2023屆河南省許濟(jì)洛平高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆河南省許濟(jì)洛平高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式可求得集合，由交集和補(bǔ)集定義可求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，又，，.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.【詳解】，由于為純虛數(shù)，故，顯然，所以故選：D3．在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，則（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接計(jì)算.【詳解】由已知對(duì)角線與交于點(diǎn)，，則，所以，故選：A.4．若如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為，則圖中空白框中應(yīng)填入（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)循環(huán)體結(jié)構(gòu)，執(zhí)行循環(huán)體，即可求解.【詳解】根據(jù)循環(huán)體結(jié)構(gòu)可知：當(dāng)時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí),，當(dāng)時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí),，當(dāng)時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體，此時(shí),，當(dāng)時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，退出循環(huán)，故填，故選：A5．空氣質(zhì)量指數(shù)是評(píng)估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為、、、、和六檔，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“嚴(yán)重污染”六個(gè)等級(jí)．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，則下面說(shuō)法中正確的是（

）．A．這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B．從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越好C．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D．連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日【答案】B【分析】根據(jù)折線圖直接分析各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量為“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)逐漸降低，空氣質(zhì)量越來(lái)越好，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：方差表示波動(dòng)情況，根據(jù)折線圖可知連續(xù)三天中波動(dòng)最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.6．設(shè)，是方程的兩根，且，則（

）．A． B． C．或 D．【答案】B【分析】利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩根，所以所以，因?yàn)樗郧?，所以，所以，所以，故選:B.7．已知三棱錐中，底面，若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理可求得外接圓半徑，利用可求得外接球半徑，代入球的體積公式即可得到結(jié)果.【詳解】，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，的外接圓半徑，又底面，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球體積.故選：B.8．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若對(duì)任意的，均有，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)和差角以及輔助角公式化簡(jiǎn)得，進(jìn)而根據(jù)圖象的伸縮變換和平移變換得，根據(jù)最大值即可求解.【詳解】由得，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變得到，再將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，由于對(duì)任意的，均有，故當(dāng)時(shí)，取最大值，因此,解得，由于，故當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：C9．著名物理學(xué)家牛頓在世紀(jì)提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律．統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)熱搜度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時(shí)間的推移，熱搜度會(huì)逐漸降低．假設(shè)事件的初始熱搜度為，經(jīng)過(guò)（天）時(shí)間之后的熱搜度變?yōu)?，其中為冷卻系數(shù)．若設(shè)某事件的冷卻系數(shù)，則該事件的熱搜度降到初始的以下需要的天數(shù)至少為（

）．（，取整數(shù)）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到不等式，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即，，，又，至少需要天.故選：D.10．已知函數(shù)，記，，，則，，的大小關(guān)系為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)自變量的大小關(guān)系比較函數(shù)值的大小.【詳解】由，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋矣?，，，，則，又，則，所以，所以，所以，即，故選：C.11．已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作以為圓心?為半徑的圓的切線切點(diǎn)為.延長(zhǎng)交的左支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知把，用，表示，再由勾股定理求得，然后結(jié)合列式求解雙曲線的離心率.【詳解】解：由題意，得，，，，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】，進(jìn)而結(jié)合求解.12．已知向量的夾角為60°的單位向量，若對(duì)任意的?，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的運(yùn)算，求得模長(zhǎng)，整理不等式，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)，可得答案.【詳解】已知向量的夾角為的單位向量，則所以所以對(duì)任意的，且，則所以，即，設(shè)，即在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，解得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，故選：A．二、填空題13．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得成立的概率為_(kāi)_________．【答案】【分析】由，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解得x的范圍，再利用幾何概型的概率求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以使得成立的概率為，故答案為?4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則__________．【答案】【分析】利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合正弦定理即可得解.【詳解】由點(diǎn)，可知點(diǎn)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，由拋物線定義可知，所以在中，，則，所以，所以在中，.故答案為：.15．定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則t的取值范圍是__________．【答案】【分析】由，根據(jù)，可得依此類推，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，即時(shí)，由，所以，同理可得依此類推，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，令，則，對(duì)任意，都有，則故的取值范圍為，故答案為：16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且，則面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得，結(jié)合不等式可得，由余弦定理可得，進(jìn)而由面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理得，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，因此由，故,故答案為：三、解答題17．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）由題意可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可得的通項(xiàng)公式，從而得到，再利用裂項(xiàng)相消求和即可．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，整理得，所以，又，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）結(jié)合（1）可得，所以，則，所以18．某校即將舉辦春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，組委會(huì)對(duì)一項(xiàng)新增的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)行了調(diào)查，以了解學(xué)生對(duì)該項(xiàng)目是否有興趣．組委會(huì)隨機(jī)抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)知男女生人數(shù)之比為，對(duì)該項(xiàng)目沒(méi)有興趣的學(xué)生有人，其中女生占．(1)完成列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為對(duì)該項(xiàng)目有興趣與性別有關(guān)？有興趣沒(méi)有興趣總計(jì)男女總計(jì)(2)若從對(duì)該運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有興趣的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)選出人進(jìn)一步了解沒(méi)有興趣的原因，求選出的人均為男生的概率．附：，其中．【答案】(1)表格見(jiàn)解析；有的把握認(rèn)為對(duì)該項(xiàng)目有興趣與性別有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)已知計(jì)算對(duì)該項(xiàng)目有無(wú)興趣的男女生人數(shù)，完成聯(lián)表，再計(jì)算，對(duì)照表格得解；（2）根據(jù)分層抽樣計(jì)算人中男女生人數(shù)，再利用古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】（1）由已知男女生人數(shù)之比為，且總?cè)藬?shù)為，得男生人，女生人，又對(duì)該項(xiàng)目沒(méi)有興趣的學(xué)生有人，其中女生占，則對(duì)該項(xiàng)目有興趣的學(xué)生有人，對(duì)該項(xiàng)目沒(méi)有興趣的女生人，男生人，對(duì)該項(xiàng)目有興趣的女生人，男生人，有如下聯(lián)表有興趣沒(méi)有興趣總計(jì)男女總計(jì)則，所以有的把握認(rèn)為對(duì)該項(xiàng)目有興趣與性別有關(guān)；（2）由（1）得對(duì)該運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有興趣的學(xué)生中男女生的比例為，所以人中男生人，女生人，設(shè)名男生分別為，，，，名女生分別為，，則人中隨機(jī)選出人的可能為，共種，設(shè)選中的人均為男生為事件，則，共種，則人中隨機(jī)選出人均為男生的概率.19．如圖，四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面底面，是上的動(dòng)點(diǎn)（不含、點(diǎn)）．(1)證明：平面平面；(2)若，，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直證明線面垂直與線線垂直，進(jìn)而可證線面垂直與面面垂直；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面距離.【詳解】（1）由已知側(cè)面底面，且平面平面，又底面為矩形，，平面，即平面，又平面，，又，且，，平面，平面，又平面，平面平面；（2）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，由，，得，且，，又側(cè)面底面，平面平面，平面，，由（1）得平面，平面，且平面，平面，，，又為的中點(diǎn)，，，設(shè)點(diǎn)到平面得距離為，則，解得，所以點(diǎn)到平面得距離為.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再用分離參數(shù)法分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值．【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋瑒t.當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，又，所以，故函?shù)在上單調(diào)遞增，所以.所以對(duì)任意的恒成立，即恒成立.所以恒成立.令，則.令，則，解得.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以.所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、確定不等式恒成立問(wèn)題．在含有全稱量詞與存在量詞的命題中注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：（1）對(duì)于任意的，任意的，恒成立，（2）對(duì)于任意的，存在，使得成立，（3）存在，使得對(duì)任意的，都有成立，（4）存在，存在，使得成立．21．已知對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別交直線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，由兩點(diǎn)得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程，由直線的方程得出坐標(biāo)，再由韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式，得出的范圍，進(jìn)而得出的最值.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為且，因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，所以，解得.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線，由，得，即，則.直線的方程分別為.令，則.則，，所以.因?yàn)?，所?即的取值范圍為.所以存在最小值，且最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題（2）時(shí)，關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理將雙變量變?yōu)閱巫兞繂?wèn)題，從而由的范圍，得出的取值范圍.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用消參法可得直線的普通方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】（1）由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得，即；又曲線的極