計(jì)算方法方程的擬合

計(jì)算方法方程的擬合1第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四logη=-2.137+882.43/(T-160.036)2第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.最小二乘法曲線(xiàn)擬合的原理如果觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)存在較大誤差，通常采用“近似函數(shù)在各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差平方和最小”的原則建立近似函數(shù)。最小若稱(chēng)此曲線(xiàn)擬合法為最小二乘法曲線(xiàn)擬合。式中R稱(chēng)為均方誤差。由于計(jì)算均方誤差的最小值的原則容易實(shí)現(xiàn)而被廣泛采用。定義:3第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四經(jīng)驗(yàn)建模經(jīng)驗(yàn)建模又分為兩種情況：一是無(wú)任何理論依據(jù)，但有經(jīng)驗(yàn)公式可供選擇，例如很多物性數(shù)據(jù)（熱容、密度、飽和蒸氣壓）與溫度的關(guān)系常表示為:

二是沒(méi)有任何經(jīng)驗(yàn)可循的情況，只能將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出圖形與已知函數(shù)圖形進(jìn)行比較，選擇圖形接近的函數(shù)形式作擬合模型。最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)形式多種多樣，根據(jù)其來(lái)源不同，可分為半經(jīng)驗(yàn)建模和經(jīng)驗(yàn)建模兩種。半經(jīng)驗(yàn)建模如果建模過(guò)程中先由一定的理論依據(jù)寫(xiě)出模型結(jié)構(gòu)，再由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)，這時(shí)建立的模型為半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀＠?，描述反?yīng)速率常數(shù)與溫度的關(guān)系可用阿侖紐斯方程，即這種情況下，工作要點(diǎn)在于如何確定函數(shù)中的各未知系數(shù)，4第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.最小二乘法算法分類(lèi)不論何種建模情況，在選定關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式之后，就是如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去確定所選關(guān)聯(lián)函數(shù)中的待定系數(shù)。最小二乘法按計(jì)算方法特點(diǎn)又分為線(xiàn)性最小二乘法和非線(xiàn)性最小二乘法。5第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于一元線(xiàn)性函數(shù)：測(cè)定了m個(gè)自變量值：和m個(gè)應(yīng)變量值：計(jì)算出m個(gè)應(yīng)變量值：定義誤差：3.線(xiàn)性最小二乘法線(xiàn)性最小二乘法是常用的曲線(xiàn)擬合方法。線(xiàn)性最小二乘法又分為一元和多元等不同情況。

一元線(xiàn)性最小二乘法的方法概述6第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿(mǎn)足:由最小二乘法：設(shè)3.線(xiàn)性最小二乘法7第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.線(xiàn)性最小二乘法可推導(dǎo)出上式稱(chēng)為一元線(xiàn)性最小二乘法的法方程8第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.多元線(xiàn)性最小二乘法設(shè)系統(tǒng)共有n個(gè)影響因子，得到m次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。若可用多元線(xiàn)性函數(shù)擬合時(shí)，形式如下：若k代表第k次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，則相應(yīng)的預(yù)測(cè)值表示為：

由最小二乘法設(shè)：欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿(mǎn)足:9第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四共n個(gè)影響因子，有m次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，若k代表第k次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，則：設(shè)多元線(xiàn)性函數(shù)：4.多元線(xiàn)性最小二乘法10第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則轉(zhuǎn)化為以為未知數(shù)的方程組：

上式稱(chēng)為多元線(xiàn)性最小二乘法的法方程。解此方程組，可求出參數(shù)，因此擬合方程便可確定。因此，要求：根據(jù)最小二乘原則：要使達(dá)到最小令：4.多元線(xiàn)性最小二乘法11第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

在應(yīng)用最小二乘法曲線(xiàn)擬合時(shí)，通常遇到更多的是非線(xiàn)性函數(shù)。對(duì)比線(xiàn)性模型擬合，非線(xiàn)性模型擬合要困難的多。5.非線(xiàn)性最小二乘法最好設(shè)法使模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性形式。有些非線(xiàn)性模型是不能變換成線(xiàn)性模型的，這時(shí)應(yīng)該用直接非線(xiàn)性最小二乘法進(jìn)行處理。非線(xiàn)性模型擬合的二個(gè)途徑直接采用非線(xiàn)性擬合通過(guò)代換轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性關(guān)系12第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四化工中常見(jiàn)的函數(shù)雙曲線(xiàn)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)負(fù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)S型曲線(xiàn)n次多項(xiàng)式5.非線(xiàn)性最小二乘法13第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四雙曲線(xiàn)令：代換方程為：14第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)令：代換方程為：yxb＞1b=1b＜11a

15第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四指數(shù)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)令：代換方程為：yxb＞0b＜0a16第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四xyb＞0b＜0a負(fù)指數(shù)函數(shù)

令則代換方程為：17第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四yxb＜0b＞00對(duì)數(shù)函數(shù)

令則代換方程為：18第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四S型曲線(xiàn)變形后，令：代換方程為：yx1/a19第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四n次多項(xiàng)式令：代換方程為：20第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.非線(xiàn)性直接擬合有些非線(xiàn)性方程無(wú)法通過(guò)代換法轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性方程，則需要采用直接非線(xiàn)性最小二乘法如：下式是一種常用的飽和蒸汽壓計(jì)算公式這里介紹非線(xiàn)性直接擬合的常用方法之一----------高斯－牛頓法21第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

理論基礎(chǔ)：泰勒展開(kāi) 對(duì)于非線(xiàn)性函數(shù)若的近似值為，誤差為，則當(dāng)初值給定時(shí)對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)在初值附近作泰勒展開(kāi)，并略去的二次以上的高次項(xiàng)，可以得到：6.非線(xiàn)性直接擬合22第22頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中：23第23頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由最小二乘法設(shè)欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿(mǎn)足:

則有以為未知數(shù)的方程組：

令24第24頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將解此法方程所得到的第一套修正值代入可求得，再用上