數(shù)學(xué)歸納法(重點)

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教學(xué)過程

一.課程導(dǎo)入：

多米諾骨牌試驗

要使全部的多米諾骨牌一一倒下？需要幾個步驟才干做到？

（1）第一張牌被推倒（奠基作用）

（2）隨意一張牌倒下必需保證它的下一張牌倒下（遞推作用）于是可以獲得結(jié)論：多米諾骨牌會所有倒下。

從上面的例子我們是否也許了解我們這節(jié)課的內(nèi)容呢?

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

復(fù)習(xí)時要抓住數(shù)學(xué)歸納法證實命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，掌握數(shù)學(xué)歸納法證實命題的普通步驟，熟知每一步之間的區(qū)分聯(lián)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法在證實命題中的應(yīng)用技巧

三、學(xué)問講解

考點1、歸納法

由一系列有限的特別事例得出普通結(jié)論的推理辦法，通常叫做歸納法．按照推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為徹低歸納法和不徹低歸納法．

考點2、數(shù)學(xué)歸納法

(1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){Pn}是一個與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，假如：①證實起始命題P1(或P0)成立；②在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立．

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證實一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為：

①歸納奠基：證實當(dāng)取第一個自然數(shù)n0時命題成立；

②歸納遞推：假設(shè)n＝k，(k∈N*，k≥n0)時，命題成立，證實當(dāng)n＝k＋1時，命題成立；

③由①②得出結(jié)論．

四、例題精析

考點一數(shù)學(xué)歸納法原理

【例題1】

【題干】在用數(shù)學(xué)歸納法證實“2n>n2對從n0開頭的全部正整數(shù)都成立”時，第一步驗證的n0等于A．1B．3C．5D．7

【答案】C

【解析】n的取值與2n，n2的取值如下表：

因為2n的增長速度要遠(yuǎn)大于n2的增長速度，故當(dāng)n>4時恒有2n>n2.

考點二用數(shù)學(xué)歸納法證實恒等式【例題2】

【題干】是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

12)1

(

n

n(an2+bn+c)

【答案】見解析

【解析】假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，

這時令

n=1,2,3,有?????===∴?????????++=++=++=101133970)24(2122)(614cbacbacbacba于是，對n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=)10113(12

)1(2+++nnnn記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

設(shè)n=k時上式成立，即Sk=12

)1(+kk(3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=2

)1(+kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=12

)2)(1(++kk(3k2+5k+12k+24)=12

)2)(1(++kk［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是說，等式對n=k+1也成立

綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立

考點三用數(shù)學(xué)歸納法證實不等式

【例題3】

【題干】試證實不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有an+cn＞2bn

【答案】見解析

【解析】(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=q

b,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+

cn=nn

qb+bnqn=bn(nq1+qn)＞2bn

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，

則2b=a+c猜測2nnca+＞(2

ca+)n(n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證實①當(dāng)n=2時，由

2(a2+c2)＞(a+c)2，∴222)2(2caca+>+②設(shè)

n=k時成立，即,)2

(2kkkcaca+>+則當(dāng)n=k+1時，41211=+++kkca(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41(ak+ck)(a+c)＞(2ca+)k·(2ca+)=(2ca+)k+1