2023屆江西省宜春市豐城縣高三下學(xué)期4月一模文科數(shù)學(xué)試題

2023屆宜春市豐城縣高三下學(xué)期4月一模數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．4．已知，其中為常數(shù)，若，則的值為（）A． B． C． D．5．某校高一(1)班甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，他們進(jìn)球的概率分別是和，現(xiàn)甲、乙各投籃一次，至少有一人投進(jìn)球的概率是（

）A． B． C． D．6．若平面向量，，則（

）A． B． C． D．7．已知向量，，，若，則（

）A．2 B．-2 C．3 D．8．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（

）A． B．C． D．9．五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽.如果從這五個(gè)音階中任取三個(gè)音階，排成一個(gè)三個(gè)音階的音序，則這個(gè)音序中必含“徵”這個(gè)音階的概率為（

）A． B． C． D．10．據(jù)調(diào)查，某商品一年內(nèi)出廠價(jià)按月呈的模型波動(dòng)（x為月份），已知3月份達(dá)到最高價(jià)8千元，7月份價(jià)格最低為4千元，根據(jù)以上條件可確定f（x）的解析式為（

）A．B．f（x）＝9sin（）（1≤x≤12，x∈N+）C．D．f（x）＝2sin（）+6（1≤x≤12，x∈N+）11．斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A．98 B．99 C．100 D．10112．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且，若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，，則的取值范圍是A．（-2，-1） B．（-1，1）C．（1，2） D．（2，3）二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。)13．設(shè)向量，，，且，則__________．14．在的展開式中，含有項(xiàng)的系數(shù)是________．15．在直三棱柱中，，是上一點(diǎn)，則的最小值為_________.16．過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，過的直線與軸和軸分別交于，則面積的最小值為__________.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．已知直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，且.（1）求直線的方程；（2）記與y軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，與相交于點(diǎn)C，求的面積.18．某地教體局為了解該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物的情況，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，按，，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計(jì)該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值；（各組數(shù)據(jù)用該組中間值作代表）(2)若某中學(xué)生在暑假期間閱讀課外讀物不低于6本，則稱該中學(xué)生為閱讀達(dá)人，以樣本各組的頻率代替該組的概率，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記抽取到的中學(xué)生為閱讀達(dá)人的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）證明：⊥平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)滿足.（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程.21．已知函數(shù)（為無理數(shù)，）（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)實(shí)數(shù)，求函數(shù)在上的最小值；（3）若為正整數(shù)，且對(duì)任意恒成立，求的最大值．請(qǐng)從下面所給的22、23兩題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.22．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線；(2)已知點(diǎn)，設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)為、，當(dāng)時(shí)，求的值.23．【選修4-5：不等式選講】設(shè)函數(shù).(1)解不等式；(2)令的最小值為，正數(shù)，，滿足，證明：.

1．C2．D3．C4．D5．D6．D7．C8．B9．C10．A11．B12．B13．714．15．16．17．（1）（2）9【解析】（1）根據(jù)，得到的斜率，結(jié)合過點(diǎn)，得到答案；（2）根據(jù)題意求出，，坐標(biāo)，從而得到的面積.【詳解】（1）由直線知，又因，所以；因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為，即（2）由（1）可得與y軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線垂直關(guān)系求直線方程，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，屬于簡單題.18．(1)；平均值為；(2)分布列見解析；.【分析】（1）先由頻率分布直方圖的頻率公式及頻率之和為1求得m，再利用頻率分布直方圖的平均值求法求得平均值；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖求得抽取到閱讀達(dá)人的概率，再利用二項(xiàng)分布概率公式和數(shù)學(xué)期望公式求得X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，則可以估計(jì)該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值為：.（2）由頻率分布直方圖可知從該地中學(xué)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人是閱讀達(dá)人的頻率為，所以從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記抽取到的中學(xué)生為閱讀達(dá)人的人數(shù)為X，則，故.所以，，，，，X的分布列為：X01234PX的數(shù)學(xué)期型.19．（1）見解析（2）【分析】（1）通過⊥，⊥來證明；（2）根據(jù)等體積法求解.【詳解】（1）證明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以

且由（1）可知，由勾股定理得

∵平面∴=，且

∴，由，得∴

即點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直與點(diǎn)到平面的距離.線面垂直的證明要轉(zhuǎn)化為線線垂直；點(diǎn)到平面的距離常規(guī)方法是作出垂線段求解，此題根據(jù)等體積法能簡化計(jì)算.20．（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上及，即可求得得值，從而可求出拋物線的方程；（2）易知直線斜率必存在，設(shè)，，，由，可得，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出，從而可求出直線的方程.試題解析：（1）由條件易知在拋物線上，，

故，即拋物線的方程為；

（2）易知直線斜率必存在，設(shè)，，，

①，

聯(lián)立得即，

由得，且②，③，

由①②③得，即直線.

21．（1）；（2）當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，.（3）3.【分析】（1）求導(dǎo)，求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，由點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）研究函數(shù)在上的單調(diào)性即可求出在上的最小值；（3）由題意分離變量對(duì)任意恒成立，即即可，構(gòu)造函數(shù)，研究的性質(zhì)，求出其最小值即可.【詳解】解：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)橛?，故函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）∵，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，得.故當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，.（3）對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增．∵，則，∴所以存在唯一零點(diǎn)，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在時(shí)單調(diào)遞減；在時(shí)，單調(diào)遞增；∴由題意，，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最大值為3.22．(1)；橢圓；(2).【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求出的直角坐標(biāo)方程，再由方程確定曲線作答.（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，利用幾何意義計(jì)算作答.【詳解】（1）把代入得：，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程是，它是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.（2）由（1）知，把方程代入并整理得：，設(shè)點(diǎn)、所對(duì)參數(shù)分別為，于是得，，由直線參數(shù)方程的幾何意義知：，解得，而，于是得，所以的值是.23．(