非線性科學(xué)緒論

非線性科學(xué)緒論第1頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)引言什么是非線性

2非線性現(xiàn)象的基本特征第2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、什么是非線性非線性科學(xué)是揭示非線性系統(tǒng)共性，探索復(fù)雜性的一門學(xué)問。非線性系統(tǒng)的微分方程是非線性的，例如：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)方程流體速度場(chǎng)方程什么是非線性科學(xué)第3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、線性科學(xué)和非線性科學(xué)的差異

線性與非線性物理現(xiàn)象有著質(zhì)的差異和不同的特征。1、從結(jié)構(gòu)上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個(gè)因素對(duì)系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應(yīng)，等于各個(gè)因素單獨(dú)作用效應(yīng)的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來(lái)仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學(xué)操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運(yùn)動(dòng)形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時(shí)空中的平滑運(yùn)動(dòng)，可以用性能良好的函數(shù)表示，是連續(xù)的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運(yùn)動(dòng)向不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。第4頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、從系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)和參量變化的響應(yīng)來(lái)看，線性系統(tǒng)的響應(yīng)是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統(tǒng)在一些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，參量的微小變化往往導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)形式質(zhì)的變化，出現(xiàn)與外界激勵(lì)有本質(zhì)區(qū)別的行為，發(fā)生空間規(guī)整性有序結(jié)構(gòu)的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質(zhì)世界的無(wú)限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復(fù)雜性、多變性和演化性。第5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四非線性科學(xué)中較成熟的部分是非線性動(dòng)力學(xué).19世紀(jì)末法國(guó)H.龐加萊的兩項(xiàng)工作——常微分方程的定性理論和天體運(yùn)動(dòng)中定量計(jì)算使他成為非線性科學(xué)最早的代表人物。20世紀(jì)前葉，無(wú)線電技術(shù)促使非線性振動(dòng)理論的誕生，繼承和發(fā)展了龐加萊的成果。20世紀(jì)60年代后，大氣科學(xué)和流體力學(xué)中利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行的數(shù)值研究，分析力學(xué)中數(shù)學(xué)理論的進(jìn)展，以及統(tǒng)計(jì)物理中遠(yuǎn)離平衡態(tài)系統(tǒng)性態(tài)的研究等等，促進(jìn)了在橫向聯(lián)系上發(fā)現(xiàn)并研究各類不同系統(tǒng)由于非線性而導(dǎo)致的共性，即非線性科學(xué)。

第6頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)無(wú)阻尼單擺

1小角度無(wú)阻尼單擺橢圓點(diǎn)2任意角度無(wú)阻尼單擺振動(dòng)雙曲點(diǎn)3無(wú)阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線4用數(shù)值計(jì)算和相圖研究大幅度單擺的運(yùn)動(dòng)第7頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

由牛頓第二定律：

非線性方程式中角頻率：1小角度無(wú)阻尼單擺橢圓點(diǎn)數(shù)學(xué)表達(dá)式第8頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

線性化處理忽略3次以上的高次項(xiàng)得線性方程數(shù)學(xué)表達(dá)式1小角度無(wú)阻尼單擺橢圓點(diǎn)第9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四令代入方程得得特征方程：特征根：得通解為：式中為復(fù)常數(shù)。由于描述單擺振動(dòng)的應(yīng)為實(shí)函數(shù)，所以常數(shù)必須滿足條件：將寫成指數(shù)形式后得：該式是振幅為P，角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)波形為正弦曲線。角頻率只與擺線l得長(zhǎng)度有關(guān)，與擺錘質(zhì)量無(wú)關(guān)，稱為固有角頻率。數(shù)學(xué)表達(dá)式1小角度無(wú)阻尼單擺橢圓點(diǎn)第10頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四使得：一次積分后：式中E為積分常數(shù)，由初始條件決定。把看作為兩個(gè)變量，則方程是一個(gè)圓周方程，圓的半徑為，振動(dòng)過(guò)程是一個(gè)代表點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)動(dòng)。相圖1小角度無(wú)阻尼單擺橢圓點(diǎn)第11頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1小角度無(wú)阻尼單擺橢圓點(diǎn)相圖相圖即狀態(tài)圖，是法國(guó)偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare)于十九世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法。相圖上每一個(gè)點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時(shí)刻狀態(tài)（擺角與角速度），系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用相圖上的點(diǎn)的移動(dòng)來(lái)表示，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為軌線。能量方程右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)動(dòng)能K，第二項(xiàng)為系統(tǒng)勢(shì)能V，E是系統(tǒng)的總能量。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中K和V兩者都隨時(shí)間變化，而系統(tǒng)總能量E保持不變。當(dāng)K=V=0時(shí)，E=0，有，這時(shí)擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，為靜止平衡。當(dāng)E>0時(shí)，由于系統(tǒng)總能量保持不變，擺的運(yùn)動(dòng)用確定周期描述。不同能量E

相應(yīng)于半徑不同的圓，構(gòu)成一簇充滿整個(gè)平面的同心圓[或橢圓]。同一圓周[或橢圓]上各點(diǎn)能量相同，又稱為等能軌道。坐標(biāo)原點(diǎn)是能量E=0的點(diǎn)，圍繞該點(diǎn)是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點(diǎn)為‘橢圓點(diǎn)’。第12頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四周期與擺角無(wú)關(guān)？看看實(shí)驗(yàn)結(jié)果：定性結(jié)論：1.周期隨擺角增加而增加2.隨擺角增加波形趨于矩形單擺周期2任意角度無(wú)阻尼單擺振動(dòng)雙曲點(diǎn)第13頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)方程乘以后積分其中積分設(shè)t=0時(shí)，，周期為T，在時(shí)應(yīng)有，故有：最后得：?jiǎn)螖[周期數(shù)學(xué)表達(dá)式2任意角度無(wú)阻尼單擺振動(dòng)雙曲點(diǎn)第14頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在倒立附近，取對(duì)鉛垂的偏角f表示擺角，代入單擺方程得方程利用得方程積分得雙曲方程：當(dāng)E＝0時(shí)有這是在[]處的雙曲線的漸近線，這點(diǎn)稱為雙曲奇點(diǎn)，也稱鞍點(diǎn)。相圖上這點(diǎn)為的[]點(diǎn)。2任意角度無(wú)阻尼單擺振動(dòng)雙曲點(diǎn)單擺倒立附近的相軌線雙曲奇點(diǎn)第15頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3無(wú)阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線基本方程若取后積分得左邊第一項(xiàng)是單擺動(dòng)能K，左邊第二項(xiàng)是勢(shì)能V右邊積分常數(shù)E是單擺總能

勢(shì)能曲線是余弦函數(shù)勢(shì)能曲線第16頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.坐標(biāo)原點(diǎn)[]附近相軌線為近似橢圓形的閉合軌道；2.平衡點(diǎn)[]為單擺倒置點(diǎn)（鞍點(diǎn)），附近相軌線雙曲線；3.從[]到[]或相反的連線為分界線在分界線內(nèi)的軌線是閉合回線單擺作周期振動(dòng)。分界線以外單擺能量E超過(guò)勢(shì)能曲線的極大值，軌道就不再閉合，單擺作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)單擺完整相圖3無(wú)阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線第17頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四相圖橫坐標(biāo)θ是以2p為周期的，擺角是同一個(gè)倒立位置，把相圖上G點(diǎn)與G‘點(diǎn)重迭一起時(shí)，就把相平面卷縮成一個(gè)柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面上。因此，平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。柱面上的單擺相軌線3無(wú)阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線第18頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4用數(shù)值計(jì)算和相圖研究大幅度單擺的運(yùn)動(dòng)可積的！??！勢(shì)能函數(shù)

能量守恒方程

計(jì)算機(jī)作圖第19頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4用數(shù)值計(jì)算和相圖研究大幅度單擺的運(yùn)動(dòng)第20頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4用數(shù)值計(jì)算和相圖研究大幅度單擺的運(yùn)動(dòng)（1）存在兩類奇點(diǎn).中心

鞍點(diǎn)

（2）存在兩類軌線.第21頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4用數(shù)值計(jì)算和相圖研究大幅度單擺的運(yùn)動(dòng)大幅度單擺運(yùn)動(dòng)在無(wú)外界驅(qū)動(dòng)和無(wú)阻尼的情況下是屬于保守、自治系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),相軌跡不隨時(shí)間改變,且不能相交.

計(jì)算結(jié)果表明它只可能做周期性的擺動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng),不可能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.對(duì)應(yīng)于能量較大(即擺角較大)的擺動(dòng),因有諧頻出現(xiàn),它的閉合軌線不是橢圓,與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的軌線是不同的,其擺動(dòng)周期與初始條件有關(guān).除基頻譜線外,還可以看到1條3倍頻的諧頻譜線.功率譜是分立的。

第22頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.相平面法2.平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性第三節(jié)相圖方法第23頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由單擺基本方程引進(jìn)變數(shù)y：一個(gè)二階方程改用兩個(gè)一階微分方程來(lái)描寫：利用第二式可得單擺相軌線方程積分得單擺的橢圓軌線方程：?jiǎn)螖[1相圖方法第24頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一個(gè)非線性微分方程：

引進(jìn)變數(shù)y后有或更一般的形式得相軌線方程：一般情況1相圖方法第25頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四相平面法1.相軌道方程相平面法是一種直觀的幾何方法,它適用于描述系統(tǒng)的一維運(yùn)動(dòng).以位置、速度為坐標(biāo)建立坐標(biāo)系,通常稱此坐標(biāo)平面為相平面(廣義相平面).相平面中任一點(diǎn)代表該時(shí)刻系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),稱為相點(diǎn).相點(diǎn)連續(xù)變化形成的軌道則描述了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,稱為相軌道(簡(jiǎn)稱軌線),這種圖形也稱相圖.自治系統(tǒng)非自治系統(tǒng)第26頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.軌線的作法相軌道方程

對(duì)保守系統(tǒng),可利用勢(shì)能曲線作相圖.第27頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四單位質(zhì)量的動(dòng)能

能量守恒例題1

第28頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題2

第29頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.軌線的普遍性質(zhì)（1）對(duì)于自治系統(tǒng),軌線不隨時(shí)間改變,互不相交.若相軌道是一條閉合曲線,則系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng).（2）軌線的方向即相點(diǎn)沿軌線運(yùn)動(dòng)的方向,由相點(diǎn)位置確定,上半部向右，下半部向左.（3）是相點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度矢量的兩個(gè)分量.對(duì)于保守系統(tǒng)第30頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四阻尼振動(dòng)4.奇點(diǎn)及其附近的軌線在相平面上,滿足的點(diǎn)稱為奇點(diǎn),對(duì)此點(diǎn)有即相軌道方向是不確定的.從力學(xué)角度看,奇點(diǎn)即平衡點(diǎn),表明系統(tǒng)處于平衡態(tài),故又稱不動(dòng)點(diǎn).對(duì)于保守系統(tǒng),奇點(diǎn)有3種類型,分別與勢(shì)能曲線的極大點(diǎn)、極小點(diǎn)和拐點(diǎn)3種情況對(duì)應(yīng).常見的是中心和鞍點(diǎn).

第31頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四中心鞍點(diǎn)第32頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由單擺基本方程引進(jìn)變數(shù)y：一個(gè)二階方程改用兩個(gè)一階微分方程來(lái)描寫：利用第二式可得單擺相軌線方程積分得單擺的橢圓軌線方程：?jiǎn)螖[1相圖方法第33頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一個(gè)非線性微分方程：

引進(jìn)變數(shù)y后有或更一般的形式得相軌線方程：一般情況1相圖方法第34頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)的平衡點(diǎn)從下面推出：一般的形式平衡點(diǎn)坐標(biāo)：系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性第35頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)平衡點(diǎn)的鄰域進(jìn)行泰勒展開引進(jìn)新變數(shù)：平衡點(diǎn)附近的軌線方程

2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性得新方程：式中

研究平衡點(diǎn)的鄰域的相軌線，可以忽略高階項(xiàng)，得線性方程組第36頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四研究平衡點(diǎn)的鄰域線性方程組微分代入得二階線性方程：通過(guò)求解這方程得各種平衡點(diǎn)類型

2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)附近的軌線方程第37頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方程代入特征方程引入符號(hào)特征方程解：由特征方程得：參數(shù)l取值不同,給出不同類型平衡點(diǎn).

特征方程解的簡(jiǎn)化：由于每個(gè)變量X,Y中包含了兩個(gè)參數(shù)l，看不清平衡點(diǎn)的性質(zhì)，于是進(jìn)行坐標(biāo)變換：在新坐標(biāo)中有：其解分別只與一個(gè)參數(shù)有關(guān)：

2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)附近的軌線方程第38頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四平衡點(diǎn)類型⑴結(jié)點(diǎn)特征根式的根號(hào)中，則解為兩個(gè)同號(hào)實(shí)根，其平衡點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分如果，結(jié)點(diǎn)為穩(wěn)定的。如果，結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定。2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性第39頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⑵鞍點(diǎn)特征根式根號(hào)中，解為異號(hào)實(shí)根。相軌線為雙曲線，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。有四條流線通過(guò)鞍點(diǎn)，其兩條流向鞍點(diǎn)是穩(wěn)定的，另外流離鞍點(diǎn)的兩條是不穩(wěn)定的。

“鞍點(diǎn)”源于對(duì)該點(diǎn)特性形象描述，指馬鞍中心點(diǎn)，是沿馬脊梁的最低點(diǎn)。流向鞍點(diǎn)是兩條穩(wěn)定流線，但任何微小偏離將使其沿馬背的左或右邊滑走。

2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)類型第40頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

⑶焦點(diǎn)特征根式根號(hào)中，解為兩個(gè)虛根。如阻尼單擺那樣，相軌線是對(duì)數(shù)螺旋線，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為焦點(diǎn)。當(dāng)實(shí)部為負(fù)值時(shí)，與阻尼單擺相同，平衡點(diǎn)是螺旋線簇的漸近點(diǎn)。當(dāng)實(shí)部為正值時(shí)，相軌線從平衡點(diǎn)發(fā)散開來(lái)，焦點(diǎn)是不穩(wěn)定的。2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)類型第41頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)類型

⑷中心點(diǎn)如果，且兩個(gè)虛根的實(shí)部等于零。螺旋線矢徑不隨時(shí)間變化，圍繞平衡點(diǎn)是封閉曲線族。平衡點(diǎn)是軌線族的中心，稱為“中心點(diǎn)”。封閉橢圓曲線代表作周期運(yùn)動(dòng)。根據(jù)虛部的正負(fù)不同，相軌線上的相點(diǎn)可以是順時(shí)或逆時(shí)方向轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)穩(wěn)定性定義，周期運(yùn)動(dòng)滿足穩(wěn)定性條件，中心點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。第42頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四p,q

平面上奇點(diǎn)分布p,q平面在平面下半部分，,這個(gè)區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)是鞍點(diǎn)平面上半部，由拋物線分為四個(gè)區(qū).

2平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性第一象限由拋物線劃分成不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)(p>24q)與不穩(wěn)定的焦點(diǎn)(p2<4q)兩個(gè)區(qū)；第二象限由拋物線劃分成穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)(p2<4q)與穩(wěn)定的焦點(diǎn)(p2>4q)兩個(gè)區(qū)；在正q軸上,p=0,l是純虛數(shù),平衡點(diǎn)是中心點(diǎn),附近是橢圓軌線。第43頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)導(dǎo)致混沌的倒擺受迫振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程的建立彈簧產(chǎn)生的力矩為空氣阻力為重力產(chǎn)生力矩為倒擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為第44頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.對(duì)方程進(jìn)行無(wú)量綱化條件：第45頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在無(wú)驅(qū)動(dòng)力時(shí)系統(tǒng)具有3個(gè)平衡位置因而有第46頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四受迫Duffing方程對(duì)方程進(jìn)行無(wú)量綱化的好處至少有兩方面:（1）方程涉及的只是數(shù)量關(guān)系;（2）更重要的是取不同的長(zhǎng)度單位和時(shí)間單位時(shí),方程中各項(xiàng)系數(shù)的大小不同，顯示出不同景象.第47頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.數(shù)值計(jì)算的結(jié)果和對(duì)結(jié)果的分析（1）對(duì)初值的敏感和李雅普諾夫指數(shù)第48頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由確定性方程產(chǎn)生的對(duì)初值敏感的現(xiàn)象通常稱為混沌現(xiàn)象.李雅普諾夫指數(shù)第49頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若兩個(gè)指數(shù)中有一個(gè)為正，即表明相鄰軌道的間距具有平均指數(shù)發(fā)散的性質(zhì)，軌道具有局部不穩(wěn)定性，據(jù)此可判斷運(yùn)動(dòng)為混沌運(yùn)動(dòng).（2）關(guān)于分叉現(xiàn)象雙穩(wěn)