第四節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)和分布的其他特征數(shù)演示文稿

第四節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)和分布的其他特征數(shù)演示文稿目前一頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)（優(yōu)選）第四節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)和分布的其他特征數(shù)目前二頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)希望有一個數(shù)字特征能夠在一定程度上反映X與Y的之間相互關(guān)系。由方差的性質(zhì)如果X與Y獨(dú)立，則這意味著時，X與Y必不獨(dú)立這說明在一定程度上反映了X與Y的相互聯(lián)系當(dāng)目前三頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)對于二維隨機(jī)變量(X,Y),如果存在，則稱它為X與Y的協(xié)方差，記為 即:

1、協(xié)方差的定義Covariance協(xié)方差2、協(xié)方差的常用計算公式：，X,Y同時增加或同時減少，X,Y一個增加另一個會減少目前四頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)3、協(xié)方差的基本性質(zhì):目前五頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前六頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前七頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)

將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，即令則故目前八頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)若Var(X)>0,Var(Y)>0,稱為X,Y的(線性)相關(guān)系數(shù).事實上，若

X,Y不相關(guān).無量綱的量若

X,Y

正相關(guān).若

X,Y

負(fù)相關(guān).四、相關(guān)系數(shù)（Correlationcoefficient）目前九頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)63）是一個無量綱的量。注：1）描述隨機(jī)變量X和Y間有無線性相關(guān)關(guān)系2）是X和Y經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化之后新的隨機(jī)變量的協(xié)方差.目前十頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)證目前十一頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)并且

強(qiáng)相關(guān)定理證“”于是目前十二頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)設(shè)即目前十三頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)有線性關(guān)系是一個極端，另一極端是 的場合。

若X與Y的相關(guān)系數(shù) 則稱X與Y不相關(guān)。對X、Y，下列事實是等價的：1)

X與Y不相關(guān)目前十四頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)

若X與Y獨(dú)立 X與Y不相關(guān)，反之不成立.17

獨(dú)立性與不相關(guān)性都是隨機(jī)變量間聯(lián)系“薄弱”的一種反映，自然要求知道這兩概念之間的聯(lián)系，目前十五頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)

例1：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為：

X-101

P1/41/21/4

已知P(????|X?|=?|Y?|)=0,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否不獨(dú)立？目前十六頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前十七頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)例

設(shè)V~U(0,2),X=cosV,Y=cos(V+),是給定的常數(shù)，求

解目前十八頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前十九頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)若若有線性關(guān)系若不相關(guān)，但不獨(dú)立，沒有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系目前二十頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)命題X與Y相互獨(dú)立目前二十一頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)稱為協(xié)方差矩陣,簡稱協(xié)方差陣.定義目前二十二頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣定理2目前二十三頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前二十四頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)二維正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度為:33目前二十五頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)

現(xiàn)將上式中花括號內(nèi)的式子寫成矩陣形式，為此引入下列的矩陣協(xié)方差矩陣為34它的行列式: C的逆陣為:目前二十六頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)經(jīng)過計算可知矩陣之積36于是的概率密度可寫成:上式容易推廣到n維正態(tài)隨機(jī)變量的情況.目前二十七頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)引入列矩陣38

n維正態(tài)隨機(jī)變量 的概率密度定義為： 其中C是 的協(xié)方差陣。目前二十八頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)四、n維正態(tài)變量的重要性質(zhì)：1)n維隨機(jī)變量 服從n維正態(tài)分布的充要條件是 的任意的線性組合服從一維正態(tài)分布。402)若 服從n維正態(tài)分布，設(shè) 是 的線性函數(shù)，則 也服從多維正態(tài)分布.這性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性目前二十九頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)n維正態(tài)分布在隨機(jī)過程和數(shù)理統(tǒng)計中常會遇到.3)設(shè) 服從n維正態(tài)分布則“ 相互獨(dú)立”與“ 兩兩不相關(guān)”是等價的。42注：關(guān)于正態(tài)分布的一個重要結(jié)論:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布則X,Y的任一線性組合:仍服從正態(tài)分布目前三十頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)例:(1)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,且服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布,而Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)方布,試求隨機(jī)變量Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù).(2)已知X,Y相互獨(dú)立同服從分布,求44分析:由于獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布,而正態(tài)分布由其均值和方差唯一確定,故只需確定Z的均值E(X)和方差D(X)即可.解:(1)由題意知,且X與Y相互獨(dú)立故X與Y的線性組合Z=2X-Y+3仍服從正態(tài)分布,且目前三十一頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)而46故于是Z的概率密度函數(shù)為:(2)因為X與Y相互獨(dú)立,且同服從分布,故X-Y也服從正態(tài)分布。目前三十二頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)故又因此48目前三十三頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)作業(yè)P1902427、28、目前三十四頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)設(shè)二維離散型r.v.(X,Y)的聯(lián)合分布列若則稱為在Y=yj

的條件下,X的條件分布列.1、二維離散r.v.的條件分布定義1§3.5

條件分布與條件期望目前三十五頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)若則稱為在X=xi

的條件下Y的條件分布列.類似乘法公式目前三十六頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)類似于全概率公式目前三十七頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)給定

Y=yj

的條件下X的條件分布函數(shù)為定義2二維離散r.v.的條件分布函數(shù)給定

X=xi

的條件下Y的條件分布函數(shù)為目前三十八頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)若pY(y)>0,則稱為給定Y=y

的條件下X

的條件分布函數(shù).定義3稱為給定Y=y

的條件下X

的條件概率密度函數(shù).類似地,稱為給定X=x

的條件下Y

的條件分布函數(shù);為給定X=x

的條件下Y

的條件概率密度函數(shù).稱2、二維連續(xù)r.v.的條件分布和條件密度目前三十九頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)注意y是常數(shù),對每一pY(y)>0的y處,只要符合定義的條件,都能定義相應(yīng)的函數(shù).相仿論述.僅是x的函數(shù),

類似于乘法公式：目前四十頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)類似于全概率公式類似于Bayes公式目前四十一頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)3、條件數(shù)學(xué)期望定義4目前四十二頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前四十三頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)定理1目前四十四頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前四十五頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前四十六頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前四十七頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)目前四十八頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)作業(yè)P.2067818目前四十九頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)§2.7分布的其他特征數(shù)1、k階矩定義1設(shè)X

為隨機(jī)變量，k為正整數(shù).若以下數(shù)學(xué)期望都存在，則稱為X的k階原點(diǎn)距為X的k階中心矩注：k階矩存在時，低于k的各階矩都存在.目前五十頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)中心矩和原點(diǎn)矩的關(guān)系常用中心矩用原點(diǎn)矩表示目前五十一頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)例1

設(shè)隨機(jī)變量X~N(0，)，求目前五十二頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)2、變異系數(shù)定義2設(shè)隨機(jī)變量X

的二階矩存在，則稱比值為X

的變異系數(shù).引例用X表示某種同齡樹的高度，其量綱為米，用Y表示某年齡段兒童的身高，其量綱也是米.設(shè)EX=10,Var(X)=1,EY=1,Var(Y)=0.04.試比較兩者的波動大小。目前五十三頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)例2

用X表示某種同齡樹的高度，其量綱為米，用Y表示某年齡段兒童的身高，其量綱也是米.設(shè)EX=10,Var(X)=1,EY=1,Var(Y)=0.04.試比較兩者的波動大小。解：X的變異系數(shù)為Y的變異系數(shù)為說明Y的波動比X的波動大目前五十四頁\總數(shù)五十七頁\編于十一點(diǎn)3、分位數(shù)定義3設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為F(x),

密度函數(shù)為p(x),對任意，稱滿足條件

的為此分布的p分位數(shù)