統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/81皖西學(xué)院數(shù)理系（優(yōu)選）統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布目前二頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/82皖西學(xué)院數(shù)理系第一節(jié)統(tǒng)計(jì)量目前三頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/83皖西學(xué)院數(shù)理系定義：設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，g(X1,X2,…,Xn)是樣本的函數(shù)，若g中不含任何未知參數(shù)，則稱(chēng)g(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。若(x1,x2,…,xn

)

是樣本（X1,X2,…,Xn）的觀(guān)察值，則g(x1,x2,…,xn

)是g(X1,X2,…,Xn)的觀(guān)察值。如是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，則都是統(tǒng)計(jì)量；若未知，則就不是統(tǒng)計(jì)量。目前四頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/84皖西學(xué)院數(shù)理系補(bǔ)充說(shuō)明統(tǒng)計(jì)量是我們對(duì)總體的分布函數(shù)或數(shù)字特征進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的最重要的基本概念，所以建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，以及尋求統(tǒng)計(jì)量的分布成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題之一。并把統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布。目前五頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/85皖西學(xué)院數(shù)理系第二節(jié)常用統(tǒng)計(jì)量常用的統(tǒng)計(jì)量主要有兩種類(lèi)型：1、描述數(shù)據(jù)分布的中心位置；2、描述數(shù)據(jù)分布的分散程度。目前六頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/86皖西學(xué)院數(shù)理系一、樣本均值1、定義式：①一般地，②分組情形：TH1【樣本的所有偏差之和為0】TH2【樣本觀(guān)察值與均值的偏差平方和最小】目前七頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/87皖西學(xué)院數(shù)理系TH2的證明證：由TH1知＝0目前八頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/88皖西學(xué)院數(shù)理系二、樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差1、定義式：①②注：②式比①式更常用，是D(X)的無(wú)偏估計(jì)；n-1稱(chēng)為偏差平方和的自由度。中只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以變動(dòng)。為偏差平方和，目前九頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/89皖西學(xué)院數(shù)理系2、偏差平方的其他計(jì)算式在分組情形下，注：稱(chēng)為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。目前十頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/810皖西學(xué)院數(shù)理系三、樣本中位數(shù)次序統(tǒng)計(jì)量：把簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本按照其取值從小到大的次序排列，記為稱(chēng)之為次序統(tǒng)計(jì)量。在次序統(tǒng)計(jì)量中，位于中間一個(gè)位置的x稱(chēng)為樣本中位數(shù)。并且有目前十一頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/811皖西學(xué)院數(shù)理系樣本中位數(shù)M=med=n為奇數(shù)時(shí)；n為偶數(shù)時(shí).注：樣本均值和樣本中位數(shù)都是描述數(shù)據(jù)分布的中心位置的常用統(tǒng)計(jì)量；對(duì)于對(duì)稱(chēng)分布有目前十二頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/812皖西學(xué)院數(shù)理系四、樣本相關(guān)系數(shù)和散點(diǎn)圖為樣本相關(guān)系數(shù)。且規(guī)定目前十三頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/813皖西學(xué)院數(shù)理系以成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)取值（x，y）作為平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面坐標(biāo)系中畫(huà)出這些點(diǎn)，就得到所謂數(shù)據(jù)對(duì)的散點(diǎn)圖。詳見(jiàn)P105-圖9.2。注：樣本相關(guān)系數(shù)反映了成對(duì)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)程度。例如，考察中學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的散點(diǎn)圖，并說(shuō)明兩科成績(jī)的關(guān)聯(lián)程度。目前十四頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/814皖西學(xué)院數(shù)理系第三節(jié)抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布，即稱(chēng)為抽樣分布。統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)抽樣分布來(lái)作出的。目前十五頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/815皖西學(xué)院數(shù)理系一、有限總體的抽樣分布TH1設(shè)總體中的個(gè)體總數(shù)為N，樣本容量為n,且總體具有有限的均值μ和方差σ2,則有目前十六頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/816皖西學(xué)院數(shù)理系樣本均值的方差較小，體現(xiàn)了樣本均值的穩(wěn)定性。并且，樣本容量越大，反映總體越可靠。補(bǔ)充說(shuō)明如果n<<N,則不放回抽樣可以近似看作是有放回抽樣。對(duì)于無(wú)限總體，不論放回、不放回抽樣，都可以看作是有放回抽樣。本教材主要研究從無(wú)限總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，較大容量的有限總體可以看作是無(wú)限總體。目前十七頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/817皖西學(xué)院數(shù)理系在推斷統(tǒng)計(jì)中，以正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量，在實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用，即統(tǒng)稱(chēng)為“三大抽樣分布”。分布，分布，分布，二、三個(gè)重要分布目前十八頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/818皖西學(xué)院數(shù)理系一、分布〔卡方分布〕定義1設(shè)獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從的分布為自由度為n

的分布，記作：即，則稱(chēng)注：服從分布的隨機(jī)變量取值非負(fù)，其密度函數(shù)及其圖形如下：目前十九頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/819皖西學(xué)院數(shù)理系n=4n=6n=10注：隨n的增大，其偏度越來(lái)越小。分布分位數(shù)表（P425）實(shí)際上也是分布函數(shù)數(shù)值表?！獹a(n/2,1/2)=分布是Ga分布的特例。獨(dú)立，則目前二十頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/820皖西學(xué)院數(shù)理系二、F分布且X與Y相互定獨(dú)立，則稱(chēng)其中m稱(chēng)為第一自由度，n稱(chēng)為第二自由度。定義2設(shè)所服從的分布為自由度是（m,n)的F分布，記作:目前二十一頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/821皖西學(xué)院數(shù)理系F分布的圖形及性質(zhì),則易證：如果進(jìn)而有：其中，目前二十二頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/822皖西學(xué)院數(shù)理系的證明證：目前二十三頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/823皖西學(xué)院數(shù)理系三、t分布所服從的分布是自由度為n的t分布，記作:顯然，t分布是由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與分布組合成的。定義3設(shè)則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量且X與Y相互獨(dú)立，t分布也稱(chēng)為學(xué)生－student分布，其密度函數(shù)如下：目前二十四頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/824皖西學(xué)院數(shù)理系t分布的圖形與性質(zhì)n=10n=4n=1t(x;n)性質(zhì)：t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有著相似的性質(zhì)；而且，隨著n的增加，它與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布越來(lái)越接近。當(dāng)n>30時(shí)，兩者的區(qū)別非常小?？梢员容^這兩種分布的數(shù)值表。目前二十五頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/825皖西學(xué)院數(shù)理系四、抽樣分布定理分別為樣本均值與樣本方差，則1.2.與相互獨(dú)立;3.定理1若，是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，與目前二十六頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/826皖西學(xué)院數(shù)理系證明由定理4知所以又的一個(gè)樣本，則定理2若是來(lái)自正態(tài)總體目前二十七頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/827皖西學(xué)院數(shù)理系由于與相互獨(dú)立，因此與相互獨(dú)立，從而由t分布的定義有：目前二十八頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/828皖西學(xué)院數(shù)理系其中的兩個(gè)樣本，且它們相互獨(dú)立，則定理3設(shè)和是分別來(lái)自正態(tài)總體和目前二十九頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/829皖西學(xué)院數(shù)理系證明由定理?xiàng)l件有所以又因并且它們是相互獨(dú)立的，故由分布的可加性可知目前三十頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/830皖西學(xué)院數(shù)理系從而由獨(dú)立性條件及t分布的定義有即目前三十一頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/831皖西學(xué)院數(shù)理系的兩個(gè)樣本，且它們相互獨(dú)立，則定理4設(shè)和是分別來(lái)自正態(tài)總體和其中，目前三十二頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/832皖西學(xué)院數(shù)理系由相互獨(dú)立性及F分布的定義可知：證明注：若，則目前三十三頁(yè)\總數(shù)三十五頁(yè)\編于二十點(diǎn)2023/5/833皖西學(xué)院數(shù)理系例某鎮(zhèn)有25000戶(hù)家庭，平均擁有汽車(chē)1.2輛，標(biāo)準(zhǔn)差為0.90輛，他們中10％沒(méi)有汽車(chē)?，F(xiàn)有1600戶(hù)家庭的隨機(jī)樣本，問(wèn)在樣本中9％至11％之間的家庭沒(méi)有汽車(chē)的概率是多少？分析：因此，這兩個(gè)條件與所求問(wèn)題無(wú)關(guān)。平