解析幾何基本

解析幾何基本第1頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四幾何學(xué)幾何學(xué)是研究空間區(qū)域關(guān)系的數(shù)學(xué)分支。按幾何學(xué)的原始性質(zhì)分類，幾何學(xué)可分為歐氏幾何和非歐幾何。再細(xì)分，歐氏幾何可分為平面幾何和立體幾何；非歐幾何可分為羅氏幾何和黎曼幾何。按研究方法分類，幾何學(xué)可分為解析幾何、向量幾何、射影幾何、仿射幾何、代數(shù)幾何、微分幾何、計算幾何、拓?fù)鋵W(xué)等。第2頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四解析幾何解析幾何系指借助坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究集合對象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支，亦叫做坐標(biāo)幾何，分作平面解析幾何和空間解析幾何，由笛卡爾提出。作為變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個決定性步驟，解析幾何的建立對于微積分的誕生有著不可估量的作用。如何解決這一類問題？第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果"翻譯"成幾何結(jié)論。第3頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四直線的傾斜角與斜率當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°。直線的傾斜角α的取值范圍為：0°≤α＜180°第4頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四直線的傾斜角與斜率日常生活中，我們常常用"升高量與前進(jìn)量的比"表示傾斜面的"坡度"(傾斜程度)，即：實際上，"坡度"就是"傾斜角的正切"，我們把一條直線的傾斜角α的正切值，叫做這條直線的斜率。斜率常用字母k表示。即：k=tanα。若直線的傾斜角α為銳角，那么這條直線的斜率為tanα；若直線的傾斜角α為鈍角，那么這條直線的斜率為tanα=tan(180°-α)；若直線的傾斜角α為直角，那么這條直線沒有斜率。第5頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四直線的傾斜角與斜率第6頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四坐標(biāo)系上兩直線位置關(guān)系的判定第7頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四直線的方程點斜式方程：y2-y1=k(x2-x1)斜截式方程(一次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式)：y=kx+b(直線與y軸的交點(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距)兩點式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)截距式方程：x/a+y/b=1(a是直線在x軸上的截距,b是直線在y軸上的截距)一般式方程：Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)一般式方程可變形為：y=(-A/B)x-C/B平面直角坐標(biāo)系中如何一條直線都能用一般式方程表示。第8頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四兩直線的交點坐標(biāo)一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到方程組：若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行。線性方程(一次方程)：Ax+By+...+Cz+D=0方程有幾個未知數(shù)，那么此方程就是幾維圖象。第9頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四點到直線的距離第10頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四點到直線的距離可以驗證，當(dāng)A=0，或B=0時，上述公式也成立。第11頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四線段等分點在平面直角坐標(biāo)系上,有一線段MN,其中M(x1,y1),N(x2,y2)，將其n等分，則有(n-1)個n等分點Pi(1≤i≤n-1)，求Pi的坐標(biāo)。思路一：利用解析幾何及相似三角形求解思路二：利用向量幾何求解第12頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在平面直角坐標(biāo)系上，有一個圓⊙A，點A的坐標(biāo)為(a,b)，半徑為r，M(x,y)為圓上任意一點。根據(jù)兩點間的距離公式可得：(x-a)2+(y-b)2=r2。這就是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。軌跡方程：像上式，以代數(shù)來描述曲線或曲面的方程，稱為軌跡方程。一般地，平面上的軌跡是曲線，空間上的軌跡是曲面。第13頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四圓的一般方程第14頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四直線與圓的位置關(guān)系如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？方法①：將分別表示直線與圓的兩條方程聯(lián)立，討論方程組是否有實數(shù)解。當(dāng)△>0時，有兩實數(shù)解，則直線與圓相交；當(dāng)△=0時，有一實數(shù)解，則直線與圓相切；當(dāng)△<0時，無實數(shù)解，則直線與圓相離。方法②：判斷圓的圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系。若d<r，則直線與圓相交；若d=r，則直線與圓相切；若d>r，則直線與圓相離。第15頁，共16頁，2023年，2月20日，星期四圓與圓的位置關(guān)系如何判斷圓與圓的位置關(guān)系？方法①：將兩條圓的方程聯(lián)立，討論方程組是否有實數(shù)解。當(dāng)△>0時，有兩實數(shù)解，則兩圓相交；當(dāng)△=0時，有一實數(shù)解，則兩圓相切(外切或內(nèi)切)；當(dāng)△<0時，無實數(shù)解，則兩圓外離或內(nèi)含。方法②：通過討論連心線的長度d與兩半徑之和R+r或兩半徑之差|R-r|的大小關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)