2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2-1

成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸第一節(jié)函數(shù)及其表示最新考綱·1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念．2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段)．考向預(yù)測·考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域，分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識的綜合仍是高考的熱點，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度．學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)概念考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通常通過函數(shù)定義域、函數(shù)解析式及分段函數(shù)問題考查數(shù)學(xué)運算及直觀想象的核心素養(yǎng)．積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端一、必記3個知識點1．函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩個集合A，B集合A，B是兩個非空的________集合A，B是兩個非空的________對應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的________一個數(shù)x，在集合B中都有________的數(shù)f(x)和它對應(yīng)．按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的________一個元素a，在集合B中都有________的元素b與之對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．記法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的________；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的________．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：__________、__________和__________．(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的________和________完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：________________、________________、________________．[提醒]函數(shù)圖象的特征：與x軸垂直的直線與其最多有一個公共點．利用這個特征可以判斷一個圖形能否作為一個函數(shù)的圖象．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的________，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．[提醒]分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．二、必明3個常用結(jié)論1．函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射．2．直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象有0個或1個交點．3．判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致．三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)對于函數(shù)f：A→B，其值域是B.()(2)函數(shù)與映射是相同的概念，函數(shù)是映射，映射也是函數(shù)．()(3)只要集合A中的任意元素在集合B中有元素對應(yīng)，那么這個對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)．()(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)．()(5)分段函數(shù)不是一個函數(shù)而是多個函數(shù)．()(二)教材改編2．[必修1·P18例2改編]下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是()A．y＝(x+1)2B．y＝3x3C．y＝x2x＋1D．y＝x3．[必修1·P17例1改編]已知f(x)＝x+3+1x+a，若f(－2)＝0，則a(三)易錯易混4．(忽視自變量范圍)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)2,x<14-x-1,x≥1,則使得f(x)≥5．(忽視新元范圍)已知f(x)＝x－1，則f(x)＝________．(四)走進高考6．[2021·浙江卷]已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2-4，x>2，x-3+a，x≤2.若f(f(6提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法考點一函數(shù)的定義域[基礎(chǔ)性]1．函數(shù)y＝lg2-x12+x-x2＋(x－1)0A．{x|－3<x<1}B．{x|－3<x<2且x≠1}C．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}2．如果函數(shù)f(x)＝ln(－2x＋a)的定義域為(－∞，1)，那么實數(shù)a的值為()A．－2B．－1C．1D．23．[2022·江西撫州模擬]若函數(shù)f(x)的定義域為[0，6]，則函數(shù)f2xx-3的定義域為(A．(0，3)B．[1，3)∪C．[1，3)D．[0，3)4．[2022·陜西渭南高三檢測]若函數(shù)y＝ax+1ax2-4ax+2的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是A．0，12B．0，12C一題多變●1．(變問題)將題3中的“函數(shù)f2xx-3的定義域”改為“函數(shù)f(x－5)的定義域為________2．(變條件，變問題)將題3改為“已知函數(shù)f(x－5)的定義域為[0，6]，則函數(shù)f(x)的定義域為________．”反思感悟1．給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域2．求抽象函數(shù)定義域的方法考點二函數(shù)的解析式[綜合性][例1](1)已知f2x+1＝lgx，則f(x)的解析式為(2)(一題多解)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，則f(x)的解析式為________．(3)[2022·佛山一中月考]已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(－x)＝ex，則函數(shù)f(x)的解析式為________．聽課筆記：反思感悟求函數(shù)解析式常用的方法[提醒]由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時，如果定義域不是R，一定要注明函數(shù)的定義域．【對點訓(xùn)練】1．若函數(shù)f(1－2x)＝1-x2x2(x≠0)，那么f(12A．1B．3C．15D．302．已知fx+1x＝x＋1x，則函數(shù)f(x3．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________．4．已知f(x)滿足2f(x)＋f1x＝3x，則f(x)＝________考點三分段函數(shù)[基礎(chǔ)性、綜合性]角度1求分段函數(shù)的函數(shù)值[例2](1)[2022·安徽合肥檢測]已知函數(shù)f(x)＝x+1x-2，x>2，x2+2，x≤2，A．－12B．C．4D．11(2)[2022·鄭州模擬]已知f(x)＝cosπx，x≤1，fx-1+1，x>1，A．12B．－C．－1D．1聽課筆記：反思感悟分段函數(shù)的求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗．角度2分段函數(shù)與方程[例3][2022·長春模擬]已知函數(shù)f(x)＝2x，x>0，x+1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0A．－3B．－1C．1D．3聽課筆記：反思感悟根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值時，應(yīng)根據(jù)自變量與分段函數(shù)各段的定義域分類討論，結(jié)合各段的函數(shù)解析式求解，要注意求出的自變量的值應(yīng)滿足解析式對應(yīng)的自變量的范圍.角度3分段函數(shù)與不等式[例4][2022·湘贛皖長郡十五校一聯(lián)]設(shè)函數(shù)f(x)＝1，x≤0，2x，x>0，則滿足f(x＋2)>f(3A．x<1B．x≥1C．－2<x<1D．0<x<1聽課筆記：反思感悟與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題主要表現(xiàn)為解不等式(有時還需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性)．若自變量取值不確定，往往要分類討論求解；若自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)，則只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應(yīng)解析式求解即可.【對點訓(xùn)練】1．[2022·長沙長郡中學(xué)月考]已知函數(shù)f(x)＝2x+1，x≥0，3x2，x<0，且f(x0)＝A．－1B．1C．－1或1D．－1或－12．[2022·福州市高三質(zhì)量檢測]函數(shù)f(x)＝x，x<0，ex-1，x≥0，則f(2)3．[2021·深圳模擬]已知函數(shù)f(x)＝1+x2，x≤01，x>0，若f(x－4)>f(2x－3微專題?學(xué)通學(xué)活巧遷移新定義函數(shù)交匯創(chuàng)新所謂“新定義”函數(shù)，是相對于高中教材而言，指在高中教材中不曾出現(xiàn)或尚未介紹的一類函數(shù)．函數(shù)新定義問題的一般形式是：由命題者先給出一個新的概念、新的運算法則，或者給出一個抽象函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學(xué)生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問題．[例][2022·廣東深圳模擬]在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N*)個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f(x)＝sin2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝13x；④φ(x)＝lnx．其中是一階整點函數(shù)的是(A．①②③④B．①③④C．①④D．④解析：對于函數(shù)f(x)＝sin2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(0，0)，所以它是一階整點函數(shù)，排除D項；對于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除A項；對于函數(shù)h(x)＝(13)x，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一階整點函數(shù)，排除B項．故選C項答案：C名師點評本題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)．破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是緊扣新定義的函數(shù)的含義，學(xué)會語言的翻譯、新舊知識的轉(zhuǎn)化，便可使問題順利獲解．如本例，若能把新定義的一階整點函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過1個整點，問題便迎刃而解．[變式訓(xùn)練]1．[2022·山東濱州月考]具有性質(zhì)f1x＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)．下列函數(shù)：①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝x0<x<1，0x=1，A．①②B．②③C．①③D．只有①2．若函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：(1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有fx在①f(x)＝sinx，②f(x)＝-2x3，③fx＝1－x這三個函數(shù)中，____________第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第一節(jié)函數(shù)及其表示積累必備知識一、1．數(shù)集集合任意唯一確定任意唯一確定2．(1)定義域值域(2)定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系(3)定義域?qū)?yīng)關(guān)系解析法圖象法列表法3．對應(yīng)關(guān)系三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．解析：對于A，函數(shù)y＝(x+1)2的定義域為{x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝x2x＋1的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋對于D，定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)．故選B.答案：B3．解析：因為f(x)＝x+3+所以f(－2)＝-2+3+1-2+a＝0，解得答案：14．解析：因為f(x)是分段函數(shù)，所以f(x)≥1應(yīng)分段求解．當x<1時，f(x)≥1，即(x＋1)2≥1.解得x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；當x≥1時，f(x)≥1，即4－x-1≥1，解得1≤x≤10.綜上所述，x≤－2或0≤x≤10.答案：(－∞，－2]∪5．解析：令t＝x，則t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)．即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)6．解析：因為6>4＝2，所以f(6)＝(6)2－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得a＝2.答案：2提升關(guān)鍵能力考點一1．解析：要使函數(shù)解析式有意義，須有2-x>0解得x<2，-3<x<4，x≠1，所以－3<x<2且x≠1.故函數(shù)的定義域為{x|－3<x<2答案：B2．解析：因為－2x＋a>0，所以x<a2，又因為函數(shù)定義域為(－∞，1)，所以a2＝1，所以a答案：D3．解析：因為函數(shù)f(x)的定義域為[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因為x－3≠0，所以x≠3，函數(shù)f2xx-3的定義域為[0，3)．故選答案：D4．解析：要使函數(shù)的定義域為R，則ax2－4ax＋2>0恒成立．①當a＝0時，不等式為2>0，恒成立；②當a≠0時，要使不等式恒成立，則a>0，Δ=-4a2-4·a·2<0，即a>0，a2a-1<0，解得0<a<12答案：D一題多變1．解析：因為函數(shù)f(x)的定義域為[0，6]，則0≤x－5≤6，即5≤x≤11，所以函數(shù)f(x－5)的定義域為[5，11].答案：[5，11]2．解析：因為函數(shù)f(x－5)的定義域是[0，6]，則0≤x≤6，有－5≤x－5≤1，所以函數(shù)f(x)的定義域為[－5，1].答案：[－5，1]考點二例1解析：(1)(換元法)令2x＋1＝t，則x＝2t-1.因為x>0，所以t>1，所以f(t)＝lg2t-1，即f(x)的解析式是f(x)＝lg2x-1(2)方法1：(換元法)令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝t-12，所以f(t)＝4t-122－6×t-12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x方法2：(配湊法)因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.方法3：(待定系數(shù)法)因為f(x)是二次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以4a=4，4a+2b=-6所以f(x)＝x2－5x＋9.解析：(3)(消去法)f(x)＋2f(－x)＝ex，①f(－x)＋2f(x)＝e－x，②①②聯(lián)立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex，所以f(x)＝23e－x－13e答案：(1)f(x)＝lg2x-1(x(2)f(x)＝x2－5x＋9(3)f(x)＝23e－x－13對點訓(xùn)練1．解析：(1)方法1：由于f(1－2x)＝1-x2x2(當x＝14時，f(12)＝1-116方法2：設(shè)1－2x＝t，則x＝1-t2結(jié)合f(1－2x)＝1-x2x2(f(t)＝41-t2－1＝所以f(12)＝4-1-12答案：C2．解析：令t＝x+1x(因為x+1x≥2，則t2＝x＋1x＋2(t≥2)，得到x＋1x＝t2－2，所以由f(x+1x)＝xf(t)＝t2－2(t≥2)，即f(x)＝x2－2(x≥2)．答案：f(x)＝x2－2(x≥2)3．解析：(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17對任意實數(shù)x都成立，所以a=2，5a+b=17，解得a=2，b=7.所以f(x)答案：2x＋74．解析：(解方程組法)因為2f(x)＋f1x＝3x，所以將x用1x替換，得2f1x＋f(x)＝3由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠0)即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠0)答案：2x－1x(x≠考點三例2解析：(1)因為f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋13-2＝4.故選C(2)f43＝f43-1＋1＝f13＋1＝cosπ3f-43＝cos-4π3＝cos∴f43＋f-43＝