計算機控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)

計算機控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)第1頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx二、采樣過程所謂采樣過程，就是利用采樣開關(guān)將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成離散信號的過程。如圖2-2所示，采樣開關(guān)每隔一定時間T閉合一次，每次閉合持續(xù)時間為，由于遠(yuǎn)小于采樣周期T，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)中連續(xù)部份的時間常數(shù)，因此在分析采樣系統(tǒng)時，可近似忽略不計。于是，原來在時間上連續(xù)的信號就變成了離散的信號。因此，采樣過程可視為單位理想脈沖序列被輸入的連續(xù)信號進(jìn)行幅值調(diào)制的過程，采樣過程的數(shù)學(xué)描述為：第二章1----2第2頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1----3圖2-2采樣過程第3頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1----4（2-1）其中（2-2）稱為單位理想脈沖序列。由于離散信號僅在采樣時刻有效，而處的值即為，故式（2-1）也可寫作：（(2-3)第4頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx

第二章1----5采樣的幅值調(diào)制過程如圖2-3所示。圖2-3

?*對單位脈沖序列的調(diào)制第5頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四三、采樣定理由采樣過程不難發(fā)現(xiàn)，采樣周期T越短，采樣信號就越接近被采樣信號。反之，T越大，

與f(t)的差別就越大。第二章1----6圖2-4f(t)及f*(t)的頻譜

a)f(t)的頻譜

b)f*(t)的頻譜f*(t)第6頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四通常連續(xù)信號（模擬信號）的頻譜寬度是有限的，一般為一孤立頻譜。為保證采樣信號f*(t)的頻譜是f(t)的頻譜無重疊的重復(fù)（沿頻率軸方向），以便f*(t)采樣信號能反映被采樣信號f(t)的變化規(guī)律，采樣頻率至少應(yīng)是f(t)頻譜的最高頻率的兩倍，即第二章1----7這就是著名的采樣定理，即香農(nóng)(shannon)定理。

第7頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1----8第二節(jié)零階保持器一、信號復(fù)現(xiàn)保持器是將采樣信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)信號的裝置。

a)b)

圖2-5理想濾波器及其輸出信號頻譜

a)理想的濾波器

b)濾波器輸出信號頻譜

第8頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx第二章1----9二、零階保持器零階保持器的作用是把前一采樣時刻kT的采樣值一直保持到下一個采樣時刻(k+1)T，從而使采樣信號f*(t)變?yōu)殡A梯信號fk(t)，圖2-6所示為其輸入、輸出特性。圖2-6零階保持器的輸入輸出特性

第9頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx

第二章1----10若給零階保持器的輸入端加上單位脈沖，則輸出為一個高度為1持續(xù)時間為T的矩形波gk(t)，gk(t)即脈沖響應(yīng)函數(shù)，它可分解為兩個單位階躍函數(shù)的疊加，T01tT10t－1圖2-7零階保持器單位脈沖響應(yīng)如圖2-7所示，其表達(dá)式為：（2-4）

第10頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四如圖2-7所示，其表達(dá)式為：第二章1----11（2-4）式中，T為采樣周期。對式（2-4）取拉氏變換，得（2-5）

令，得零階保持器的頻率特性（2-6）

因為

，那么上式可表示為

第11頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1----12（2-7）

其頻率特性如圖2-8所示。圖中采樣角頻率?？梢姡汶A保持器在允許采樣信號的主頻分量通過的同時，還允許部分高頻分量通過。因此，它不是一個理想的低通濾波器。另外它的相頻特性具有滯后的相位移，對采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響。第12頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第四章1---13圖2-8零階保持的頻率特性

第13頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)

z變換理論一、z變換的定義如圖2-3所示，對連續(xù)信號f(t)進(jìn)行周期為T的采樣f*(t)，可以得到采樣信號,它是在采樣時刻t=0,T,2T,…定義的，即

第二章1---14對上式進(jìn)行拉氏變換，可得到采樣信號f*(t)的拉氏變換F*(s)

（2-8）

因復(fù)變量s含在e-kTs中，e-kTs是超越函數(shù)，不便于計算，故引進(jìn)—個新變量，令

第14頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---15將F*(s)寫作F(z)，把z=e-kTs代人式(2-8)中，便得到了以z為變量的函數(shù)，即

F(z)稱為采樣信號f*(t)的z變換。

二、z變換的求法求一個函數(shù)的z變換，常用的有直接法、部分分式法和留數(shù)法，這里只介紹直接法和部分分式法。1、直接法直接法就是直接根據(jù)z變換的定義式（2-9）來求一個函數(shù)的z變換。下面用一例來說明。第15頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---16圖2-9采樣值相同的兩個不同的連續(xù)函數(shù)例2-1求單位階躍1(t)函數(shù)的z變換。解

令f(t)=1(t)，由z變換定義有第16頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1----17(2-10)將上式兩端同時乘以z-1有式（2-10）減式（2-11）得

所以

例2-2求指數(shù)函數(shù)的e-α

z(α

≥0)變換。解

令f(t)=e-αt，由z變換的定義有第17頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---18采用上例的方法，將上式寫成閉合形式的z變換，有2、部分分式法設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)為s的有理函數(shù)，將F(s)展開成部分分式形式式中，si為的非重極點，Ai為常系數(shù)。由拉氏反變換可知，與項對應(yīng)的時間函數(shù)為，由例2-2可知第18頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---19所以

（2-12）

例2-3已知，求F(z)。

解

由式（2-12）可得第19頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---20可見，如果能將F(s)化成部分分式之和，然后根據(jù)式（2-12）便可方便地求取其z變換。附錄中列出了常用函數(shù)的z變換表

三、Z變換的基本定理和拉氏變換一樣，z變換有不少重要的性質(zhì)，可用于演算或直接分析離散控制系統(tǒng)，這里介紹其中最常用的幾條。

1、線性定理對于任何常數(shù)和，若，，若，則（2-13）2、延遲定理若Z[f(t)]=F(z)，則

（2-14）第20頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章----21即離散信號在時域內(nèi)延遲T，則其z變換應(yīng)乘以z-1

，所以z-1可看作是滯后一個采樣周期的算子。3、超前定理若Z[f(t)]=F(z)，則

（2-15）特殊地，如果初始值為零，即則

（2-16）由此可以進(jìn)一步明確算子z的物理意義：在滿足初始條件為零的前提下，z1代表超前一個采樣周期。

4、復(fù)位移定理若Z[f(t)]=F(z)，則第21頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx第二章1---22(2-17)5、復(fù)微分定理若Z[f(t)]=F(z)

，則(2-18)6、初值定理若Z[f(t)]=F(z)，則

（2-19）利用初值定理，對于已知z變換系統(tǒng)，可以求取其初值。7、終值定理若Z[f(t)]=F(z)，則(2-20)終值定理是研究離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的重要數(shù)學(xué)工具。例2-4已知，求終值f(∞)。第22頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx第二章1--23解

8、卷積定理設(shè)則

四、z反變換由f(t)的z變換F(z)，求其相對應(yīng)的脈沖序列f*(t)或數(shù)值序列f(kT)，稱為z反變換，表示為需數(shù)值序列時

需脈沖序列時

第23頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---24z變換對應(yīng)的脈沖序列和數(shù)值序列都是唯一的，但對應(yīng)的時間函數(shù)不唯一。1、直接除法z變換的閉合形式是z-1的多項式之比，因此可以用直接除法把它們變換成開放形式，即式中f(0),f(T),f(2T)，…的即為所求的數(shù)值序列。例2-5求下列函數(shù)的z反變換：解

第24頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx第二章1---25得即2、部分分式法直接除法只有在只需數(shù)值序列的最初幾個數(shù)值時才可用。（1）特征方程無重根的情況例2-6求下列的z反變換：

第25頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---26解的特征方程式為此式表明特征方程無重根，設(shè)故根據(jù)附錄可知

由于，所以第26頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四

第二章1---27（2）特征方程有重根的情況例2-7求下列函數(shù)的z反變換：解

F(z)的特征方程式為此式表明特征方程有重根，設(shè)第27頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1--28故根據(jù)附錄可知

，

第28頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---29所以有

3、留數(shù)法經(jīng)推導(dǎo)，可得z反變換公式

（2-22）例2-8已知，試用留數(shù)法求。解：

第29頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四

第二章1---30其極點為：

，

故

第30頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四

第二章1--31第四節(jié)采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、線性常系數(shù)差分方程及其解法采樣系統(tǒng)的動態(tài)過程可用差分方程描述，并可采用z變換法使時域中的差分方程轉(zhuǎn)化為z域中的代數(shù)方程進(jìn)行求解。1、差分的定義設(shè)采樣信號f(kT)，并令T=1s一階前向差分定義為

(2-23)二階前向差分定義為第31頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---32二階前向差分定義為(2-24)n階前向差分定義為(2-25)第32頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---33同理，一階后向差分定義為二階后向差分定義為n階后向差分定義為：第33頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四

第二章1---342、用z變換法解差分方程若方程的變量除了含有f(k)以外，還有f(k)的差分，則稱該方程為差分方程。對于線性定常系統(tǒng)，其線性定常差分方程可表示為：=式中，，,為常系數(shù)，r(k)為輸入信號；c(k)為輸出信號。例2-9

用z變換解下列差分方程

第34頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四

第二章1---35初始條件為：解對上式進(jìn)行z變換得代入初始條件，并解得

查表得可見，用z變換法解線性常系數(shù)差分方程時，關(guān)鍵在于求z反變換。

第35頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---36二、脈沖傳遞函數(shù)的定義與此類似，在采樣控制系統(tǒng)中，也是在初始靜止（輸入量r(-1),r(-2),…和輸出量c(-1),c(-2),…均為零）的條件下，一個環(huán)節(jié)（系統(tǒng)）的輸出脈沖序列的z變換與輸入脈沖序列的z變換之比，被定義為該環(huán)節(jié)（系統(tǒng)）的脈沖傳遞函數(shù)。在圖2-10所示的環(huán)節(jié)中，若R(z)和是C(z)初始靜止條件下的輸入脈沖序列和輸出脈沖序列的z變換，則該環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)為圖2-10字環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)

數(shù)第36頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---37三、開環(huán)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的脈沖傳遞函數(shù)

1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

a)b)圖2-11串聯(lián)環(huán)節(jié)框圖的兩種形式a）兩環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)b）兩環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)在圖2-11a中，串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器隔開第37頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---38所以(2-26)一般，幾個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間都有采樣器隔開時，等效的脈沖傳遞函數(shù)等于幾個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。在圖2-11b中，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器隔開，因此為簡化起見，表示為

(2-27)第38頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四wyx第二章1---39所以，等效的脈沖函數(shù)為

（2-28）z變換的乘積和傳遞函數(shù)乘積的z變換是不同的，即顯然，

下面分析一下離散系統(tǒng)中的連續(xù)元件。對于這些元件，由于輸入、輸出端存在有或無采樣開關(guān)兩種情況，使輸入、輸出關(guān)系變得較為復(fù)雜。圖2-12給出了這些元件可能存在的輸入、輸出情況。

第39頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---40a)b)c)d)圖2-12連續(xù)元件的四種輸入、輸出情況a）連續(xù)輸入，連續(xù)輸出

b）連續(xù)輸入，采樣輸出c）采樣輸入，采樣輸出

d）采樣輸入，連續(xù)輸出

第40頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第二章1---41對圖2-12a，連續(xù)輸入，連續(xù)輸出：C(s)=G(s)R(s)。對圖2-12b，連續(xù)輸入，采樣輸出：C(z)=Z[R(s)G(s)]=RG(z)。對圖2-12c，采樣輸入，采樣輸出：C(z)=R(z)G(z)。對圖2-12d，采樣輸入，連續(xù)輸出：如果不必掌握所有時刻的輸出c(t)，而只需注意采樣瞬間c*(t)的信號，則可以在輸出端人為地附加一個理解的采樣開關(guān)，這時，元件的輸出就和圖2-12c情況相同，即C(z)=R(z)G(z)。2、有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2-13所示

r*(t)r(t)G(s)C(t)C*(t)圖2-13有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)第41頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四其開環(huán)傳遞函數(shù)為

因為中包含兩個分量，一個分量是輸入采樣信號經(jīng)后所產(chǎn)生的響應(yīng)，其z變換另一個分量是輸入采樣r*(t)信號經(jīng)所產(chǎn)生的響應(yīng)，而e-Ts是一個延遲環(huán)節(jié)，因此

所以第42頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四故開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

例2-10具有零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-13所示，其中T=1秒，試求脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：因為第43頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四所以有

第44頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四四、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，是指系統(tǒng)的輸出信號和輸入信號的z變換之比。例2-11求圖2-14所示典型計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。D(z)、G(z)分別表示計算機和連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)。圖2-14典型計算機控制系統(tǒng)

第45頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四解：由于輸入、輸出信號都是連續(xù)信號，不能直接作z變換。為了清楚地表示閉環(huán)傳遞函數(shù)是C(z)和R(z)之比，在圖中用虛線畫出虛擬的采樣開關(guān)，兩個采樣開關(guān)是同步的，采樣周期是T，由圖2-14得又因為

所以

消去中間變量可得第46頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四所以

教材P25表2-1列出了常見的采樣系統(tǒng)（包括開環(huán)和閉環(huán)）及其C(z)的表達(dá)式。讀者可對表中所列的系統(tǒng)進(jìn)行分析，進(jìn)一步熟悉閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求取。有些系統(tǒng)僅僅只能求得輸出的表達(dá)式C(z)，而求不到閉環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)。

第47頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第五節(jié)采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析在z平面上研究采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最重要的是必須弄清s平面與z平面的關(guān)系。1、z平面與s平面的關(guān)系根據(jù)z變換的定義(2-29)其中s是復(fù)變量，即

代入式（2-29）中得第48頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四不難看出，在s平面的虛軸上，,那么在z平面上為即s平面上的虛軸對應(yīng)于z平面上的單位圓。即s平面上的虛軸對應(yīng)于z平面上的單位圓。同時，s左半平面內(nèi)的點，有，則，對應(yīng)于z平面上的單位圓內(nèi)；反之，s右半平面上的點，有，對應(yīng)于z平面上的單位圓外。2、z域穩(wěn)定條件采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)系統(tǒng)的特征根均位于z平面的單位圓之內(nèi)；若有一個或一個以上的閉環(huán)特征根在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定；若有一個或一個以上在單位圓上時，系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定。第49頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四分析采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性，最直接的是解出特征根，或者根據(jù)特征方程各系數(shù)來判別穩(wěn)定性，如勞斯判據(jù)等。二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)在連續(xù)系統(tǒng)中，勞斯判據(jù)是基于判別閉環(huán)特征根是否均位于s左半平面，從而確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在采樣系統(tǒng)中，由于穩(wěn)定性取決于根是否全在單位圓內(nèi)，所以不能直接引用勞斯判據(jù)，必須尋求一種變換，使z平面上單位圓內(nèi)映射到一個新平面的虛軸之左，我們稱該新平面為平面。然后，便可直接應(yīng)用勞斯判據(jù)了。根據(jù)雙線性變換或

(2-30)式中，z、w均為復(fù)變量。令

第50頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四則由式（2-30）有

因為平面的虛軸對應(yīng)于，即

或（z平面的單位圓方程）

可見，z平面的單位圓內(nèi)的點，即

，對應(yīng)于平面虛軸之左半平面（u<0）。z平面的單位圓外的點，即，對應(yīng)于平面虛軸之右半平面（u>0）。第51頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四例2-13設(shè)采樣控制系統(tǒng)的特征方程為試用勞斯判據(jù)判別穩(wěn)定性。解：因為

代入D(z)中，有第52頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四化簡得

列勞斯表由于第一列元素的符號有兩次改變，則有兩個根在右半平面，即有兩個根處于平面單位圓外，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第53頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第六節(jié)

采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的概念，與連續(xù)控制系統(tǒng)十分相似。下面以單位反饋系統(tǒng)為例，討論采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和誤差系數(shù)。系統(tǒng)如圖2-16所示，因為應(yīng)用終值定理，得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

（2-31）第54頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四圖2-16單位反饋系統(tǒng)上式說明，和連續(xù)系統(tǒng)一樣，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而且與輸入信號有關(guān)。下面分別討論三種典型輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差。一、單位階躍輸入第55頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四令，稱為位置誤差系數(shù)。

對于0型系統(tǒng)，G(z)沒有z=1的極點，Kp為有限值（2-32）對于Ⅰ型系統(tǒng)或高于Ⅰ型的，G(z)有一個或一個以上z=1的極點，

（2-33）第56頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四二、單位斜坡輸入令，稱為速度誤差系數(shù)。

對于0型系統(tǒng)，G(z)沒有z=1的極點，Kp為有限值（2-32）第57頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四對于Ⅰ型系統(tǒng)，G(z)有一個或一個以上z=1的極點，Kp=∞e(∞)=0三、單位加速度輸入（2-34）令，稱為加速度誤差系數(shù)。第58頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四對于0型、Ⅰ型系統(tǒng)

（2-37）對于Ⅱ型系統(tǒng)

Ka=有限值，=有限值對于Ⅲ型或高于Ⅲ型系統(tǒng)

下表列出了不同典型輸入信號作用時各類系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。第59頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第60頁，共70頁，2023年，2月20日，星期四第七節(jié)

采樣控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析本節(jié)主要介紹如何在時域中求取采樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)，以及定性分析平面上閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系。一、采樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)在系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)中，最重要的兩個指標(biāo)是反映系統(tǒng)快速性的調(diào)整時間和反映系統(tǒng)阻尼特性的超調(diào)量σ。若采樣控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為Φ(z)，則系統(tǒng)對單位階躍輸入的輸出響應(yīng)為應(yīng)用長除法，將分子分母相除，再用z反變換，即可得C*(t)。對一個穩(wěn)定性較好的系