總共有n個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果,因此每個(gè)基本事件發(fā)生的概率為1/n,如果事件A包含有m個(gè)基本事件,則事件A發(fā)生的概率則為m/n.20整理課件定義1.2若試驗(yàn)結(jié)果一共由n個(gè)基本事件E1,E2,…,En組成,并且這些事件的出現(xiàn)具有相同的可能性,而事件A由其中某m個(gè)基本事件E1,E2,…,Em組成,則事件A的概率可以用下式計(jì)算:21整理課件簡(jiǎn)單的例子擲一枚硬幣的試驗(yàn),基本事件為正面和反面,而且由于硬幣的對(duì)稱性,因此出現(xiàn)正面和反面的概率一樣,都是1/2.擲一次骰子的試驗(yàn),基本事件有6個(gè),因此每個(gè)基本事件的概率為1/6,則P{奇數(shù)點(diǎn)}=3/6=1/2,P{小于3}=P{1,2}=2/6=1/3等等.22整理課件排列和組合在古典概型的概率的計(jì)算中困難的是計(jì)算一事件包含的基本事件的數(shù)目,因此需要排列和組合的知識(shí).乘法法則:如果一件事情可以分為兩步做,第一步有n種選擇,在第一步中的每一種選擇中,第二步有m種選擇,則整件事情共有

mn種選擇23整理課件放回抽樣假設(shè)一副牌有52張,將它們編號(hào)為1,2,…,52.每次抽出一張觀察后再放回去(這樣下一次這張牌仍有機(jī)會(huì)被抽到),這叫放回抽樣.假設(shè)共抽了5次,共有多少種可能的抽法?第一次有52種抽法,在第一次的每一種抽法中,第二次又有52種抽法,…,因此抽5次共有

5252525252=525種抽法.一般地,從n個(gè)元素中進(jìn)行m次放回抽樣,則共有nm種抽法.24整理課件不放回抽樣(排列)還是這52張牌,每次抽出一張,但不放回,則第二次抽時(shí)只有51張牌,第三次就只有50張牌.如果這樣抽5次,就共有

5251504948=52!/47!種抽法一般地,從N個(gè)元素中抽取n個(gè)(nN),共有25整理課件不放回抽樣(組合)如果從N個(gè)元素中不放回抽樣n個(gè),但不關(guān)心其順序,比如說(shuō)(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被視作一樣,則稱為組合,因此,組合的數(shù)目要比排列的數(shù)目小n!倍,記作26整理課件書(shū)上例1袋內(nèi)裝有5個(gè)白球,3個(gè)黑球,從中任兩個(gè)球,計(jì)算取出的兩個(gè)球都是白球的概率.27整理課件例2一批產(chǎn)品共200個(gè),廢品有6個(gè),求(1)這批產(chǎn)品的廢品率;(2)任取3個(gè)恰有一個(gè)是廢品的概率;(3)任取3個(gè)全非廢品的概率解設(shè)P(A),P(A1),P(A0)分別表示(1),(2),(3)中所求的概率,則28整理課件例3兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)郵筒投寄,求第二個(gè)郵筒恰好被投入1封信的概率及前兩個(gè)郵筒中各有一封信的概率.解設(shè)事件A={第二個(gè)郵筒恰有一封信}事件B={前兩個(gè)郵筒中各有一封信}兩封信投入4個(gè)郵筒共有44種投法,而組成事件A的投法有23種,組成事件B的投法則只有2種,因此29整理課件比較難的例子：

一個(gè)小型電影院出售電影票,每張5元.總共有10個(gè)觀眾隨機(jī)地排成一隊(duì)買票,其中有5人手持一張5元的鈔票,另5人手持10元一張的鈔票.售票開(kāi)始時(shí),售票員手里沒(méi)有零鈔,求售票能夠進(jìn)行的概率(即不因?yàn)槿鄙倭沐X找不開(kāi)而需要等的概率).30整理課件售票能進(jìn)行的例:售票不能進(jìn)行的例:持五元持十元31整理課件基本事件總數(shù)n的計(jì)算:

考慮將5個(gè)手持五元的人隨機(jī)地放入10個(gè)排隊(duì)位置中的5個(gè),則剩下的5個(gè)位置當(dāng)然是手持十元的人的位置.即10個(gè)位置中拿出5個(gè)來(lái)放手持五元的人的總數(shù)n.32整理課件將問(wèn)題改變一下,假設(shè)售票員手里還是有足夠的零鈔找換的,因此"售票能進(jìn)行"的事件就等于售票員始終沒(méi)有使用自己手中的零鈔的事件,而"售票不能進(jìn)行"的事件就是售票員要?jiǎng)佑米约菏种械牧汊n的事件.

假設(shè)在售票開(kāi)始時(shí),售票員手中的五元零鈔數(shù)目為0,在售票過(guò)程中,遇到手持五元鈔的觀眾則零鈔數(shù)目增1,否則零鈔數(shù)目減1,如果必須動(dòng)用售票員手中原有的零鈔時(shí),零鈔數(shù)目可能變?yōu)樨?fù)值.將售票過(guò)程中的零鈔數(shù)目的變化繪成折線圖.33整理課件售票能進(jìn)行的例子:01234-1-2-3-434整理課件售票不能進(jìn)行的例子:01234-1-2-3-435整理課件售票不能進(jìn)行的例子:01234-1-2-3-436整理課件對(duì)于售票不能進(jìn)行的例子,在遇到第一個(gè)手持10元卻必須給他找自己的零鈔的人時(shí),將后面的人的手中鈔票都換一下,5元的換10元,10元的換5元,這樣總的效果就是有6人持10元鈔,4人持5元鈔,在售完票時(shí)零鈔總損失必然是2個(gè)5元鈔.

反過(guò)來(lái),如果一開(kāi)始就是有6人持10元4人持5元,則售票必然不能進(jìn)行,因此必然存在第一個(gè)無(wú)法找零鈔的人,如果這時(shí)將其后面的人10元換5元,5元換10元,則對(duì)應(yīng)于一個(gè)5人持10元5人持5元且售票不能進(jìn)行的事件.37整理課件因此,6人持10元4人持5元的排隊(duì)事件總數(shù),和5人持10元5人持5元售票不能進(jìn)行的事件總數(shù)應(yīng)當(dāng)是一樣的.我們只需計(jì)算前者的事件總數(shù),而這等于先將10個(gè)排隊(duì)位置中拿出4個(gè)放持5元的人的總數(shù).38整理課件因此,假設(shè)事件A為售票能進(jìn)行,事件B為售票不能進(jìn)行,有利于A的基本事件數(shù)為nA,有利于B的基本事件數(shù)為nB,則39整理課件第2次課:隨機(jī)事件及其概率Ⅱ概率的加法法則習(xí)題一:13,14,15,16,1740整理課件習(xí)題一第3題用步槍射擊目標(biāo)5次,設(shè)Ai為"第i次擊中目標(biāo)"(i=1,2,3,4,5),B為"5次中擊中次數(shù)大于2",用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?解(1)5次射擊至少一次擊中目標(biāo)

(2)5次射擊沒(méi)有一次擊中目標(biāo)

(3)5次射擊中擊中次數(shù)不大于241整理課件記住事件的加與積的運(yùn)算滿足分配律即任給事件A,B,C(A+B)C=AC+BC,如果AB,則A+B=A而對(duì)于任何事件都有AAB,因此對(duì)任何事件A與B恒有A+AB=A42整理課件第4題用圖示法簡(jiǎn)化各式(A,B,C都相容)(A+B)(B+C)(A+B)(B+C)=A(B+C)+B(B+C) =AB+AC+B+BC=B+ACABC43整理課件(2)(A+B)(A+B)AB44整理課件(2)(A+B)(A+B)(A+B)AB45整理課件概率的加法法則46整理課件例1100個(gè)產(chǎn)品中有60個(gè)一等品,30個(gè)二等品,10個(gè)廢品.規(guī)定一,二等品都為合格品,考慮這批產(chǎn)品的合格率與一,二等品之間的關(guān)系解設(shè)事件A,B分別表示產(chǎn)品為一,二等品.則A與B不相容,AB=,A+B為合格品,則47整理課件例2200個(gè)產(chǎn)品中有6個(gè)廢品,任取3個(gè),求最多只有一個(gè)廢品的概率P(B)解:設(shè)事件A0,A1分別表示3個(gè)廢品中有0個(gè)和1個(gè)廢品,則B=A0+A1,且A0與A1與互不相容.則有利于B的基本事件數(shù)等于有利于A0與A1的基本事件數(shù)m1與m2之和,因此48整理課件例對(duì)光顧一個(gè)超市的顧客的購(gòu)買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),總共觀察了1000名顧客,其中花了400元以上的有50名,花的錢在100元到400元的有500名,試估計(jì)花錢超過(guò)100元的概率解:假設(shè)A={花錢超過(guò)100元},B={花錢在100元到400元之間},C={花錢超過(guò)400元},利用頻率來(lái)估計(jì)概率,則B,C互不相容,A=B+C49整理課件加法法則兩個(gè)互不相容(互斥)事件之和的概率等于它們的概率的和.即當(dāng)AB=時(shí),

P(A+B)=P(A)+P(B)實(shí)際上,只要P(AB)=0,上式就成立.加法法則的一個(gè)形象解釋:將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的方形看作是整個(gè)樣本空間,而其中的每一區(qū)域代表一事件,這些區(qū)域的面積代表此事件發(fā)生的概率,則可以看出加法法則50整理課件如下圖所示:如果區(qū)域A與區(qū)域B不重合,則它們的總的面積等于各個(gè)區(qū)域的面積之和11AB51整理課件如果n個(gè)事件A1,A2,…,An互不相容,則

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)這個(gè)性質(zhì)稱為概率的有限可加性,但在建立概率概念時(shí)需要規(guī)定概率應(yīng)具有完全可加性(又稱可列可加性),即如果可列個(gè)事件A1,A2,…兩兩互不相容,則有A1A2A3A452整理課件若n個(gè)事件A1,A2,…,An構(gòu)成一完備事件組,則它們的概率的和為1,即

P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特別地,兩個(gè)對(duì)立事件概率之和為1,即A1A2A3A4AA53整理課件例擲3次硬幣,求至少一次正面朝上的概率.解:假設(shè)A={至少一次正面},則

A={全是反面},只包含一個(gè)基本事件.基本事件總數(shù)為23=8,因此當(dāng)直接計(jì)算事件的概率較困難時(shí),可以考慮先求此事件的逆事件的概率54整理課件如果BA,則P(B-A)=P(B)-P(A)這是因?yàn)?如果BA,則必有B=A+(B-A),而A與B-A互不相容,因此P(B)=P(A)+P(B-A)BA55整理課件對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)這被稱為廣義加法法則,這是因?yàn)锳+B=A+(B-AB),而A與B-AB互斥,因此P(A+B)=P(A)+P(B-AB),而因?yàn)锽AB則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)AB56整理課件由廣義加法法則可以推導(dǎo)出多個(gè)事件的和的概率公式例如,考慮任意三個(gè)事件之和A+B+C的概率P(A+B+C),先將B+C看作一個(gè)事件,得P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)-P[A(B+C)] =P(A)+P(B+C)-P(AB+AC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)-

-P(AB)-P(AC)+P(ABC)最后得P(A+B+C)==P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)ABC57整理課件例3產(chǎn)品有一,二等品及廢品3種,若一,二等品率分別為0.63及0.35,求產(chǎn)品的合格率與廢品率.解令事件A表示產(chǎn)品為合格品,A1,A2分別表示一,二等品.顯然A1與A2互不相容,并且A=A1+A2,則

P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =0.63+0.35=0.98

P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02注意此題并非古典概型題.58整理課件例4一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球,4個(gè)是白球,3個(gè)為黑球.從中一次抽取3個(gè),計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.解：設(shè)事件Ai表示抽到的3個(gè)球中有i個(gè)白球(i=2,3),顯然A2與A3互不相容,且59整理課件例550個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品,從中一次抽取3個(gè),求其中有廢品的概率.解設(shè)事件A表示取到的3個(gè)中有廢品,則事件A的逆為取到的3個(gè)產(chǎn)品中沒(méi)有廢品更好計(jì)算一些,因此有60整理課件在嚴(yán)格的概率論公理化體系中,把一個(gè)隨機(jī)事件的概率所應(yīng)具備的三個(gè)基本屬性作為建立概率的數(shù)學(xué)理論的出發(fā)點(diǎn),直接規(guī)定為三條公理,即:(1)對(duì)任何事件A,P(A)0;(2)P()=1(3)若可列個(gè)事件A1,A2,…兩兩不相容,則而前面的加法法則只是公理(3)的一種特殊情況61整理課件(1998年MBA試題)(A)0.4 (B)0.6 (C)0.7 (D)0.8 (E)0.9解：根據(jù)狄.摩根定理62整理課件(1992年研究生入學(xué)考試題)63整理課件(1990年研究生入學(xué)考試題)由已知得:64整理課件第3次課:隨機(jī)事件及其概率Ⅲ

條件概率第二個(gè)重要法則——乘法法則全概率公式貝葉斯公式習(xí)題一（19，21，23，25，27，28，30）65整理課件先看1.3中的例1100個(gè)產(chǎn)品中有60個(gè)一等品,30個(gè)二等品,10個(gè)廢品.規(guī)定一,二等品都是合格品.試驗(yàn):從100個(gè)產(chǎn)品中任抽一個(gè)假設(shè):A,B為抽到的為一,二等品,C為抽到的是合格品,則C=A+B則一等品率為P(A)=60/100,二等品率為P(B)=30/100.合格率為P(C)=90/100如果改變?cè)囼?yàn)為:從合格品中任抽一件,則合格品中的一等品率為P(A|C)=60/90.66整理課件定義1.3在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率,稱為事件A在給定B下的條件概率,簡(jiǎn)稱為A對(duì)B的條件概率,記作P(A|B).相應(yīng)地,把P(A)稱為無(wú)條件概率.這里,只研究作為條件的事件B具有正概率即P(B)>0的情況.67整理課件條件概率意味著樣本空間的壓縮或者可以認(rèn)為是基本事件的減少而導(dǎo)致的試驗(yàn).以事件B為條件的條件概率,意味著在試驗(yàn)中將B提升為必然事件.BB68整理課件例1市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中,甲廠的產(chǎn)品占70%,乙廠占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠的合格率是80%,若用事件A,A分別表示甲乙兩廠的產(chǎn)品,B表示產(chǎn)品為合格品,試寫出有關(guān)事件的概率和條件概率解依題意注:在解題過(guò)程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是將條件概率寫成無(wú)條件概率!69整理課件例2全年級(jí)100名學(xué)生中,有男生(以事件A表示)80人,女生20人,來(lái)自北京的(以事件B表示)有20人,其中男生12人,女生8人,免修英語(yǔ)的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生,則有P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.470整理課件因此,在概率論中把某一事件B在給定另一事件A(P(A)>0)下的條件概率P(B|A)定義為乘法法則兩個(gè)事件A,B之交的概率等于其中任一個(gè)事件(其概率不為零)的概率乘以另一個(gè)事件在已知前一個(gè)事件發(fā)生下的條件概率,即

P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0)

P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0)71整理課件相應(yīng)地,關(guān)于n個(gè)事件A1,A2,…,An的乘法公式為:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… …P(An|A1A2…An-1)在證明此式時(shí),首先將事件A1A2…An分為兩個(gè)事件A1和A2…An然后套用乘法公式得

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2…An|A1)然后再將P(A2…An|A1)中的A2…An分為兩個(gè)事件A2和A3…An,這樣依此類推就能夠得到上式.72整理課件無(wú)論是兩個(gè)事件的乘法公式還是多個(gè)事件的乘法公式都是非常重要的,需要在解題前背下來(lái),它們可以用來(lái)解許多概率論的較難的題在通常的情況下,一事件A條件下的對(duì)另一事件B的條件概率P(A|B)通常是好算的,而兩事件的積的概率P(AB)往往是不好算的.這是因?yàn)闂l件概率是在條件受控情況下的概率,能夠在一個(gè)較"小"的樣本空間中討論問(wèn)題,相對(duì)容易一些.73整理課件再回到例1市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品(A)占70%,乙廠(A)占30%,甲廠產(chǎn)品合格率是95%,乙廠合格率是80%,B表示產(chǎn)品為合格品解依題意74整理課件例410個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到難簽,甲,乙都抽到難簽,甲沒(méi)抽到難簽而乙抽到難簽以及甲,乙,丙都抽到難簽的概率.

解設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙丙各抽到難簽75整理課件這道題也可以用古典概型的辦法來(lái)做,因?yàn)殛P(guān)心的是抽簽人的次序問(wèn)題,因此共有10個(gè)簽,3個(gè)人抽簽,基本事件總數(shù)n為10個(gè)里面拿出3個(gè)來(lái)作排列,而A表示第一個(gè)人抽到難簽,則有利于A的基本事件數(shù)m的計(jì)算為:首先從4個(gè)難簽中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置,而剩下的9個(gè)簽則排列在剩下的兩個(gè)位置用這種思路可以知道P(B)和P(C)也都是4/1076整理課件事件上,即使這十張難簽由10個(gè)人抽去,因?yàn)槠渲杏?張難簽,因此每個(gè)人抽到難簽的概率都是4/10,與他抽的次序無(wú)關(guān).正如十萬(wàn)張彩票如果只有10個(gè)特等獎(jiǎng),則被十萬(wàn)個(gè)人抽去,無(wú)論次序如何,每個(gè)人的中獎(jiǎng)概率都是十萬(wàn)分之十,即萬(wàn)分之一.這在概率論中叫抽簽原理.這類問(wèn)題經(jīng)常在研究生的入學(xué)考試題中出現(xiàn),如果知道,就能夠很快回答,否則就有可能出錯(cuò).77整理課件例如(1993年考研題,3分)一批產(chǎn)品有10個(gè)正品和2個(gè)次品,任意抽取兩次,每次抽一個(gè),抽出后不放回,則第二次抽出的是次品的概率為_(kāi)___.因產(chǎn)品總數(shù)是12,次品數(shù)是2,因此答案是2/12.(1997年考研題,3分)袋中有50個(gè)乒乓球,其中20個(gè)是黃球,30個(gè)是白球.今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球,取后不放回,則第2個(gè)人取得黃球的概率是____.因共有50個(gè)乒乓球,20個(gè)黃球,因此答案是2/5.78整理課件(1998MBA試題)甲乙兩選手進(jìn)行乒乓球單打比賽,甲發(fā)球成功后,乙回球失誤的概率為0.3,若乙回球成功,甲回球失誤的概率為0.4,若甲回球成功,乙再回球時(shí)失誤的概率為0.5,試計(jì)算這幾個(gè)回合中,乙輸?shù)粢环值母怕?解設(shè)Ai為甲在第i回合發(fā)(回)球成功的事件,Bi為乙在第i回合回球成功的事件(i=1,2),A為兩個(gè)回合中乙輸?shù)粢环值氖录?則79整理課件則因80整理課件(1998MBA試題)5人以摸彩方式?jīng)Q定誰(shuí)得1張電影票.今設(shè)Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5),則下列結(jié)果中有1個(gè)不正確,它是()81整理課件解摸彩即是做5張彩票,其中1張寫"有",其余4張寫"無(wú)".則P(A3|A1A2)是指在前兩個(gè)人沒(méi)有抽到條件下第3個(gè)人抽到的事件,則第3個(gè)人抽時(shí)只有三張彩票,則抽中的條件概率當(dāng)然是1/3.因此選項(xiàng)(A)正確.此外,每個(gè)人抽中的無(wú)條件概率顯然是1/5,因此選項(xiàng)(D)正確.選項(xiàng)(B)和(E)可由乘法法則求得為因此選項(xiàng)(C)不正確,答案為(C)82整理課件全概率公式和貝葉斯公式83整理課件還可以進(jìn)一步計(jì)算,如果買到一合格品,此合格品是甲廠生產(chǎn)的概率P(A|B):84整理課件例410個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,3人參加抽簽(不放回),甲先,乙次,丙最后,設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙丙各抽到難簽,求乙抽到難簽的概率P(B)

解利用B=AB+AB,且AB與AB互斥,得85整理課件從形式上看事件B是比較復(fù)雜的,僅僅使用加法法則或乘法法則無(wú)法計(jì)算其概率.于是先將復(fù)雜的事件B分解為較簡(jiǎn)單的事件AB與AB;再將加法法則與乘法法則結(jié)合起來(lái),計(jì)算出需要求的概率.把這個(gè)想法一般化,得到全概率定理,又稱全概率公式.86整理課件全概率定理如果事件A1,A2,…構(gòu)成一個(gè)完備事件組,并且都具有正概率,則對(duì)任意一事件B有證由于A1,A2,…兩兩互不相容,因此,A1B,A2B,…也兩兩互不相容.且87整理課件全概率定理的圖形理解如圖所示,事件B的面積為B與各個(gè)事件Ai相交的面積之和.A1A2A3A4B88整理課件用全概率定理來(lái)解題的思路,從試驗(yàn)的角度考慮問(wèn)題,一定是將試驗(yàn)分為兩步做,將第一步試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果分為一些完備事件組A1,A2,…,An,然后在這每一事件下計(jì)算或給出某個(gè)事件B發(fā)生的條件概率,最后用全概率公式綜合全概率定理解題的思路試驗(yàn)1試驗(yàn)2…A1A2AnB89整理課件例612個(gè)乒乓球都是新球,每次比賽時(shí)取出3個(gè)用完后放回,求第3次比賽時(shí)取到的3個(gè)球都是新球的概率解假設(shè)A0,A1,A2,A3為第一次取到0個(gè),1個(gè),2個(gè),3個(gè)新球,當(dāng)然,因?yàn)橐婚_(kāi)始都是新球,因此第一次只能取到3個(gè)新球,即A3為必然事件,而A0,A1,A2都是不可能事件.再假設(shè)B0,B1,B2,B3為第二次取到0個(gè),1個(gè),2個(gè)3個(gè)新球,當(dāng)?shù)诙稳∏虻臅r(shí)候,12個(gè)乒乓球中必然有3個(gè)舊球,而B(niǎo)0,B1,B2,B3構(gòu)成完備事件組,并能夠求出它們的概率,再假設(shè)C3為最后取到3個(gè)新球,則針對(duì)C3使用全概率公式.90整理課件則有:91整理課件綜合就是92整理課件貝葉斯定理若A1,A2,…,構(gòu)成一個(gè)完備事件組,并且它們都具有正概率,則對(duì)于任何一個(gè)概率不為零的事件B,有證由條件概率的定義得93整理課件貝葉斯定理解題的題型與全概率定理的題型完全一樣,只是要求的是一個(gè)條件概率,是在信息論中的重要公式,即在二次試驗(yàn)后,觀察者只能看到最后的結(jié)果事件B,卻要根據(jù)B來(lái)推斷第一步試驗(yàn)的哪個(gè)事件發(fā)生了的條件概率貝葉斯定理解題的思路A1試驗(yàn)1試驗(yàn)2…A2AnB觀察者94整理課件全概率公式和貝葉斯公式可以用表格計(jì)算:P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A2)P(B|A2)………P(An)P(B|An)P(An)P(B|An)P(B)=95整理課件例7假定某工廠甲乙丙3個(gè)車間生產(chǎn)同一種螺釘,產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%,20%.如果各車間的次品率依次為4%,2%,5%.現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品,試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率解設(shè)事件B表示"產(chǎn)品為次品",A1,A2,A3分別表示"產(chǎn)品為甲,乙,丙車間生產(chǎn)的",顯然,A1,A2,A3構(gòu)成一完備事件組.依題意,有P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20%P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%96整理課件則由貝葉斯公式得97整理課件在使用全概率公式和貝葉斯公式的題型中,關(guān)鍵的一步是要使用一完備事件組,而最常用的完備事件組,是一事件A與它的逆A構(gòu)成的完備事件組,這時(shí)的全概率與貝葉斯公式為,(應(yīng)在考試前專門將它們記住).98整理課件例假設(shè)在某特定人群中某種疾病的發(fā)病率為p.對(duì)此疾病有一種血檢方法.如果一個(gè)人得了這種病,則此血檢結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為,而如果一個(gè)人沒(méi)這種病化驗(yàn)卻呈陽(yáng)性的概率為.求出當(dāng)化驗(yàn)為陽(yáng)性時(shí),此人得了這種病的概率和沒(méi)得這種病的概率.99整理課件解設(shè)A為事件"待檢者患病",B為事件"試驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性",則100整理課件1987年理工科碩士入學(xué)考試題有兩個(gè)箱子,第一個(gè)箱子有3個(gè)白球2個(gè)紅球,第二個(gè)箱子有4個(gè)白球4個(gè)紅球.現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里,再?gòu)牡?個(gè)箱子中取1個(gè)球,此球是白球的概率為_(kāi)_____,已知上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球,則從第1個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為_(kāi)_____.101整理課件解假設(shè)事件A為從第1個(gè)箱子取出的是白球,B為從第2個(gè)箱子取出的是白球,第一步試驗(yàn)中的A與A構(gòu)成完備事件組,則102整理課件1999年MBA試題甲盒內(nèi)有紅球4只,黑球2只,白球2只;乙盒內(nèi)有紅球5只,黑球3只;丙盒內(nèi)有黑球2只,白球2只,從這3只盒的任意一只中取出1只球,它是紅球的概率是()(A)0.5626 (B)0.5 (C)0.45 (D)0.375 (E)0.225解假設(shè)A1,A2,A3為取到甲,乙,丙盒的事件,這是第一步試驗(yàn)的各事件,構(gòu)成完備事件組.假設(shè)B為最后取出的是紅球的事件.103整理課件則104整理課件第4次課:隨機(jī)事件及其概率Ⅳ獨(dú)立事件的概念獨(dú)立試驗(yàn)序列、n重貝努里試驗(yàn)概率模型互不相容（互斥）與相互獨(dú)立的關(guān)系，在互斥和相互獨(dú)立條件下，加法法則與乘法法則的表現(xiàn)形式。完成課后作業(yè)習(xí)題一（34，36，38，40）

105整理課件事件的獨(dú)立性定義1.4如果事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響,即P(A|B)=P(A),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.106整理課件由此定義及條件概率P(A|B)的定義有107整理課件如A與B獨(dú)立,則108整理課件定義1.5如果n(n>2)個(gè)事件A1,A2,…,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響,則稱A1,A2,…,An相互獨(dú)立.若A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)109整理課件如果是要求多個(gè)相互獨(dú)立的事件的并的概率,則應(yīng)當(dāng)利用狄.摩根定理將事件的并轉(zhuǎn)換為事件的交,也就是考慮事件的逆的概率.110整理課件P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例如,常見(jiàn)的求AB+CD+EF的概率,則P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F相互之間獨(dú)立,則上式中的各個(gè)交事件的概率再變成各概率之積.111整理課件例1甲,乙,丙3部機(jī)床獨(dú)立工作,由一個(gè)工人照管,某段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.9,0.8及0.85.求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概率以及機(jī)床因無(wú)人照管而停工的概率.解用事件A,B,C分別表示在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床甲,乙,丙不需工人照管.依題意A,B,C相互獨(dú)立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85則這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概率為112整理課件而當(dāng)至少有兩部機(jī)床需要照管的時(shí)候,就有機(jī)床因無(wú)人照管而停工了,這樣的事件是113整理課件也可以用對(duì)立事件來(lái)作機(jī)床因無(wú)人照管而停工的對(duì)立事件是，最多有一臺(tái)機(jī)床需要照管，因此其概率為：114整理課件例2若例1中的3部機(jī)床性能相同,設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=0.8,求這段時(shí)間內(nèi)恰有一部機(jī)床需人照管的概率假設(shè)事件E為"三部中恰有一部需人照管",而D1,D2,D3為恰好甲,乙,丙機(jī)床需人照管,則115整理課件而E=D1+D2+D3為三個(gè)互不相容事件之和,

而且P(D1)=P(D2)=P(D3),都是由一個(gè)0.2與兩個(gè)0.8相乘,因此可以寫成116整理課件例3如圖所示,開(kāi)關(guān)電路中開(kāi)關(guān)a,b,c,d開(kāi)或關(guān)的概率都是0.5,且各開(kāi)關(guān)是否關(guān)閉相互獨(dú)立.求燈亮的概率以及若已見(jiàn)燈亮,開(kāi)關(guān)a與b同時(shí)閉合的概率abcd117整理課件解令事件A,B,C,D分別表示開(kāi)關(guān)a,b,c,d關(guān)閉,E表示燈亮,則E=AB+C+Dabcd118整理課件P(E)=P(AB+C+D)

=P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD)

-P(CD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C)

-P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54=0.8125

P(AB|E)=P(ABE)/P(E)

而ABE,故ABE=AB,因此119整理課件98年經(jīng)濟(jì)類考研題甲,乙,丙三人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽,已知甲的命中率為0.9,乙的命中率為0.8,丙的命中率為0.7,現(xiàn)每人各投一次,求:(1)三人中至少有兩人投進(jìn)的概率;(2)三人中至多有兩人投進(jìn)的概率.解:設(shè)A="甲投進(jìn)",B="乙投進(jìn)",C="丙投進(jìn)"則三人中至少兩人投中的事件為AB+AC+BC三人中至多有兩人投進(jìn)的事件為120整理課件因此121整理課件1998經(jīng)濟(jì)類考研題

設(shè)A,B,C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,且0<P(C)<1,則在下列給定的四對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是解:由題設(shè),A,B,C是三個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件,那么其中任意兩個(gè)事件或其對(duì)立事件的和,差,交與另一事件或者其對(duì)立事件是相互獨(dú)立的,根據(jù)這一性質(zhì),只有B是不成立的.122整理課件1994年經(jīng)濟(jì)類考研題123整理課件這是因?yàn)?如果124整理課件2000年經(jīng)濟(jì)類考研題

設(shè)A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立,則A,B,C相互獨(dú)立的充分必要條件是()

A.A與BC獨(dú)立 B.AB與A+C獨(dú)立

C.AB與AC獨(dú)立 D.A+B與A+C獨(dú)立解:選項(xiàng)B,C,D的兩個(gè)事件中都出現(xiàn)事件A,因此都不可能獨(dú)立.因此考察選項(xiàng)A,如A與BC獨(dú)立,則P(ABC)=P(A)P(BC)

但A,B,C兩兩獨(dú)立,因此P(BC)=P(B)P(C)因此P(ABC)=P(A)P(B)P(C),即A,B,C相互獨(dú)立,反之亦然.因此,應(yīng)填選項(xiàng)