高中數(shù)學解析幾何專題圓錐曲線第3講拋物線

word可編輯..圓錐曲線第3講拋物線【知識要點】拋物線的定義平面內(nèi)到某一定點的距離與它到定直線（）的距離相等的點的軌跡叫拋物線，這個定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。注1：在拋物線的定義中，必須強調(diào)：定點不在定直線上，否則點的軌跡就不是一個拋物線，而是過點且垂直于直線的一條直線。注2：拋物線的定義也可以說成是：平面內(nèi)到某一定點的距離與它到定直線（）的距離之比等于1的點的軌跡叫拋物線。注3：拋物線的定義指明了拋物線上的點到其焦點的距離與到其準線的距離相等這樣一個事實。以后在解決一些相關(guān)問題時，這兩者可以相互轉(zhuǎn)化，這是利用拋物線的定義解題的關(guān)鍵。拋物線的標準方程拋物線的標準方程拋物線的標準方程有以下四種：（），其焦點為，準線為；（），其焦點為，準線為；（），其焦點為，準線為；（），其焦點為，準線為.拋物線的標準方程的特點拋物線的標準方程（）或（）的特點在于：等號的一端是某個變元的完全平方，等號的另一端是另一個變元的一次項，拋物線方程的這個形式與其位置特征相對應：當拋物線的對稱軸為軸時，拋物線方程中的一次項就是的一次項，且一次項的符號指明了拋物線的開口方向；當拋物線的對稱軸為軸時，拋物線方程中的一次項就是的一次項，且一次項的符號指明了拋物線的開口方向.拋物線的性質(zhì)以標準方程（）為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到相關(guān)結(jié)論。范圍：，；頂點：坐標原點；對稱性：關(guān)于軸軸對稱，對稱軸方程為；開口方向：向右；焦參數(shù)：；焦點：；準線：；焦準距：；離心率：；焦半徑：若為拋物線（）上一點，則由拋物線的定義，有；通徑長：.注1：拋物線的焦準距指的是拋物線的焦點到其相應準線的距離。以拋物線（）的焦點和準線：為例，可求得其焦準距為；注2：拋物線的焦點弦指的是由過拋物線的焦點與該拋物線交于不同兩點的直線所構(gòu)成的弦。設拋物線的方程為（），過其焦點且不垂直于軸的直線交該拋物線于、兩點，則由拋物線的定義，可知其焦半徑，，于是該拋物線的焦點弦長為.注3：拋物線的通徑指的是過拋物線的焦點且垂直于其對稱軸的弦。通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦。設拋物線的方程為（），過其焦點且垂直于軸的直線交該拋物線于、兩點（不妨令點在軸的上方），則、，于是該拋物線的通徑長為.四、與拋物線相關(guān)的幾個重要結(jié)論設拋物線的方程為（），點是其焦點，直線：是其準線，若過該拋物線焦點的直線交該拋物線于、兩點（即線段是該拋物線的焦點弦），并且點、點在其準線上的垂足分別為點、點，線段的中點為點，則可以證明：，；（這里，為直線的傾斜角）；（這里，為直線的傾斜角）；以線段為直徑的圓與該拋物線的準線相切；，；以線段為直徑的圓切直線于點.證明：由于當直線的斜率不存在或斜率存在且不為零時，均符合題意，因此為避免分情況進行討論而使得證明過程比較繁瑣，根據(jù)直線過點，我們可巧設其方程為，這里，為直線的傾斜角.聯(lián)立，得由韋達定理，有，故由拋物線的定義，有（3）設的中點為則又這表明，的中點到準線：的距離等于的一半，即以線段為直徑的圓的圓心到準線：的距離等于圓的半徑.故以線段為直徑的圓與該拋物線的準線相切，，，故，即又，，，于是故，即這表明，的中點到點的距離等于的一半，即以線段為直徑的圓的圓心到點的距離等于圓的半徑.故以線段為直徑的圓切直線于點【例題選講】題型1：拋物線定義的應用已知是拋物線的焦點，、是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為由此可知，直線不垂直于軸，否則，與已知矛盾設，則線段的中點到軸的距離，并且由拋物線的定義，有，于是由，有故線段的中點到軸的距離設拋物線的焦點為，準線為，點為該拋物線上一點，，點為垂足，如果直線的斜率為，那么=___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為由，可知，直線的方程為，即聯(lián)立，得于是由于點知，將其代入方程中，得故由拋物線的定義，有已知以為焦點的拋物線上的兩點、滿足，則弦的中點到準線的距離為___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為設，則弦的中點到準線的距離，并且，于是由，有，又由可知，直線的斜率存在，不妨設為則直線的方程為，即聯(lián)立，得由韋達定理，有而，于是，故弦的中點到準線的距離題型2：求拋物線的方程設拋物線的頂點在坐標原點，準線方程為，則該拋物線的方程是___________.解：由所求拋物線的準線方程為，可設其方程為（）則有故所求拋物線的方程為設拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上，且焦點到準線的距離為2，則該拋物線的方程是___________.解：由題設條件可設所求拋物線的方程為（）或（）則由焦準距為2，有故所求拋物線的方程為或已知拋物線過點，則該拋物線的標準方程為___________，其準線方程為___________.解：由所求拋物線過點，可設其方程為（）或（）則有或于是或故所求拋物線的方程為或已知拋物線的焦點在直線上，則該拋物線的標準方程為___________，其準線方程為___________.解：在方程中，令，得；令，得于是所求拋物線的焦點為或（?。┊斔髵佄锞€的焦點為時，據(jù)此可設所求拋物線的方程為（）則有于是此時所求拋物線的方程為，其準線方程為（ⅱ）當所求拋物線的焦點為時，據(jù)此可設所求拋物線的方程為（）則有于是此時所求拋物線的方程為，其準線方程為故所求拋物線的方程為或，它們對應的準線方程分別為，.已知動圓與圓：外切，且與軸相切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.解：設則由動圓與圓外切，且與軸相切，有（）（），即（）（）當時，由（）式，有；當時，由（）式，有故動圓圓心的軌跡方程為若拋物線（）的焦點恰好是雙曲線的右焦點，則=___________.解：拋物線的焦點為，準線方程為在雙曲線，即中，，，于是雙曲線的左、右焦點分別為、又拋物線的焦點恰好是點故若拋物線（）的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則=___________.解：拋物線的焦點為，準線方程為在雙曲線中，，，于是雙曲線的左、右焦點分別為、又拋物線的準線經(jīng)過點故已知拋物線的焦點是雙曲線的左頂點，則該拋物線的標準方程為___________.解：在雙曲線，即中，于是該雙曲線的左頂點為因而所求拋物線的焦點為，據(jù)此可設所求拋物線的方程為（）則有故所求拋物線的方程為已知拋物線的焦點在軸上，直線與該拋物線交于點，并且，則該拋物線的標準方程為___________.解：由所求拋物線的焦點在軸上，可設其方程為（）或（）（?。τ趻佄锞€（），設，則由，有，即①又點在拋物線上②聯(lián)立①、②，得或于是此時所求拋物線的方程為或（ⅱ）對于拋物線（），設，則由，有③又點在拋物線上④聯(lián)立③、④，得或于是此時所求拋物線的方程為或故所求拋物線的方程為或題型3：拋物線的性質(zhì)已知拋物線：（）過點，與拋物線有公共點的直線平行于（為坐標原點），并且直線與之間的距離等于，則直線的方程為___________.解：由拋物線：過點，有拋物線的方程為，其焦點為，準線方程為由直線且的方程為，即，可設直線的方程為又平行直線：與：之間的距離等于聯(lián)立，得則由直線與拋物線有公共點，有于是（舍去）故直線的方程為過拋物線（）的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于、兩點，、在軸上的正射影分別為、.若梯形的面積為，則=___________.解：拋物線的焦點為，準線方程為由直線的斜率為1，且過點可知，直線的方程為，即設，聯(lián)立，得解得：，又又故過點且與拋物線有一個公共點的直線方程為_________.解：顯然，點在拋物線外（1）當所求直線的斜率不存在時，顯然，過點且與拋物線有一個公共點的直線方程為（2）當所求直線的斜率存在時，不妨設其斜率為則由其過點可知，所求直線的方程為，即聯(lián)立，得（）（?。┤簦瑒t由（）式，有而此時所求直線的方程為即此時所求直線與拋物線的唯一公共點為，滿足題意于是當時，所求直線的方程為（ⅱ）若，則對（）式，由所求直線與拋物線僅有一個公共點，有，滿足題意于是當時，所求直線的方程為故所求直線的方程為或或以拋物線的頂點為圓心的圓交于、兩點，交的準線于、兩點。已知，，則的焦點到準線的距離為___________.解：設拋物線的方程為（）則其焦點為，準線方程為于是拋物線的焦點到準線的距離為由拋物線的對稱性可知，、兩點關(guān)于軸對稱，、兩點也關(guān)于軸對稱設與軸交于點，與軸交于點則，設以拋物線的頂點為圓心的圓的半徑為則在中，，即①設則由知，，代入方程中，得，即在中，，即②①-②,得，解得：或（舍去）又故，即的焦點到準線的距離為4已知正方形的兩個頂點、在拋物線上，、兩點在直線：上，則正方形的面積為___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為由及所在直線的方程為，即，可設直線的方程為，即設，聯(lián)立，得由韋達定理，有于是又平行直線：與：之間的距離，即解得：或于是或故或，即正方形的面積為18或50.題型4：與拋物線有關(guān)的最值問題若拋物線（）上的動點到焦點的距離的最小值為1，則=___________.解：拋物線的焦點為，準線方程為設則又點在拋物線上于是又，，當且僅當時，取得最小值，且于是有故注：由本題可見，拋物線的頂點到其焦點的距離最小。以后在遇到相關(guān)問題時，這個結(jié)論可以直接用。已知直線：和直線：，則拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值為___________，此時點的坐標為___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為記點到直線和直線的距離分別為、（1）求由拋物線的定義知，點到直線的距離于是顯然，的最小值即為點到直線：的距離于是即動點到直線和直線的距離之和的最小值為2.（2）求點的坐標設過點且垂直于直線：的直線為則的方程為，即聯(lián)立，得解得：或（舍去）故，即當動點到直線和直線的距離之和取得最小值2時，點的坐標為.已知定長為3的線段的端點、在拋物線上移動，是該拋物線的焦點，、兩點到準線的垂線分別是、，則線段的中點到軸的距離的最小值是___________，此時點的坐標為___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線的方程為作于點則有又由拋物線的定義，有，而于是有，當且僅當弦過拋物線的焦點時，“=”成立，即此時點到軸的距離最小，并且為求點的坐標，下面我們求由、可知，直線的斜率存在，不妨設為則由直線過點可知，其方程為，即設，則聯(lián)立，得由韋達定理，有于是有，即故即當點到軸的距離取得最小值時，點的坐標為.注：當設出直線與曲線的交點坐標后，交點既在直線上，又在曲線上，即交點的坐標不僅滿足直線方程，也滿足曲線方程，這一點在解題時，要格外注意。已知直線的方程為，是拋物線上一動點，則當點到直線的距離最短時，點的坐標為___________，這個最短距離為___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為聯(lián)立，得直線與拋物線相離于是點到直線的最短距離為平行于直線且與該拋物線相切的直線到直線的距離，此時點即為切點設與直線：平行且與拋物線相切的直線方程為聯(lián)立，得令，得于是由，即，有將其代入中，得故，其到直線：的最短距離即當點到直線的距離最短時，點的坐標為，這個最短距離為2.注：拋物線上的點到已知直線的最短距離，就是與已知直線平行且與拋物線相切的直線到已知直線的距離，即切點到已知直線的距離。題型5：與拋物線的焦點弦有關(guān)的問題已知斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，并與該拋物線交于、兩點，則線段的長為___________.解：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為由直線的斜率為1，且過點可知，直線的方程為，即設，聯(lián)立，得由韋達定理，有（法一）故（法二）過拋物線（）的焦點作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點，點在軸上方，求.證：拋物線的焦點為，準線方程為直線的傾斜角為于是由直線過點可知，其方程為，即聯(lián)立，得解得：又點在軸上方，過點作軸于點，過點作軸于點則，故由～，有注：有時，當把直線方程與曲線方程聯(lián)立后的方程化為關(guān)于的一個一元二次方程比化為關(guān)于的一個一元二次方程要好：一是計算簡便，二是更容易得出結(jié)果.點在直線：上，若存在過點的直線交拋物線于、兩點，且，則稱點為“好點”，那么下列結(jié)論中正確的是_________.直線上不存在好點直線上僅有兩個點是“好點”直線上有且僅有一個點是“好點”直線上有無窮多個點是“好點”解：聯(lián)立，得直線：與拋物線相離又，這表明點是線段的中點設，則于是由、兩點在拋物線上，有（）對于方程（），方程（）恒有實數(shù)解故直線上有無窮多個點是“好點”過拋物線（）的焦點作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線的準線于、兩點，又過、兩點分別作拋物線的對稱軸的平行線，交拋物線于、兩點，證明：、、三點共線.證：拋物線的焦點為，準線方程為設，則，于是，又于是有又故、、三點共線注：為證三點共線，只需證明三點中任意兩點連線的斜率相等。此外，為證兩直線平行，也可轉(zhuǎn)化為證明兩直線斜率相等。已知已知拋物線（）的焦點為，經(jīng)過點的直線交該拋物線于、兩點，點在該拋物線的準線上，并且，證明：直線必經(jīng)過坐標原點.證：拋物線的焦點為，準線方程為（?。┊敳淮怪庇谳S時，設其斜率為則由直線過點可知，其方程為，即設，則聯(lián)立，得由韋達定理，有又，，這表明，、、三點共線故此時直線經(jīng)過坐標原點（ⅱ）當垂直于軸時，，，，，這表明，、、三點共線故此時直線也經(jīng)過坐標原點綜上可知，直線總經(jīng)過坐標原點題型6：與拋物線有關(guān)的綜合問題已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于、兩點，則=___________.解：（法一）在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為聯(lián)立，得解得：或或不妨令，則，，故由余弦定理，有（法二）由法一知，，，于是，已知拋物線：，直線：.證明：上不存在關(guān)于直線對稱的兩個不重合的點.證：設是拋物線：上任意一點則點關(guān)于直線：的對稱點為若點是拋物線：上不與點重合的點則，并且由，有，即又于是有，而這顯然與矛盾故點不在拋物線上，即上不存在關(guān)于直線對稱的兩個不重合的點.已知拋物線的焦點為，、是該拋物線上的兩動點，且（）.過、兩點分別作拋物線的切線，設這兩條切線的交點為.證明：為定值；設的面積為，寫出的表達式，并求出的最小值.證（1）：在拋物線中，，即該拋物線的焦點為，準線方程為設，則，于是由，有，又，即于是過拋物線上，兩點的切線方程分別為，即，聯(lián)立，得于是，而（）由有，，得，即代入中，得，即，于是故由（）式，有，即為定值，其值為0.解（2）：由（1）知，又又由，有，當且僅當，即（舍去）時，“=”成立故，當且僅當時，取得最小值4.已知動圓過定點，且與直線相切，其中.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設、是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當、變化且為定值（）時，證明：直線恒過某一定點，并求出該定點的坐標.解（1）：設動圓圓心為，記定點為，過點作直線于點則由題意知，這表明，點到定點的距離與它到定直線的距離相等于是點的軌跡為拋物線，其中是其焦點，是其準線故動圓圓心的軌跡的方程為（）證（2）：設，則由題意知，，并且于是直線的斜率存在且不為零，不妨設其方程為（）聯(lián)立，得由韋達定理，有（ⅰ）當時，不存在，但有于是于是此時直線的方程為，即這表明，當時，直線恒過定點（ⅱ）當時，存在于是此時直線的方程為，即這表明，當時，直線恒過定點故當時，直線恒過定點；當時，直線恒過定點.設橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點，、的焦點均在軸上，過的焦點作直線，與交于、兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：340求、的標準方程；設是準線上一點，直線的斜率為，、的斜率依次為、，請?zhí)骄浚号c的關(guān)系；若與交于、兩點，為的左焦點，問是否有最小值？若有，求出最小值；若沒