中考數(shù)學(xué)高頻考點突破-二次函數(shù)與相似三角形

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學(xué)高頻考點突破——二次函數(shù)與相似三角形1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別為、，拋物線頂點為點，過點作軸于點．（1）求，，三點的坐標．（2）在軸上是否存在點，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．（3）若點為軸上方的拋物線上一動點（點與頂點不重合），于點，當與相似時，求點的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線（a為常數(shù)）與y軸交于點C．請完成下列問題；（1）當拋物線經(jīng)過點A時如圖1，請求出A點坐標及拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，拋物線與直線的另一個交點為E．拋物線的對稱軸與直線交于點D，若F為拋物線對稱軸上的一個動點，以D、E、F為頂點的三角形能否與△ABC相似？若能，請求出所有F點的坐標，若不能，請說明理由．（3）在函數(shù)中若自變量x的取值范為，請直接寫出函數(shù)最大值與最小值的差（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．3．拋物線的頂點坐標為，并且與軸交于點，與軸交于兩點，．

（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點是位于直線下方的拋物線上一動點．①如圖1，過點作，垂足為，求垂線段的最大值并求出此時點的坐標；②如圖2，拋物線的對稱軸與直線交于點，過點作軸的平行線，與直線交于點，問是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的頂點為，圖象與軸交點為，，且點在點左側(cè)．（1）求，兩點的坐標．（2）當時，求的值．（3）在（2）的情況下，將軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與軸交于點，連接，記上方（含點，）的拋物線為．①設(shè)點為上一動點，當取最大值時，求點的坐標．②在上是否存在點，使以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，直線與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若PE=3+4EF，求m的值；（3）是否存在點P，使得△PCE與△DEF相似．若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

6．如圖，已知拋物線經(jīng)過三點，點是拋物線的頂點（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，若為軸上一點，為平面內(nèi)一點，問：是否存在這樣的使得以為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由（3）如圖2，連接試問：在軸的下方的拋物線上是否存在點，過作上軸于點，使以為頂點的三角形與相似？若存在，則求出點的坐標，若不存在，請說明理由7．在平面直角坐標系中，點在拋物線上．（1）如圖1，若拋物線經(jīng)過點．①求拋物線的解析式；②設(shè)拋物線與軸交于點，連接，，，若點在拋物線上，且與的面積相等，求點的坐標；（2）如圖2，若拋物線與軸交于點D過點作軸的平行線交拋物線于另一點．點為拋物線的對稱軸與軸的交點，為線段上一動點．若以M，D，E為頂點的三角形與相似．并且符合條件的點恰有個，請直接寫出拋物線的解析式及相應(yīng)的點的坐標．8．如圖，頂點為的拋物線與交軸分別于點，（點在點的左側(cè)），與交軸交于點．已知直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式：(2)若以點為圓心的圓與相切，求的半徑；(3)在軸上是否存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．9．如圖，直線交軸于點A，交軸于點B,拋物線經(jīng)過點A，交軸于點，點P為直線AB下方拋物線上一動點，過點P作于D，連接AP．（1）求拋物線的解析式；（2）若以點為頂點的三角形與相似，求點P的坐標；（3）將繞點A旋轉(zhuǎn)，當點O的對應(yīng)點落在拋物線的對稱軸上時，請直接寫出點B的對應(yīng)點的坐標．10．如圖，在平面直角坐標系，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點．

備用圖

（1）求拋物線的解析式．（2）點是直線上方的拋物線上一點，連接、、，與軸交于．①點是軸上一動點，連接，當以、、為頂點的三角形與相似時，求出線段的長；②點為軸左側(cè)拋物線上一點，過點作直線的垂線，垂足為，若，請直接寫出點的坐標．11．如圖，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B(1，0)，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式．（2）點P是直線AC上方的拋物線上一點，過點P作于點H，求線段PH長度的最大值．（3）Q為拋物線上的一個動點（不與點A、B、C重合），軸于點M，是否存在點Q，使得以點A、Q、M三點為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．12．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y＝x﹣2交于B，C兩點．（1）求拋物線的解析式及點B、C的坐標；（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑；（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．13．如圖，在平面直角坐標系中拋物線經(jīng)過原點，且與直線交于則、兩點．（1）求直線和拋物線的解析式；（2）點在拋物線上，解決下列問題：①在直線下方的拋物線上求點，使得的面積等于20；②連接，作軸于點，若和相似，請直接寫出點的坐標．

14．如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點．，與軸交于另一點，且對稱軸是直線．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若是上的一點，作交于，當面積最大時，求的長；（3）是軸上的點，過作軸與拋物線交于，過作軸于，當以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似時，求點的坐標．15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+1相交于點A(0，1)和點B(3，﹣2)，交x軸于點C，頂點為點F，點D是該拋物線上一點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，若點D在直線AB上方的拋物線上，求△DAB的面積最大時點D的坐標；（3）如圖2，若點D在對稱軸左側(cè)的拋物線上，且點E（1，t）是射線CF上一點，當以C、B、D為頂點的三角形與△CAE相似時，求所有滿足條件的t的值．16．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過O、A（4，0）、B（5，5）三點，直線l交拋物線于點B，交y軸于點C（0，﹣4）．點P是拋物線上一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P關(guān)于直線OB的對稱點恰好落在直線l上，求點P的坐標；（3）M是線段OB上的一個動點，過點M作直線MN⊥x軸，交拋物線于點N．當以M、N、B為頂點的三角形與△OBC相似時，直接寫出點N的坐標．17．如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點P且與y軸平行的直線與直線AB、AC分別交于點E、F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標和四邊形AECP的最大面積；（3）當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．18．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸相交于點B、C，經(jīng)過點B、C的拋物線與軸的另一個交點為A．（1）求出拋物線表達式，并求出點A坐標；（2）已知點D在拋物線上，且橫坐標為3，求出△BCD的面積；（3）點P是直線BC上方的拋物線上一動點，過點P作PQ垂直于軸，垂足為Q．是否存在點P，使得以點A、P、Q為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．（1），，．（2）存在，或．（3）或．【分析】（1）令，解出x的值即可求出點A、B的坐標，再利用頂點式即可求出點C的坐標；（2）假設(shè)存在點，分別表示出、、，再根據(jù)勾股定理求出d的值，即可求出坐標；（3）分兩種情況討論：①若點在對稱軸右側(cè)（如圖），只能是，得，延長交軸于，求得直線的解析式，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點坐標；②若點在對稱軸左側(cè)（如圖），只能是，得，過作的垂直線交于點，作軸于點，求得直線的解析式，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點坐標．【解析】（1）令，則，解得，，，又，．（2）假設(shè)存在點，由題意得：，，，又是以為斜邊的直角三角形，即，解得：，，點坐標為或．（3）①若點在對稱軸右側(cè)（如圖），只能是，得，延長交軸于，，，設(shè)，則，，即，設(shè)直線的解析式為，則，解之得，，直線的解析式，聯(lián)立，解之得或（舍去），．②若點在對稱軸左側(cè)（如圖），只能是，得，過作的垂直線交于點，作軸于點，由得，，由得，，，點坐標為，設(shè)直線的解析式為，則，解之得，，直線的解析式，聯(lián)立，解之得或（舍去），，滿足條件的點坐標為或．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點，需要熟練掌握．2．（1）A點坐標（-1，0），拋物線的解析式為；（2）F點坐標為（1，）或（1，14）；（3）見解析【分析】（1）先根據(jù)題意求出A、B兩點坐標，將A（-1，0）代入，得出a的值即可（2）先得出拋物線與直線的另一個交點為E，設(shè)F點坐標為（1，m），然后分或兩種情況進行討論即可（3）先求出拋物線的對稱軸，然后分①當時，②當時，③當時，④當時，⑤當時進行討論【解析】解：（1）∵直線與x軸、y軸交于A、B兩點∴A點坐標（-1，0），B點坐標（0，1）∵拋物線經(jīng)過點A（-1，0）∴則∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與直線的另一個交點為E∴得x=-1或4∴E點坐標為（4，5）∵拋物線∴對稱軸為∵拋物線的對稱軸與直線交于點D∴則D點坐標為（1，2）∵F點在拋物線的對稱軸上∴設(shè)F點坐標為（1，m）則A（-1，0），B（0，1），C(0,-3)，D（1，2)，E（4，5），F(xiàn)（1，m）∴∵對稱軸與y軸平行∴，又∵以D、E、F為頂點的三角形與相似∴或即①或②①解得②解得∴F點坐標為（1，）或（1，14）.（3）∵拋物線的解析式為∴拋物線的對稱軸為①當時，拋物線在處取得最小值，在處取得最大值，則②當時，拋物線在處取得最小值，在處取得最大值，則③當時，拋物線在處取得最小值，在或處取得最大值，則④當時，拋物線在處取最小值，在處取最大值，則⑤當時，拋物線在處取最小值，在處取最大值，則【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到直線與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，函數(shù)的最值問題以及相似三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．3．（1）；（2）①垂線段的最大值為，；②存在，或．【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為，然后把點C代入解析式求解即可；（2）①過點P作PE∥y軸，交BC于點E，連接PC、PB，由（1）易得點B坐標，進而可求直線BC的解析式，設(shè)點，然后點E坐標可求，最后根據(jù)鉛垂法進行求△PCB的面積最大值，進而問題可求解；②由直線BC的解析式可知∠OBC=∠OCB=45°，又由題意知∠QPM=∠COB=90°，所以只有一種相似情況．【解析】解：（1）拋物線的頂點為，設(shè)該函數(shù)解析式為：，由拋物線與軸交于點，可得：，解得：，拋物線的解析式為即為；（2）①過點P作PE∥y軸，交BC于點E，連接PC、PB，如圖所示：由（1）可得：，令y=0可得：，解得，，，設(shè)直線BC的解析式為，則有：，解得，直線BC的解析式為，設(shè)，則有，，由鉛垂法可得：水平寬為點B與點C的橫坐標之差，水平寬為，，當時，△PCB面積為最大，即為，，則PD的最大值為，此時點；②存在，點P坐標為或，理由如下：由①可得：直線BC的解析式為，∠OBC=∠OCB=45°，由拋物線的對稱軸與直線交于點，且對稱軸為直線x=2，，△ABM為等腰直角三角形，∠AMB=90°，若∠QPM=90°時，過M作MP∥x軸交拋物線于點P，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，則△QPM∽△COB，如圖所示：此時點P的縱坐標與M相同，為1，將縱坐標代入拋物線解析式得：，解得：（不符合題意，舍去），；若∠PMQ=90°時，此時點P與點A重合，如圖3所示，即點P的坐標為，綜上所述：滿足條件的點P坐標為或．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合及相似三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)解析式，然后根據(jù)鉛垂法及相似三角形的存在性進行求解問題即可．4．（1），；（2）；（3）①；②不存在點，見解析【分析】（1）令y=0，根據(jù)可得出，求解即可；（2）由題意可知：點坐標為，根據(jù)三角形的面積計算即可；（3）①先求出直線BC的解析式，設(shè)點的坐標為，過點向軸作垂線，交于點，根據(jù)三角形的面積計算即可；②分兩種情況進行判斷，當時，，證明也是等腰直角三角形，根據(jù)條件計算即可；當，證得，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可；【解析】解：（1），∵，∴，解得，；∴，；（2）由題意可知：點坐標為，，∵，，∴.∴.（3）①如圖2，由（2）可知，點坐標為.∴直線的解析式為.由翻折可知，的解析式為，設(shè)點的坐標為，過點向軸作垂線，交于點，.∵∴有最大值.當時，取最大值，此時.②不存在.詳細解答過程：第一種情況，如圖3，當時，，∵，∴.∵是等腰直角三角形，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴點縱坐標為6，設(shè)，則時，代入的解析式得，，∴不存在點；第二種情況，如圖4，當，，∴，∵，∴，∴，若，則，∴，設(shè)，則，解得，（舍去），∵的對稱軸為，，當時，由圖易知，∴舍去，∴不存在點；【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合三角形相似和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）；（2）；（3）存在點P，；【分析】（1）把，代入解析式求解即可；（2）由可得，根據(jù)m的取值分別計算即可；（3）由OC=OD=4，知∠ODC=∠OCD=45°，又PF⊥x軸，于是∠EFD=90°，又∠PEC=∠DEF=45°．要使△PCE與△DEF相似，只需∠CPE=90°或∠PCE=90°即可．設(shè)，則，分類計算即可；【解析】解：（1）由拋物線過，兩點可得：∴拋物線的解析式為（2）由可得，設(shè)拋物線與y軸交點為Q(0,5)，則QC=5-4=1，OC=4，顯然QC＜3+4OC，故點P只能是x軸上方的拋物線位于第一象限上的動點．設(shè)則當時，由，得，解得或（舍去）由，，解得（負值舍去），故綜上有m的取值為：或．（3）存在點P，使得△PCE與△DEF相似，由OC=OD=4，知∠ODC=∠OCD=45°，又PF⊥x軸，于是∠EFD=90°，又∠PEC=∠DEF=45°．要使△PCE與△DEF相似，只需∠CPE=90°或∠PCE=90°即可．設(shè)，則，當∠CPE=90°時，則由，解得：，此時點P的坐標當∠PCE=90°時，過P作PG⊥y軸于點G，則當△PCG為等腰直角三角形時，有∠PCE=90°．于是，即，解得，此時點P的坐標為或，故綜上有符合條件的點P存在，且坐標為或或

或．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，準確計算是解題的關(guān)鍵．6．（1）；（2）存在，；（3）存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）分AC為矩形的對角線和矩形的邊即可求解；（3）利用△AMN∽△CDB，當N在A點左邊時，當N在A點右邊時，當N在A點右邊時，當N在A點左邊時分別得出即可．【解析】（1）∵拋物線y＝ax2＋bx?3與x軸交于兩點A（1，0）、B（3，0），∴0＝a＋b?3，0＝9a＋3b?3，解得：a＝?1，b＝4，∴；令y=0，解得x=-3∴C（0，-3）（2）如圖，當AC是矩形AQCP的對角線時，P點在原點，CQ=AO=1,AQ=OC=3∴Q（1，-3）當AC是矩形AQCP的邊時∵AP’⊥AC，AO⊥P’C∴△AP’O∽△CAO∴∴P’O=AO=∴P’（0，）由A點到P’的平移方式為向左平移1個單位，向上平移個單位，∴Q’由C向左平移1個單位，向上平移個單位，故Q’∴（3）如圖2，設(shè)N（m，0）則M（m，?m2＋4m?3），MN＝m2?4m＋3若△AMN∽△DCB,，當N在A點左邊時AN＝1?m，，m＝0或m＝1（舍），所以M（0，?3），當N在A點右邊時AN＝m?1，，m＝6或m＝1（舍），所以M（6，?15），若△MAN∽△DCB，當N在A點左邊時AN＝1?m，，m＝（舍）或m＝1（舍），所以此時M不存在，當N在A點右邊時AN＝m?1，，m＝或m＝1（舍），所以M，綜上．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．7．（1）①；②；（2）當拋物線的解析式為時，點的坐標為或；當拋物線的解析式為時，點的坐標為或【分析】（1）①利用待定系數(shù)法直接求拋物線的解析式；②先求解的面積為分情況討論：當在的下方時，過點作軸交于，設(shè)點利用的面積為，建立方程求解即可，當在的上方時，過點作的平行線，與拋物線的另一交點即為點，利用函數(shù)的交點可得答案；（2）先求解拋物線的解析式為：，得到.設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程，由方程解的情況討論得出結(jié)論．【解析】解：①拋物線過點和點解得拋物線的解析式為②在中，令得，點的坐標為點到的距離為設(shè)直線的解析式為則解得直線的解析式為（I）如圖，若點在直線下方的拋物線上，過點作軸交于設(shè)點則點無解此時點不存在（II）若點在直線上方的拋物線上，過點作的平行線，與拋物線的另一交點即為點，則則可設(shè)直線的解析式為將代入，得直線的解析式為令解得或(舍去)當拋物線的解析式為時，點的坐標為或當拋物線的解析式為時，點的坐標為或理由如下：由點在拋物線上，得拋物線的解析式為設(shè)當時，即當時，即當方程有兩個相等實數(shù)根時，解得(負值舍去)此時，方程有兩個相等實數(shù)根方程有一個實數(shù)根，符合題意此時拋物線的解析式為點的坐標為或當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，把代入，解得負值舍去)此時，方程有兩個不相等的實數(shù)根方程有一個實數(shù)根，符合題意；此時拋物線的解析式為點的坐標為或綜上所述，當拋物線的解析式為點的坐標為或；當拋物線的解析式為時，點的坐標為或【點評】本題考查的是利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與圖形面積問題，一元二次方程的解法及根的判別式，同時考查三角形相似的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．(1)；(2)；(3)在軸上存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似，點的坐標是或【分析】(1)利用直線的解析式分別求得A、C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；(2)利用兩點之間的距離公式，分別求得AD、AC、CD的長，根據(jù)勾股定理的逆定理先判斷出△ADC是直角三角形，再利用面積法即可求解；(3)分三種情況討論，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解．【解析】(1)把代入，得．∴，把代入，得，∴，把，，代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：；(2)∵，，，∴在中，，，同理：，，，，∴，∴是直角三角形，過點作，垂足為點，∴，∴，∴，∴的半徑為；(3)答：在軸上存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似．解：在中，，∴，①當()時，，即，∴．此時點的坐標是．②當()時，．即，∴，，此時點的坐標是；③當()時，點不在軸上；綜上所述，在軸上存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似，點的坐標是或．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，兩點之間的距離公式，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和坐標軸的交點坐標以及全等三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的應(yīng)用．9．（1）；（2）當時三角形相似；（3）點的坐標為或．【分析】（1）先求出A，B的坐標，然后根據(jù)拋物線經(jīng)過點A，C，解出a，c的值，即可求出拋物線解析式；（2）分①當時和②當時兩種情況討論即可；（3）先將拋物線的解析式化為頂點式，得出拋物線的對稱軸為：x=-1，根據(jù)，得出AO=3，BO=，然后設(shè)O（-1，m），解出m值，分①當O（-1，）時和②當O（-1，-）時兩種情況討論即可．【解析】（1）∵直線交軸于A，B，，∵拋物線經(jīng)過點A，C，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）①當時，點P為拋物線與x軸的交點，令，解得（舍去）∴點P的坐標為；②當時，，，過點B作，且使得，則P點必在直線AE與拋物線的交點上，做軸于點F，，，，，，，設(shè)直線AE的解析式為則，解得，∴直線AE的解析式為，解方程組解得，，∴點P的坐標為，∴當或（1，0）時三角形相似；（3）由題拋物線的解析式為，∴拋物線的對稱軸為：x=-1，∵，∴AO=3，BO=，∴設(shè)O（-1，m），則有AO==AO=3，解得：m=或m=，①當O（-1，）時，設(shè)AO的解析式為：y=ax+b，將A（-3，0），O（-1，）代入得，解得，∴AO的解析式為：y=x+，∵BO⊥AO，∴可設(shè)BO的解析式為：y=x+b1，將O（-1，）代入得=×（-1）+b1，解得b1=，∴BO的解析式為：y=x+，設(shè)B的坐標為（x，x+），則BO==BO=，解得x1=-1-，x2=-1-(不符合此時的情況，舍去)，將x1代入x+=1+，∴B的坐標為（-1-，1+）；②當O（-1，-）時，同理可得B的坐標為（-1+，1-）；綜上：點的坐標為或．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，證明三角形相似是解題關(guān)鍵．10．（1）；（2）①或；②或．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）①將點E代入拋物線解析式，計算點E，得出AB，AE，BE長度，證得，然后分為與兩種情況進行討論即可；②根據(jù)題意信息，求得直線CE的解析式，通過角度轉(zhuǎn)化，結(jié)合銳角三角函數(shù)，相似成比例，求得點H的坐標．【解析】解：（1）將、、代入得，解得：拋物線的解析式為：；（2）①將代入中，得，解得或（舍去），、，，，，，，，，（I）當時，與點重合，圖1（II）當時，，，，故：的長為或；圖2②點的坐標為或（I）過點作于點，過點作于點，，又，，，，，，，直線的解析式為，，，，，，，又，點的縱坐標為，代入中，得：或（舍去），，，，設(shè)，則，，，解得，，點的橫坐標為，代入，得：，點的坐標為．圖3（II）過點作，過點作于點，過點作于點，，，由（I）知：，則，，又，，，，由（I）知：則，設(shè)，則，，，，，，又，，代中，得，或（舍去），點的橫坐標為，代入，得，．點的坐標為圖4綜合以上可得點的坐標為或．【點評】本題考查了二次函數(shù)與幾何的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等綜合知識點，熟練確定以上關(guān)系，并熟練計算是解題的關(guān)鍵．11．（1）；（2）；（3）或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點E，如圖1，設(shè)點P的橫坐標為t，則PE可用含t的代數(shù)式表示，易證△PEH∽△ACO，可得，于是PH可用含t的代數(shù)式表示，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出PH長度的最大值；（3）設(shè)Q點的橫坐標為m，則Q點的縱坐標可用m的代數(shù)式表示，分三種情況：當1＜m＜4時，如圖2；當m＞4時，如圖3；當m＜1時，如圖4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分與兩種情況，建立關(guān)于m的方程求解即可．【解析】解：（1）將A（4，0）、B（1，0）代入，得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）將代入，得，∴．設(shè)直線AC的解析式為，將A（4，0）代入，解得：，∴直線AC的解析式為．過點P作x軸的垂線，交直線AC于點E，如圖1，設(shè)，則．∴．∵∠PEH=∠ACO，∠PHE=∠AOC=90°，∴△PEH∽△ACO，∴，∴．∴當時，PH有最大值；（3）存在，點或或．理由如下：設(shè)Q點的橫坐標為m，則Q點的縱坐標為﹣m2+m﹣2，當1＜m＜4時，如圖2，AM＝4﹣m，QM＝﹣m2+m﹣2，又∵∠COA＝∠QMA＝90°，∴①當時，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（﹣m2+m﹣2），解得：m＝2或m＝4（舍去），此時Q（2，1）；②當時，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝﹣m2+m﹣2，解得：m＝4或m＝5（均不合題意，舍去）；當m＞4時，如圖3，AM＝m－4，QM＝m2－m+2，又∵∠COA＝∠QMA＝90°，∴①當時，△AQM∽△ACO，即m－4＝2（m2－m+2），解得：m＝2或m＝4（均不合題意，舍去）；②當時，△AQM∽△CAO，即2（m－4）＝m2－m+2，解得：m＝5或m＝4（不合題意，舍去）；∴Q（5，﹣2）；當m＜1時，如圖4，AM＝4－m，QM＝m2－m+2，又∵∠COA＝∠QMA＝90°，①當時，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（m2－m+2），解得：m＝0或m＝4（均不合題意，舍去）；②當時，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝m2－m+2，解得：m＝﹣3或m＝4（不合題意，舍去）；∴Q（﹣3，﹣14）；綜上所述，符合條件的點Q為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一元二次方程的解法以及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性強、難度較大，屬于中考壓軸題，全面分類、熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．12．（1）y＝﹣x2+2x，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）2﹣；（3）存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【分析】（1）可設(shè)頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得B,C點坐標；（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，從而即可求出內(nèi)切圓的半徑；（3）設(shè)出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點的坐標．【解析】解：（1）∵頂點坐標為（1，1），∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+1，又∵拋物線過原點，∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；∵A（1，1），∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，∴r＝＝；（3）假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，由（2）知，AB＝，BC＝3，∵MN⊥x軸于點N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°，∴當△ABC和△MNO相似時，有或，①當時，∴，即|x||﹣x+2|＝|x|，∵當x＝0時M、O、N不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|＝，∴﹣x+2＝±，解得x＝或x＝，此時N點坐標為（，0）或（，0）；②當時，∴，即|x||﹣x+2|＝3|x|，∴|﹣x+2|＝3，∴﹣x+2＝±3，解得x＝5或x＝﹣1，此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【點評】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法，勾股定理及其逆定理，相似三角形的性質(zhì)并分情況討論是解題的關(guān)鍵．13．（1），；（2）①的坐標為或；②點的坐標為：或或或．【分析】（1）把代入即可求出一次函數(shù)解析式，把、代入即可求出二次函數(shù)解析式；（2）①如圖1，作軸，交于點，設(shè)，則，表示出PQ、AB的長，然后根據(jù)三角形的面積公式列式求解即可；②先根據(jù)勾股定理及其逆定理求出，然后分當時和當時兩種情況求解即可．【解析】（1）把代入，得，，直線解析式為，∵拋物線經(jīng)過原點，∴c=0．把、代入，得由，得拋物線解析式為；（2）①如圖1，作軸，交于點，設(shè)，則，，AB=6+4=10，，解得，，點的坐標為或；②設(shè)，如圖2，由題意得：，，，，，，當時，，即，整理得，解方程，得(舍去)，，此時點坐標為；解方程得(舍去)，，此時點坐標為；當時，，即，整理得，解方程，得(舍去)，，此時點坐標；解方程，得(舍去)，，此時點坐標為；綜上所述：點的坐標為：或或或．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大，屬中考壓軸題．14．（1）；（2）；（3）或或【分析】（1）先根據(jù)對稱軸求出點B的坐標，然后將拋物線設(shè)成交點式，再將點A代入求解即可；（2）設(shè)，先用待定系數(shù)法求出直線OA和直線AB的解析式，然后根據(jù)求出直線MN的解析式，再利用直線OA與直線MN聯(lián)立求出N的坐標，然后利用求出面積的最大值及此時t的值，進而可求出M,N的坐標，則MN的長度可求；（3）設(shè)，分兩種情況：當時，，即；當時，，即，分別建立關(guān)于m的方程求解即可得出m的值，進而可求P的坐標．【解析】解：（1）∵拋物線過原點，對稱軸是直線，∴點坐標為．設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，∴拋物線解析式為，即；（2）設(shè)，設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，∴直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，∴直線的解析式為．∵，∴設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，∴直線的解析式為．將直線OA與直線MN方程聯(lián)立得，解得，∴，∴，當時，有最大值3，此時，∴；（3）設(shè)，∵，當時，，即，∴，即，則，得（舍去），，此時點坐標為，或得（舍去），，此時點坐標為；當時，，即，∴，即，則得（舍去），（舍去），或得（舍去），，此時點坐標為；綜上所述，點坐標為或或．【點評】本題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定及性質(zhì)，一元二次方程的解法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）；（3）t＝1或t＝2或或【分析】（1）將點A（0，1）和點B（3，-2）代入拋物物線y=-x2+bx+c中，列出方程組即可解答；（2）過點D作DM∥y軸交AB于點M，D（a，-a2+2a+1），則M（a，-a+1），表達出DM，進而表達出△ABD的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值及D點坐標；（3）由題意可知，∠ACE=∠ACO=45°，則△BCD中必有一個內(nèi)角為45°，有兩種情況：①若∠CBD=45°，得出△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，再對△ACE進行分類討i論；②若∠CDB=45，根據(jù)圓的性質(zhì)確定D1的位置，求出D1的坐標，再對△ACE與△CD1B相似分類討論．【解析】解：（1）將點A（0，1）和點B（3，﹣2）代入拋物物線y＝﹣x2+bx+c中得，解得∴y＝﹣x2+2x+1；（2）如圖1所示：過點D作DM∥y軸交AB于點M，設(shè)D（a，﹣a2+2a+1），則M（a，﹣a+1）．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a∴∵，有最大值，當時，此時

圖1（3）∵OA＝OC，如圖2，CF∥y軸，∴∠ACE＝∠ACO＝45°，∴△BCD中必有一個內(nèi)角為45°，由題意可知，∠BCD不可能為45°，①若∠CBD＝45°，則BD∥x軸，∴點D與點B于拋物線的對稱軸直線x＝1對稱，設(shè)BD與直線＝1交于點H，則H（1，﹣2）B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）此時△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，（i）當∠AEC＝90°時，得到AE＝CE＝1，∴E（1.1），得到t＝1（ii）當∠CAE＝90時，得到：AC＝AE＝，∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2

圖2②若∠CDB＝45°，如圖3，①中的情況是其中一種，答案同上以點H為圓心，HB為半徑作圓，則點B、C、D都在圓H上，設(shè)圓H與對稱左側(cè)的物線交于另一點D1，則∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所對的圓周角相等），即D1也符合題意設(shè)由HD1＝DH＝2解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），∴，則，（i）若△ACE∽△CD1B，則，即，解得，（舍去）（ii）△ACE∽△BD1C則，即，解得，（舍去）綜上所述：所有滿足條件的t的值為t＝1或t＝2或或

圖3【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題，其中涉及到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次數(shù)圖象上點的坐標待征，二次函數(shù)的最值的求法以及相似三角形的判定與性質(zhì)，難度比校大，另外，解答（3）小題時，一定要分類討論，做到不重不漏．16．（1）拋物線解析式為：y＝x2﹣4x；（2）P（﹣，）；（3）點N坐標為：（，﹣）或（，﹣）．【分析】（1）依題意設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式；（2）先求出直線BC解析式和OB解析式，可求直線l關(guān)于直線OB對稱的直線解析式，聯(lián)立方程組可求解；（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)列出等式，即可求解．【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax（x﹣4），且過點B（5，5）∴5＝5a∴a＝1，∴拋物線解析式為：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x；（2）∵點B（5，5），點C（0，﹣4），O（0，0）∴直線BC解析式為：y＝x﹣4，直線OB解析式為：y＝x，∵C點（0，-4），可得C點關(guān)于直線OB的對稱點為（-4，0）設(shè)直線l關(guān)于直線OB對稱的直線解析式為y=kx+b,把（-4，0），（5，5）代入得解得∴直線l關(guān)于直線OB對稱的直線解析式為y＝，∴聯(lián)立方程組可得：∴或∴點P（﹣，）；（3）如圖，∵點B（5，5），點C（0，﹣4），O（0，0）∴OC＝4，BO＝=5，∠BOA＝45°．設(shè)點M（m，m），則點N（m，m2﹣4m），∴MN＝5m﹣m2，BM＝=（5﹣m），∵MN∥y軸，∴∠BMN＝∠BOC＝∠BOA+∠COA=135°．∵以M、N、B為頂點的三角形與△OBC相似，①當△BMN∽△BOC∴，則＝，∴m1＝5（舍去），m2＝，∴點N的坐標為（，﹣），②當△BMN∽△COB若，則＝，∴m1＝5（舍去），m2＝，∴點N坐標為（，﹣），綜上所述：點N坐標為：（，﹣）或（，﹣）．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．17．（1）y=x2－2x+1；（2）四邊形AECP的面積最大值為，此時點P(，)；（3）存在，點Q坐標為：(4,1)或(－3,1)．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)拋物線的對稱性可得C點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的解析式，根據(jù)直線上的點滿足函數(shù)解析式，可得E點坐標，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大