協(xié)方差傳播律

誤差傳播定律誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用1誤差傳播定律（協(xié)方差傳播律）誤差傳播定律案例導(dǎo)入：在實(shí)際測量工作中，往往會碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的，則由直接觀測的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出該未知量。對于直接觀測的量，我們可以求取其觀測中誤差，那么，如何求取通過函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來的未知量的中誤差呢？則需要運(yùn)用到誤差傳播定律的相關(guān)知識。其實(shí)質(zhì)是在間接觀測的情況下，闡述未知量的中誤差和觀測值中誤差之間的關(guān)系，即根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)中誤差。例如：某一矩形場地量得其長度，寬度，現(xiàn)要求除計(jì)算該矩形場地的面積之外，更關(guān)心面積的測量精度，即還要求計(jì)算面積中誤差。2誤差傳播定律觀測量間的協(xié)方差

當(dāng)觀測量之間不再誤差獨(dú)立時(shí)，觀測量和之間的誤差相關(guān)，描述這種相關(guān)程度的指標(biāo)是協(xié)方差，其定義式為當(dāng)時(shí)，表示觀測量和相互獨(dú)立；當(dāng)時(shí)，表示二者相關(guān)，不互相獨(dú)立。若為正值，表示正相關(guān)；若為負(fù)值，表示負(fù)相關(guān)。3知識準(zhǔn)備：誤差傳播定律觀測量間的方差陣對于向量L=[L1，L2，……Ln]T，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：4矩陣表示為：方差協(xié)方差陣誤差傳播定律

觀測量間的方差陣5特點(diǎn)：1、方差陣中，如，即方差陣是一對稱矩陣。

2、方差陣中主對角線元素為相應(yīng)觀測值的方差，其

余元素為兩個(gè)觀測值相應(yīng)的協(xié)方差。

3、當(dāng)所有觀測值為等精度觀測時(shí)，主對角線元素全

部相等。誤差傳播定律4、各觀測量互不相關(guān)時(shí)，故方差陣為對角矩陣。即

6誤差傳播定律真誤差的傳遞71、線性函數(shù)真誤差的傳遞其中為常系數(shù)，為常數(shù)，觀測值的誤差為表示觀測值的真值，而函數(shù)的真值為

顧及

得線性函數(shù)的真誤差傳遞公式誤差傳播定律真誤差的傳遞8設(shè)

將

代入上式按臺勞公式展開，取至一次項(xiàng)，并取函數(shù)的近似值為用觀測值求得的函數(shù)值，可得:令則非線性函數(shù)真誤差的傳遞公式為：2、非線性函數(shù)真誤差的傳遞誤差傳播定律真誤差的傳遞9若有m個(gè)線性函數(shù)或m個(gè)非線性函數(shù)

可以得到觀測向量與其函數(shù)向量之間的真誤差傳遞關(guān)系式為

當(dāng)函數(shù)為非線性形式時(shí)，fij是一偏導(dǎo)數(shù)值，因Δ很小，可用相應(yīng)微分值代替以上三式的矩陣形式表示為Y=FX+F0Y=F(X)

ΔY=FΔX

3、函數(shù)向量真誤差的傳遞誤差傳播定律協(xié)方差的傳遞101、協(xié)方差傳遞基本公式及應(yīng)用設(shè)隨機(jī)向量X的兩個(gè)函數(shù)向量為

Y=F(X)

Z=K(X)其誤差向量為ΔY=FΔXΔZ=KΔX隨機(jī)向量與其函數(shù)向量間的方差傳遞公式為：誤差傳播定律協(xié)方差的傳遞11同理可證另外兩式證明：誤差傳播定律12例1設(shè)有函數(shù)Y=4x1-3x2-60，已知X=的方差陣為：

試求Y的方差。

解:將函數(shù)寫成矩陣形式，即系數(shù)矩陣為：F=［4-3］

Y的方差為：

誤差傳播定律13例2設(shè)有函數(shù)，已知

的方差陣為

試求Y的標(biāo)準(zhǔn)差σY。

解:對函數(shù)式求全微分并寫成矩陣式

系數(shù)矩陣為由協(xié)方差傳播律得：誤差傳播定律14例3設(shè)有函數(shù)Z=A1X+A2Y+A0,已知X、Y的方差陣分別為DX、DY,兩者之間的協(xié)方差陣為DXY。試求:1)Z的方差陣DZ；2)Z對X,Z對Y的協(xié)方差陣DZX和DZY。

解:1)將函數(shù)式改寫為:

式中

由方差陣的定義，即可寫出U的方差陣為:由協(xié)方差傳播律得：誤差傳播定律15

2)為能應(yīng)用傳播律公式中第三式求Z對X的協(xié)方差DZX，則必須將Z、X表達(dá)為同一隨機(jī)向量的函數(shù)，即均表達(dá)為X、Y的函數(shù)，為此有由協(xié)方差傳播律得：

誤差傳播定律16例4設(shè)有函數(shù)又已知X1，X2之間的協(xié)方差陣為D12，試證明Y對Z的協(xié)方差陣為:

證明:將函數(shù)改寫為

由協(xié)方差傳播律得：誤差傳播定律獨(dú)立觀測量函數(shù)的方差傳遞17

若向量X中的各個(gè)分量xi(i=1，2，…，n)兩兩獨(dú)立，即方差陣DX具有如下形式:而中系數(shù)矩陣為行向量

則有

誤差傳播定律18例1在1：1000的地形圖上，量得a、b兩點(diǎn)間的距離d=40.6mm，量測中誤差=0.2mm，求該兩點(diǎn)實(shí)際距離的中誤差。解:由題意知根據(jù)誤差傳播定律可知

化簡可得

誤差傳播定律19例2用鋼尺分5段測量某距離，得到各段距離及其相應(yīng)的中誤差如下，試求該距離S的中誤差及其相對中誤差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：由題意可得

根據(jù)誤差傳播定律可知

S的中誤差為其相對中誤差為誤差傳播定律20例3以等精度觀測三角形的三個(gè)內(nèi)角L1，L2，L3，其中誤差都是σ，設(shè)Li

之間互相獨(dú)立，試求平均分配閉合差后的三個(gè)內(nèi)角的方差。解:三角形閉合差為W=(L1+L2+L3

)-180°

平均分配閉合差后的三個(gè)內(nèi)角為當(dāng)i=1時(shí)有

由題意知，Li之間互相獨(dú)立，故可得:同理可得誤差傳播定律非線性函數(shù)的方差傳遞21設(shè)將上式按臺勞公式展開，化簡可得非線性函數(shù)誤差的傳遞公式為：則非線性函數(shù)方差的傳遞公式為：誤差傳播定律22例1已知長方形的廠房，經(jīng)過測量，其長x的觀測值為90m，其寬y的觀測值為50m，它們的中誤差分別為2mm、3mm，求其面積及相應(yīng)的中誤差。

解:長方形廠房的面積為

對面積表達(dá)式進(jìn)行全微分，得轉(zhuǎn)化為真誤差形式為

面積中誤差為

根據(jù)誤差傳播定律將上式轉(zhuǎn)化成中誤差形式，可得

誤差傳播定律誤差傳播定律應(yīng)用步驟:1、根據(jù)實(shí)際情況確定觀測值與觀測值的函數(shù),寫出具體函數(shù)表達(dá)式。2、寫出觀測量的協(xié)方差陣。3、如果函數(shù)表達(dá)式為非線性函數(shù)時(shí)，對函數(shù)取全微分進(jìn)行線性化。4、應(yīng)用線性函數(shù)協(xié)方差傳播定律，得到函數(shù)值的中誤差。23誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用水準(zhǔn)測量的精度24

設(shè)水準(zhǔn)測量中每一測站觀測高差hi

的精度相同，其方差均為

,則具有N個(gè)測站的水準(zhǔn)路線的總高差為

應(yīng)用協(xié)方差傳播公式可得

在平坦地區(qū)的水準(zhǔn)測量中,每公里的測站數(shù)大致相等,

因此,

每公里觀測高差的方差相等,

設(shè)其均為

，則S公里觀測高差的方差和中誤差分別為

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用25例1水準(zhǔn)測量中若要求每公里觀測高差中誤差不超過10mm，水準(zhǔn)路線全長高差中誤差不超過60mm,則該水準(zhǔn)路線長度不應(yīng)超過多少公里？解：由公式

可得

所以，該水準(zhǔn)路線長度不應(yīng)超過36公里。

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用同精度獨(dú)立觀測值的算數(shù)平均值的精度26

設(shè)L1,L2,…,Ln為一組等精度的獨(dú)立觀測值(方差均為σ2),其算術(shù)平均值為

應(yīng)用協(xié)方差傳播公式得

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用27例2已知某臺經(jīng)緯儀一測回的測角中誤差為±6"，如果要使各測回的平均值的中誤差不超過±2"，則至少應(yīng)測多少測回？解：由公式

可得

所以，至少應(yīng)觀測9個(gè)測回誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響28

設(shè)若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響下觀測結(jié)果的真誤差為

由協(xié)方差傳播律可得：即觀測結(jié)果的方差等于各獨(dú)立誤差所對應(yīng)的方差之和。誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用平面控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度29

如圖所示導(dǎo)線，A為已知點(diǎn)，α0為AB方向的方位角，β為觀測角，其方差為±4.0(″)2，觀測邊長S為600.00m，其方差為0.5cm2，試求C點(diǎn)的點(diǎn)位方差。

解法一：由C點(diǎn)縱、橫向方差求點(diǎn)位方差

如圖AC邊上邊長方差稱為縱向方差，而在它的垂直方向的方差稱為橫向方差。

橫向方差是由AC邊的坐標(biāo)方位角α的方差引起的，由圖知點(diǎn)位方差為

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用

平面控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度30解法二:由C點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)方差求點(diǎn)位方差1、列函數(shù)式，由圖知:2、線性化

3、應(yīng)用協(xié)方差傳播公式可得坐標(biāo)方差計(jì)算式4、計(jì)算點(diǎn)位方差

誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用根據(jù)實(shí)際要求確定部分觀測值的精度31

誤差傳播定律是用來確定觀測值及其函數(shù)間的精度關(guān)系的。一般情況下的應(yīng)用是已知觀測值的精度，來求觀測值函數(shù)的精度。但在測量實(shí)際工作中，經(jīng)常會出現(xiàn)為了使觀測值函數(shù)的精度達(dá)到某一預(yù)定值的要求，反推觀測值應(yīng)具有的精度，即已知觀測值函數(shù)的精度，求部分觀測值的精度。在制定有關(guān)測量觀測精度的規(guī)范中常用這種方法。

要解決這類問題，列函數(shù)式求中誤差的方法與誤差傳播定律中所講的完全相同，即函數(shù)的自變量仍然是觀測值。在列函數(shù)式時(shí)，將自變量放在等號的右邊，函數(shù)放在等號的左邊，然后，才能利用誤差傳播定律。如以下例題所示。誤差傳播定律在測量中的應(yīng)用32例1一個(gè)三角形觀測其兩個(gè)內(nèi)角α和β，第三個(gè)內(nèi)角為γ，若已知α角的測角中誤差為，要求γ角的中誤差