高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例篇同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

33同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式sin2a＋cos2a＝1與，并初步進(jìn)行這些公式的兩類(lèi)基本應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)是公式sin2a＋cos2a＝1與的推導(dǎo)及以下兩類(lèi)基本應(yīng)用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)，求其余兩個(gè)三角函數(shù)．（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明簡(jiǎn)單的三角恒等式．其中，已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)，正負(fù)號(hào)的選擇是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)．課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題，優(yōu)化自己的解題過(guò)程．教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究能力．2.理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯推理能力．3.通過(guò)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀．任務(wù)分析這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進(jìn)行初步的應(yīng)用．由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無(wú)論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨(dú)立完成，即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識(shí)探索出來(lái)，并用以解決新的問(wèn)題．必要時(shí)，教師可以在以下幾點(diǎn)上加以強(qiáng)調(diào)：（1）“同角”二字的含義．（2）關(guān)系式的適用條件．（3）化簡(jiǎn)題最后結(jié)果的形式．（4）怎樣優(yōu)化解題過(guò)程．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境教師出示問(wèn)題：上一節(jié)內(nèi)容，我們學(xué)習(xí)了任意角α的六個(gè)三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎？二、建立模型1.引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出任意角α的六個(gè)三角函數(shù)，并探索它們之間的關(guān)系在角α的終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），它與原點(diǎn)的距離是r（r＞0），則角α的六個(gè)三角函數(shù)值是足2.推導(dǎo)紀(jì)同角三角函鮮數(shù)關(guān)系式導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生通曲過(guò)觀察、分場(chǎng)析和討論，壇消元（消去務(wù)x，y，r?。瑥亩@壤取下述基本喘關(guān)系．朝（1）平方當(dāng)關(guān)系：si軋n僚2付a倘＋cos盒2恰a傍＝1．本（2）商數(shù)尸關(guān)系：t：培說(shuō)明：箭①聞當(dāng)放手讓學(xué)列生推導(dǎo)同角護(hù)三角函數(shù)的奸基本關(guān)系時(shí)飼，部分學(xué)生知可能會(huì)利用裁三角函數(shù)線起，借助勾股次定理及相似卡三角形的知?jiǎng)幼R(shí)來(lái)得出結(jié)號(hào)論．對(duì)于這授種推導(dǎo)方法者，教師也應(yīng)劑給以充分肯棍定，并進(jìn)一稍步引導(dǎo)學(xué)生涌得出｜si謊nα｜＋｜下cosα｜恰≥1．殲②鍵除以上兩個(gè)法關(guān)系式外，歉也許部分學(xué)協(xié)生還會(huì)得出肅如下關(guān)系式寒：昂.語(yǔ)教師點(diǎn)撥：厘這些關(guān)系式戚都很對(duì)，但加最基本的還歪是（1）和賠（2），故篩為了減少大責(zé)家的記憶負(fù)菊擔(dān)，只須記述?。?）和乏（2）即可吳．以上關(guān)系袖式均為同角蓬三角函數(shù)的尿基本關(guān)系式及．縮教師啟發(fā)：捷（1）對(duì)“繞同角”二字規(guī)，大家是怎倉(cāng)樣理解的？攏（2）這兩熱個(gè)基本關(guān)系誘式中的角α跟有沒(méi)有范圍怠限制？障（3）自然逃界的萬(wàn)物都斗有著千絲萬(wàn)押縷的聯(lián)系，炮大家只要養(yǎng)謹(jǐn)成善于觀察押的習(xí)慣，也欺許每天都會(huì)議有新的發(fā)現(xiàn)裙．剛才我們喘發(fā)現(xiàn)了同角蔑三角函數(shù)的要基本關(guān)系式海，那么這些脅關(guān)系式能用堡于解決哪些底問(wèn)題呢？悠三、解釋?xiě)?yīng)抵用［例題］倡1.已知田sinα＝路，且α是第迫二象限角，悅求角α的余捆弦值和正切信值．鍛2.已知付tanα＝驢－隸，且α是第蕩二象限角，啟求角α的正好弦和余弦值屢．控說(shuō)明：這兩辱個(gè)題是關(guān)系肝式的基本應(yīng)寬用，應(yīng)讓學(xué)傻生獨(dú)立完成賢．可選兩名窄同學(xué)到黑板阿前板書(shū)，以親便規(guī)范解題遞步驟．浙變式1在型例2中若去愛(ài)掉“且α是堅(jiān)第二象限角逼”，該題的光解答過(guò)程又把將如何？卡師生一起完闊成該題的解姨答過(guò)程．獄解：由題意挎和基本關(guān)系族式，列方程漸組，得墾由晌②本，得sin竄α＝－起cosα，額代入園①歡整理，得6測(cè)cos諒2罷α＝1，c筋os巾2賢α＝流．湖∵演tanα酒＝－黃＜０，甘∴際角α是第二富或第四象限糞角．碌當(dāng)α是第二喉象限角時(shí)，塘cosα＝捆－罷，境代入衣②亡式，得哪；貿(mào)當(dāng)α是第四儀象限角時(shí)，悲cosα＝申，端代入偏②巴式，得集.悼小結(jié)：由平調(diào)方關(guān)系求值赴時(shí)，要涉及束開(kāi)方運(yùn)算，籍自然存在符桃號(hào)的選取問(wèn)泄題．由于本更題沒(méi)有具體叢指明α是第鹽幾象限角，閉因此，應(yīng)針撥對(duì)α可能所扮處的象限，茄分類(lèi)討論．貍變式2把幕例2變?yōu)椋翰艘阎猼an區(qū)α＝－耍，求乞的值．弦解法1：由喘tanα＝閥－罰及基本關(guān)系摸式可解得相針對(duì)兩種情朱況下的結(jié)果波居然一致的荒情況，教師敢及時(shí)點(diǎn)撥：遞觀察所求式造子的特點(diǎn)，紹看能不能不暢通過(guò)求si存nα，co晉sα的值而棋直接得出該廣分式的值．蟻學(xué)生得到如止下解法：府由此，引出健變式3．敲已知：ta茂nα＝－呆，求（si望nα－co葛sα）賤2閑的值．車(chē)有了上一題虎的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)律生會(huì)得到如欄下解法：孟教師歸納、飽啟發(fā)：這個(gè)派方法成功地蓄避免了開(kāi)方榮運(yùn)算，因而藏也就避開(kāi)了亞不必要的討崗論．遺憾的脾是，因?yàn)樗静皇欠质叫未鹗剑越怆S題過(guò)程不像送“變式2”夢(mèng)那樣簡(jiǎn)捷．嫂那么，能解號(hào)決這一矛盾友嗎？易學(xué)生得到如豐下解法：思教師引導(dǎo)學(xué)扣生反思、總狠結(jié)：（1）培由于開(kāi)方運(yùn)云算一般存在午符號(hào)選取問(wèn)羽題，因此，柄在求值過(guò)程節(jié)中，若能避既免開(kāi)方的應(yīng)駛盡量避免．踐（2）當(dāng)式憤子為分式且孝分子、分母解都為三角函兄?jǐn)?shù)的n（n蓋∈胞N鳳且n≥1）孩次冪的齊次慘式時(shí)，采用家上述方法可醉優(yōu)化解題過(guò)營(yíng)程．［練習(xí)］遣當(dāng)學(xué)生完成抱了以上題目俘后，教師引喬導(dǎo)學(xué)生討論光如下問(wèn)題：墨（1）化簡(jiǎn)咽題的結(jié)果一愿定是“最簡(jiǎn)團(tuán)”形式，對(duì)項(xiàng)三角函數(shù)的逃“最簡(jiǎn)”形漆式，你是怎唱樣理解的？奔（2）關(guān)于疤三角函數(shù)恒際等式的證明可，一般都有鬼哪些方法？燙你是否發(fā)現(xiàn)拳了一些技巧般？各四、拓展延綁伸掠教師出示問(wèn)稠題，啟發(fā)學(xué)哈生一題多解純，并激發(fā)學(xué)虛生的探索熱垃情．渾已知sin兇α－cos驢α＝－狂，180°銅＜α＜27找0°，求t面anα的值旗．顛解法1：由并sinα－喉cosα＝銳－襲，得艇反思：（1桂）解法1的號(hào)結(jié)果比解法想2的結(jié)果多陜了一個(gè)，看套來(lái)產(chǎn)生了“肚增根”，那粘么，是什么鎖原因產(chǎn)生了告增根呢？探（2）當(dāng)學(xué)提生發(fā)現(xiàn)了由啄sinα－捷cosα＝盾－御得到sin六2芽α－2si振nαcos臭α＋cos色2燃α＝桃的過(guò)程中，榮α的范圍變規(guī)大了時(shí)，教蔑師再點(diǎn)撥：寺怎樣才能使眠平方變形是紐等價(jià)的呢？俘由學(xué)生得出位如下正確答喘案：業(yè)∵呢180°未＜α＜27臉0°，且s傍inα－c夜osα＝－診＜0，旁∴腎sinα喚＜0，co開(kāi)sα＜0，心且｜sin籠α｜＞｜c(diǎn)組osα｜，橋因此｜ta牧nα｜＞1陳，只能取t供anα＝2板．則強(qiáng)調(diào)：非等再價(jià)變形是解撿法1出錯(cuò)的還關(guān)鍵！點(diǎn)評(píng)投這篇案例力馳求體現(xiàn)新課鍛程理念下的云以人為本的盒思想，充分婚發(fā)揮了學(xué)生派的主體作用格．教師充當(dāng)雷著學(xué)生學(xué)習(xí)版的引導(dǎo)者、瀉支持者和幫毛助者的角色豈．教師和學(xué)折生是本課的屯共同參與者眾，共同努力搏