2022-2023學(xué)年福建省福州四中桔園洲中學(xué)九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省福州四中桔園洲中學(xué)九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，下列各數(shù)是負(fù)數(shù)的是（）A．﹣4.5 B．0 C．2% D．2．2022年11月30日7時33分，神舟十五號三名航天員順利進(jìn)駐距離地球40萬米的中國空間站，與神舟十四號航天員乘組首次實現(xiàn)“太空會師”，將數(shù)據(jù)40萬用科學(xué)記數(shù)法表示，其結(jié)果是（）A．40×104 B．4×105 C．0.4×106 D．4×1063．如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．4．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（﹣ab2）2＝a2b45．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A．a(chǎn)+1＜b+1 B．a(chǎn)+b＞0 C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＜06．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中點，則∠D的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．45° D．70°7．某同學(xué)在計算一組數(shù)據(jù)的方差時，得到了這樣一個式子：s2＝．下列對于這組數(shù)據(jù)的描述，錯誤的是（）A．平均數(shù)是7 B．中位數(shù)是5 C．眾數(shù)是6 D．方差是3.28．如圖，將扇形AOB翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與弧AB交于點C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．9．如圖，正方形ABCD的邊長為，N為AD上一點，連接BN，AM⊥BN于點M，連接CM，且CM＝CB，若AM＝2，則△BCM的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．1610．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)在第二象限的圖象經(jīng)過點B，且OA2﹣AB2＝8，則k的值是（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8二、填空題11．若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍為．12．計算：＝．13．不透明袋子中裝有15個紅球和若干個綠球，這些球除了顏色外無其他差別．經(jīng)過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.3，則綠球的個數(shù)約是．14．如圖，已經(jīng)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象如圖所示，直線l∥x軸，則當(dāng)ax2+bx+c≥1時x的取值范圍．15．如圖，已知菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），若菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標(biāo)為．16．對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當(dāng)x＜1時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)：當(dāng)x≥1時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣4，它的相關(guān)函數(shù)為y＝，已知點A（b﹣1，2），點B坐標(biāo)（b+3，2），函數(shù)y＝4x﹣3相關(guān)函數(shù)與線段AB有且只有一個交點，則b的取值范圍是．三、解答題17．解方程組：．18．如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．將Rt△ABC沿射線BC方向平移BC長度的一半得到Rt△DEF，其中點D，E分別是A，B的對應(yīng)點，CD交AC于點G．若△ABC的面積是40，求四邊形DGCF的面積．19．化簡：．20．某校開展“黨在我心中”黨史知識競賽，競賽得分為整數(shù)，林老師為了解競賽情況，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的得分并進(jìn)行整理，繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表．組別成績x（分）頻數(shù)A75.5≤x＜80.56B80.5≤x＜85.514C85.5≤x＜90.5mD90.5≤x＜95.5nE95.5≤x＜100.5p請你根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息解答下列問題：（1）如表中的n＝；扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的大小是；（2）為參加上級部門組織的黨史知識競賽活動，現(xiàn)要從E組隨機(jī)抽取兩名學(xué)生組成代表隊．E組中的小經(jīng)和小武是黃金搭檔，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到這對黃金搭檔的概率．21．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點．（1）請僅用無刻度的直尺，以EF為邊畫菱形EFGH（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）請證明你所畫的四邊形EFGH是菱形．22．為進(jìn)一步促進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，某市加大了基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的投入，已知2015年該市投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)5000萬元，2017年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)7200萬元．（1）求該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率；（2）如果按（1）中基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)投入的年平均增長率計算，該市計劃2018年用不超過當(dāng)年基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的5%購買電腦和實物投影儀共1500臺，調(diào)配給農(nóng)村學(xué)校，若購買一臺電腦需3500元，購買一臺實物投影需2000元，則最多可購買電腦多少臺？23．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O，D為⊙O上一點，連接BD交AC于點E，連接AD，CD，OB，且BD＝AB．（1）求證：OB∥CD；（2）若CE＝2，AE＝8，求AD的長．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一點（不與點B，C重合），連接AD，過點C作CE⊥AD于點E，連接BE并延長，交AC于點F．（1）如圖1，當(dāng)a＝1時，①求證：∠ECD＜45°；②求證：；（2）如圖2，若D是BC的中點，求tan∠CEF的值（用含a的代數(shù)式表示）．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0），點B在y軸上，直線AB與拋物線在第一象限交于點C（2，6）．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，若使得S△APC＝a的點P恰好只有三個，求a的值；（3）請使用圓規(guī)和無刻度直尺，在x軸下方的拋物線上確定一點D，使得DA＝2DO，并說明理由（保留作圖痕跡，不寫作法）．

參考答案一、選擇題1．負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，下列各數(shù)是負(fù)數(shù)的是（）A．﹣4.5 B．0 C．2% D．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可判斷．解：A．﹣4.5是負(fù)數(shù)，故本選項符合題意；B．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故本選項不符合題意；C．2%是正數(shù)，故本選項不符合題意；D．是正數(shù)，故本選項不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查負(fù)數(shù)的概念，關(guān)鍵是要牢記負(fù)數(shù)的定義．2．2022年11月30日7時33分，神舟十五號三名航天員順利進(jìn)駐距離地球40萬米的中國空間站，與神舟十四號航天員乘組首次實現(xiàn)“太空會師”，將數(shù)據(jù)40萬用科學(xué)記數(shù)法表示，其結(jié)果是（）A．40×104 B．4×105 C．0.4×106 D．4×106【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．解：40萬＝400000＝4×105．故選：B．【點評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】俯視圖是從上往下看得到的視圖，由此可得出答案．解：從上面看，可得圖形：．故選：C．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握俯視圖是從上往下看得到的視圖．4．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．（﹣ab2）2＝a2b4【分析】利用合并同類項的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對各項進(jìn)行運(yùn)算即可．解：A、a2與a3不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；B、a2?a3＝a5，故B不符合題意；C、a8÷a4＝a4，故C不符合題意；D、（﹣ab2）2＝a2b4，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．5．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A．a(chǎn)+1＜b+1 B．a(chǎn)+b＞0 C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＜0【分析】根據(jù)數(shù)軸表示點的性質(zhì)可求相關(guān)判斷．解：∵a＜b，∴a+1＜b+1，∴A不符合題意；∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴B不符合題意；由圖可知，|a|＜|b|，∴C符合題意；∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的相關(guān)知識點，解題關(guān)鍵是實數(shù)的相關(guān)計算．6．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中點，則∠D的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．45° D．70°【分析】連接OB，如圖，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠AOB＝∠COB＝70°，然后根據(jù)圓周角定理求解．解：連接OB，如圖，∵B是弧AC的中點，即＝，∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×140°＝70°，∵∠D和∠AOB都對，∴∠D＝∠AOB＝35°．故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理：熟練掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．7．某同學(xué)在計算一組數(shù)據(jù)的方差時，得到了這樣一個式子：s2＝．下列對于這組數(shù)據(jù)的描述，錯誤的是（）A．平均數(shù)是7 B．中位數(shù)是5 C．眾數(shù)是6 D．方差是3.2【分析】根據(jù)題目中的方差公式可以判斷各個選項中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．解：∵s2＝，∴樣本容量是5，分別為8，6，5，6，10，樣本平均數(shù)是：＝7，故選項A不合題意；從小到大排列為：5，6，6，8，10，中位數(shù)為6，故選項B符合題意；樣本眾數(shù)是6，故選項C不合題意；樣本方差是：s2＝×[（8﹣7）2+（6﹣7）2+（5﹣7）2+（6﹣7）2+（10﹣7）2]＝3.2，故選項D不符合題意．故選：B．【點評】本題考查方差、中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會求一組數(shù)據(jù)的方差、中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)．8．如圖，將扇形AOB翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與弧AB交于點C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【分析】由翻折的性質(zhì)得到CA＝CO，而OA＝OC，得到△OAC是等邊三角形，求出扇形OAC的面積，△AOC的面積，即可求出陰影的面積．解：由題意得直線l垂直平分OA，∴CA＝CO，∵OA＝OC＝2，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴扇形OAC的面積＝＝，△AOC的面積＝OA2＝，∴陰影的面積＝扇形OAC的面積﹣△OAC的面積＝﹣．故選：D．【點評】本題考查扇形面積的計算，關(guān)鍵是證明△OAC是等邊三角形．9．如圖，正方形ABCD的邊長為，N為AD上一點，連接BN，AM⊥BN于點M，連接CM，且CM＝CB，若AM＝2，則△BCM的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．16【分析】過點C作CE⊥BM于點E，利用勾股定理求出BM，再在Rt△BCE中利用勾股定理求出CE，即可計算面積．解：如圖，過點C作CE⊥BM于點E．∵CM＝CB，∴，∵AM⊥BN，，AM＝2，∴，∴，在Rt△BCE中，，∴，故選：C．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)在第二象限的圖象經(jīng)過點B，且OA2﹣AB2＝8，則k的值是（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8【分析】設(shè)B點坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，則OA2﹣AB2＝8變形為AC2﹣AD2＝4，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）＝4，所以（OC+BD）?CD＝4，因為a＜0，b＞0，則有a?b＝﹣4，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征易得k＝﹣4．解：設(shè)B點坐標(biāo)為（a，b），（a＜0，b＞0）∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，∵OA2﹣AB2＝8，∴2AC2﹣2AD2＝8，即AC2﹣AD2＝4，∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝4，∴（OC+BD）?CD＝4，∴a?b＝﹣4，∴k＝﹣4．故選：B．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．二、填空題11．若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍為x＞3．【分析】二次根式中被開方數(shù)的取值范圍：二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．解：∵代數(shù)式有意義，∴x﹣3＞0，∴x＞3，∴x的取值范圍是x＞3，故答案為：x＞3．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．12．計算：＝3．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義即可求出答案．解：原式＝2+1＝3，故答案為：3．【點評】本題考查實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用零指數(shù)冪的意義以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．13．不透明袋子中裝有15個紅球和若干個綠球，這些球除了顏色外無其他差別．經(jīng)過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.3，則綠球的個數(shù)約是35個．【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.3，列出方程求解即可．解：設(shè)綠球的個數(shù)有x個，根據(jù)題意，得：＝0.3，解得：x＝35，經(jīng)檢驗：x＝35是分式方程的解，∴綠球的個數(shù)約有35個．故答案為：35個．【點評】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．14．如圖，已經(jīng)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象如圖所示，直線l∥x軸，則當(dāng)ax2+bx+c≥1時x的取值范圍﹣0.5≤x≤2.5．【分析】先根據(jù)拋物線的對稱性求出直線l與拋物線的另一個交點坐標(biāo)為（﹣0.5，1），再根據(jù)圖象法求解即可．解：由函數(shù)圖象可知拋物線對稱軸為直線x＝1，直線l與拋物線交于點（2.5，1），∴直線l與拋物線的另一個交點坐標(biāo)為（﹣0.5，1）．∴當(dāng)﹣0.5≤x≤2.5時，ax2+bx+c≥1，故答案為：﹣0.5≤x≤2.5．【點評】本題主要考查了拋物線的對稱性，圖象法求不等式的解集，正確求出直線l與拋物線的另一個交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，已知菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），若菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D點坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得D點的坐標(biāo)．解：∵菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），∴D點坐標(biāo)為（1，1）．∵每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，∴OD旋轉(zhuǎn)了7周半，菱形的對角線交點D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），故答案為：（﹣1，﹣1）．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當(dāng)x＜1時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)：當(dāng)x≥1時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣4，它的相關(guān)函數(shù)為y＝，已知點A（b﹣1，2），點B坐標(biāo)（b+3，2），函數(shù)y＝4x﹣3相關(guān)函數(shù)與線段AB有且只有一個交點，則b的取值范圍是﹣≤b＜﹣或＜b≤．．【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．解：根據(jù)題意：函數(shù)y＝4x﹣3相關(guān)函數(shù)是：y＝，∴當(dāng)y＝2時，x＝或x＝，∵點A（b﹣1，2），點B（b+3，2），∵函數(shù)y＝4x﹣3相關(guān)函數(shù)與線段AB有且只有一個交點，∴，解得﹣≤b＜﹣，或，解得＜b≤故答案為﹣≤b＜﹣或＜b≤．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意結(jié)合圖象即可得出正確答案．三、解答題17．解方程組：．【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．解：①﹣②×2得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝3，則方程組的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．18．如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．將Rt△ABC沿射線BC方向平移BC長度的一半得到Rt△DEF，其中點D，E分別是A，B的對應(yīng)點，CD交AC于點G．若△ABC的面積是40，求四邊形DGCF的面積．【分析】利用相似求出面積比為1：4，求出四邊形ABEG的面積是30，再用等量差，證出四邊形DGCF的面積與四邊形ABEG的面積相等即可．解：∵DE∥AB，∴△CGE∽△CAB，∵E是BC中點，∴CE：CB＝1：2，∴SCGE：S△CAB＝1：4，∵△ABC的面積是40，∴S△CGE＝10，∴S四邊形ABEG＝30，∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，即S四邊形ABEG＝S四邊形CGDF，∴四邊形DGCF的面積為30．【點評】本題考查了三角形平移的性質(zhì)，利用相似求出面積比是解題關(guān)鍵．19．化簡：．【分析】在進(jìn)行乘法運(yùn)算時運(yùn)用分配律，然后進(jìn)行加減運(yùn)算．解：原式＝﹣+1＝1．【點評】此題根據(jù)乘法的分配律先進(jìn)行分式的乘法運(yùn)算，然后再進(jìn)行加減的運(yùn)算，使運(yùn)算簡單化了，計算過程要注意符號間的變化．20．某校開展“黨在我心中”黨史知識競賽，競賽得分為整數(shù)，林老師為了解競賽情況，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的得分并進(jìn)行整理，繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表．組別成績x（分）頻數(shù)A75.5≤x＜80.56B80.5≤x＜85.514C85.5≤x＜90.5mD90.5≤x＜95.5nE95.5≤x＜100.5p請你根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息解答下列問題：（1）如表中的n＝8；扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的大小是57.6°；（2）為參加上級部門組織的黨史知識競賽活動，現(xiàn)要從E組隨機(jī)抽取兩名學(xué)生組成代表隊．E組中的小經(jīng)和小武是黃金搭檔，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到這對黃金搭檔的概率．【分析】（1）由B組的人數(shù)和所占百分比求出抽取的學(xué)生人數(shù)，360°×＝360°×＝57.6°；（2）由該校參賽人數(shù)乘以競賽成績在90分以上的學(xué)生所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到小麗和小潔的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：14÷28%＝50（人），∴m＝50×36%＝18，由題意得：p＝4，∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8，C組所在扇形的圓心角的是＝360°×＝57.6°，故答案為：8，57.6°；即估計競賽成績在90分以上的學(xué)生有240人；（2）將“小經(jīng)”和“小武”分別記為：A、B，另兩個同學(xué)分別記為：C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到小經(jīng)和小武的結(jié)果有2種，∴恰好抽到小經(jīng)和小武的概率為：＝．【點評】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布直方圖統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點．（1）請僅用無刻度的直尺，以EF為邊畫菱形EFGH（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）請證明你所畫的四邊形EFGH是菱形．【分析】（1）延長FO交AD于H，延長EO交DC于G，再順次連接即可；（2）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)定理和逆定理，判定G、H是中點，再根據(jù)中位線的性質(zhì)證明．【解答】（1）解：如下圖：菱形EFGH即為所求；（2）證明：設(shè)AC、BD相交于點O，則O平分AC，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，∴EF∥AB，∴H平分AD，同理：G平分CD，∴EF＝GH＝，EF∥AC∥GH，EH＝BD，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH，∴?EFGH為菱形．【點評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．為進(jìn)一步促進(jìn)義務(wù)教育均衡發(fā)展，某市加大了基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的投入，已知2015年該市投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)5000萬元，2017年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)7200萬元．（1）求該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率；（2）如果按（1）中基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)投入的年平均增長率計算，該市計劃2018年用不超過當(dāng)年基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的5%購買電腦和實物投影儀共1500臺，調(diào)配給農(nóng)村學(xué)校，若購買一臺電腦需3500元，購買一臺實物投影需2000元，則最多可購買電腦多少臺？【分析】（1）設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x，根據(jù)2015年及2017年投入的基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)金額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)年平均增長率求出2018年基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)投入的金額，再根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，取其中的最大值即可．解：（1）設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為20%．（2）2018年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)為7200×（1+20%）＝8640（萬元），設(shè)購買電腦m臺，則購買實物投影儀（1500﹣m）臺，根據(jù)題意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%，解得：m≤880．答：2018年最多可購買電腦880臺．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)2015年及2017年投入的基礎(chǔ)教育經(jīng)費(fèi)金額，列出關(guān)于x的一元二次方程；（2）根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，列出關(guān)于m的一元一次不等式．23．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O，D為⊙O上一點，連接BD交AC于點E，連接AD，CD，OB，且BD＝AB．（1）求證：OB∥CD；（2）若CE＝2，AE＝8，求AD的長．【分析】（1）如圖，延長BO交AD于點F，連接OD，先根據(jù)圓周角定理得到∠ADC＝90°，再證明BF垂直平分AD，所以O(shè)B∥CD；（2）先計算出OA＝OC＝5，OE＝3，利用平行線分線段成比例定理得＝＝，則可設(shè)BE＝3x，所以DE＝2x，BD＝BA＝5x，在利用雙勾股得25x2﹣100＝9x2﹣4，解得x＝，則可計算出BC＝5，OB＝5，然后證明△AOF∽△BOC，利用相似比求出AF，從而得到AD的長．【解答】（1）證明：如圖，延長BO交AD于點F，連接OD，∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴OA＝OD，BA＝BD，∴BF垂直平分AD，即BF⊥AD，AF＝DF，∴OB∥CD；（2）解：∵CE＝2，AE＝8，∴OA＝OC＝5，OE＝3，∵OB∥CD，∴＝＝，設(shè)BE＝3x，則DE＝2x，∴BD＝BA＝5x，在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝25x2﹣100，在Rt△EBC中，BC2＝EB2﹣EC2＝9x2﹣4，∴25x2﹣100＝9x2﹣4，解得x＝，∴BE＝3，∴BC＝＝＝5，在Rt△OBC中，OB＝＝＝5，∵∠AOF＝∠BOC，∠AFO＝∠BCO，∴△AOF∽△BOC，∴＝，即＝，解得AF＝，∴AD＝2AF＝．【點評】本題考查了圓周角定理：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一點（不與點B，C重合），連接AD，過點C作CE⊥AD于點E，連接BE并延長，交AC于點F．（1）如圖1，當(dāng)a＝1時，①求證：∠ECD＜45°；②求證：；（2）如圖2，若D是BC的中點，求tan∠CEF的值（用含a的代數(shù)式表示）．【分析】（1）①由tan∠ABC＝＝1得，∠ABC＝45°，由外角定理得∠EDC＝45°+∠BAD，從而∠ECD＝90°﹣∠EDC＜45°．②過點B作BH∥AC，交CE的延長線于H，證明△ACD≌△CBH，得到BH＝CD，再證明△BEH∽△FEC，得到，即可得結(jié)論．（2）過點B作BM⊥CE，交CE的延長線于M，設(shè)BC＝2m，證明△BCM∽△DAC，表示出BM、CM、EM的長，tan∠CEF＝tan∠BEM＝求得結(jié)果．【解答】（1）①證明：∵∠ACB＝90°，tan∠ABC＝＝1，∴AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠EDC＝∠ABC+∠BAD＝45°+∠BAD，∴∠EDC＞45°，∵CE⊥AD于點E，∴∠DEC＝90°，∴∠ECD＝90°﹣∠EDC，∴∠EDC＜45°．②證明：如圖1，過點B作BH∥AC，交CE的延長線于H，CH與AB交于G，∵∠ACB＝90°，∴∠CBH＝90°，∴∠BCH+∠ACE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠DAC