數(shù)學物理方法課件第三章復變函數(shù)積分

PAGEPAGE30第三章復變函數(shù)的積分柯西定理與柯西公式(教材第1章4-5節(jié)）§3-1復變函數(shù)的積分一、復變函數(shù)積分的定義：設為復平面上以為起點、以為終點的一段路徑（即一根自身不相交的曲線），在上取一系列分點把分為段，在每一小段[]上任取一點作和數(shù)：,其中,,如果當且每一小段的長度（）趨于零時，和式的極限存在，并且其值與及的選取方式無關，則稱這一極限為沿路徑由到的積分:，稱為積分路徑，在上取值，即在上變化。圍道積分：若積分路徑的起點與終點重合，則為閉合曲線，簡稱圍道（即自身不相交的簡單閉曲線），則積分記為，稱為圍道積分。二、復變函數(shù)積分的幾個簡單性質1.復變函數(shù)的積分不僅與積分端點有關，還與積分路徑有關。(與我們以前在高等數(shù)學中學過的實變函數(shù)的線積分類似。)2．因為，，，于是，所以復變函數(shù)的積分可以歸結為兩個實變函數(shù)的線積分，它們分別是復變函數(shù)積分的實部和虛部。3．從復變函數(shù)積分的定義出發(fā)，可以直接得出復變函數(shù)的積分具有如下簡單性質：（1），、分別為之起點、終點。（2），、為復常數(shù)。（3）,其中積分路徑由路徑、連接而成。（4）,表示與方向相反的同一條曲線。4．圍道積分的環(huán)繞方向：若積分路徑的兩端點重合（即為自身不相交的封閉曲線），則計算積分時，必須先規(guī)定積分路徑的環(huán)繞方向（因為：）。以后凡遇圍道積分，如不加特別說明，都假定積分路徑的環(huán)繞方向為沿逆時鐘方向。(為逆時鐘方向，代表順時鐘方向)例：試證，為以為圓心，為半徑的圓周（積分的環(huán)繞方向為沿逆時鐘方向）。證：圓周的參數(shù)方程為，在上，。當時，。當為的整數(shù)時，。§3-2柯西定理及其推廣【劉連壽、王正清編著《數(shù)學物理方法》P31-36】柯西定理討論的是積分值與積分路徑之間的關系，與涉及的區(qū)域有關?！緩土暎簡芜B通區(qū)域與復連通區(qū)域。單連通區(qū)域：區(qū)域內沒有“空洞”，只有一條邊界線。復連通區(qū)域（多連通區(qū)域）：區(qū)域內有“空洞”，至少有兩條或兩條以上的邊界線?！?一)單連通區(qū)域中的柯西定理若在單連通區(qū)域內解析，是內的任一圍線（即自身不相交的閉合曲線），則:。證明：由于在上解析，意味著在上各點均存在，實部、虛部有連續(xù)偏導數(shù)（即、、、在上連續(xù)）并滿足C-R條件。，，。由于實部、虛部滿足C-R條件，，,而由實變函數(shù)線積分的格林定理，得：，為所圍單連通區(qū)域（C－R條件），為所圍單連通區(qū)域（C－R條件）。單連通區(qū)域中柯西定理的另外一種表述：如果函數(shù)在閉曲線所圍的閉單連通區(qū)域內解析，則函數(shù)沿閉曲線的積分等于零。【函數(shù)在閉區(qū)域內解析,是指在區(qū)域D內以及它的邊界上的每一點都是解析的。一種等價的說法：如果函數(shù)在包括區(qū)域D和它的邊界在內的更大一些的區(qū)域內解析，就稱它為在閉區(qū)域內解析。】單連通區(qū)域中柯西定理的幾個推論：（1）在解析的單連通區(qū)域內，沿任一曲線的積分，只依賴于的起點和終點，而與的具體形狀無關。即若在單連通區(qū)域內解析，、是內有相同端點的任意兩條曲線，則:。證明：因為、的端點相同，所以與組成一圍線。由柯西定理：。（2）當積分的端點不動，而積分路線在解析的區(qū)域內連續(xù)地變形時，積分之值不變；（3）沿閉合回路的積分，當積分回路在解析的區(qū)域內連續(xù)地變形時，積分之值不變。（連續(xù)變形—閉合回路變形時不能跨過不解析的區(qū)域。）(二)復連通區(qū)域中的柯西定理對于復連通區(qū)域，可以作一條或多條輔助線（割線）使之變成一個單連通區(qū)域，然后再應用單連通區(qū)域中的柯西定理，就可以得到復連通區(qū)域中的柯西定理。復連通區(qū)域中的柯西定理兩種表述：(1)在閉復連通區(qū)域中解析的函數(shù)，沿所有邊界線正方向積分之和為零：【當沿某一方向沿邊界線環(huán)行時，如果所包圍的區(qū)域始終在邊界線的左邊，則該方向稱為邊界線的正方向；相反的方向則稱為邊界線的逆方向?！?2)在閉復連通區(qū)域中解析的函數(shù)，按逆時鐘方向沿外邊界線的積分等于按逆時鐘方向沿所有內邊界線的積分之和：（三）柯西定理應用舉例例1：計算，為不通過點的圍線。解：是的一個奇點，(1)若沒有包圍點，則在所包圍的閉區(qū)域內處處都上是解析的,從而（不包圍）。(2)若包圍【是的奇點】，作以為圓心的圓周包圍，則由復連通區(qū)域的柯西定理得：。由前面的例子可得:，。例2．設C為單位圓周，計算下列積分：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）奇點在C外，積分=0；（2），奇點在C外，積分=0；（3），奇點在C內，積分=；（4）被積函數(shù)有兩個奇點：，，一個奇點在C內，另一個奇點在C外例3：計算的值，為包含圓周在內的任何一條正向簡單閉曲線。解：分別以和為圓心、畫出半徑充分小的兩個輔助小園，它們完全包含于積分路徑所包含的區(qū)域EMBEDEquation.DSMT4內.這兩個小圓記作和.根據復連通區(qū)域的柯西定理，有：(三)原函數(shù)的概念若，則稱F(z)是f(z)的原函數(shù)，其中z?B，B是單連通區(qū)域。設f(z)是單連通區(qū)域B內的解析函數(shù)，由Cauchy定理知：沿B內任一路徑的積分只與起點、終點有關，而與積分路徑無關，因此當起點固定時，該積分就定義了一個關于終點z的單值函數(shù)：.則F(z)就是f(z)的原函數(shù):。若和f(z)是單連通區(qū)域B內的解析函數(shù)，且，則對于區(qū)域B內任意兩點和及區(qū)域B內連接該兩點的一條任意曲線,下列積分公式成立：。因積分值只與積分路徑的兩個端點端點有關，上述公式也可寫成：?！窘馕龊瘮?shù)的定積分公式，形式上與牛頓—萊布尼茲公式相似?！俊?-1柯西公式【教材第一章第五節(jié)】(一)單連通區(qū)域中的柯西公式柯西公式：設復變函數(shù)在閉單連通區(qū)域（）中解析(是區(qū)域的邊界線)，則在區(qū)域內任一點的值可由沿邊界線的積分確定（積分路徑沿區(qū)域邊界線的正方向進行）:，，柯西公式說明：解析函數(shù)在其解析區(qū)域內任一點的函數(shù)值可由函數(shù)在該區(qū)域邊界上的值來確定！這是解析函數(shù)的重要性質之一。證明：對于任意固定的，由前面的例子知:兩邊乘以，得:,因此只要證明:，即得:，這就證得柯西積分公式。作為的函數(shù)在內除點外均解析。以為圓心，很小的為半徑，作圓周。由復連通區(qū)域的柯西定理，得:，上式表明右邊的積分是與的半徑無關的，所以:而當時，（），由于是連續(xù)的，則:，，而，。從而。，。例1：利用柯西公式證明:，為以為圓心，為半徑的圓周（積分的環(huán)繞方向為沿逆時鐘方向）。證明：設,在積分路徑所包圍的閉單連通區(qū)域內是解析的，由柯西積分公式可得：例2：計算(沿圓周正向積分)解：由柯西公式,得:例3:計算(沿圓周正向積分)解：由柯西積分公式,得：例4:設，證明積分a.當是圓周時，等于；b.當是圓周時，等于；c.當是圓周時，等于。證明：的奇點為及。a.當是圓周時，及均在圓外，在圓內解析。由柯西定理:。b.當是圓周時，僅在圓內。由柯西積分公式得:。c.當是圓周時，僅在圓內。由柯西積分公式得：。例5:計算，其中積分路徑是包圍和兩點的任一簡單閉曲線，積分沿閉曲線的正方向。解：以和為圓心，分別作兩個充分小的圓和，使他們都位于積分路徑所包圍的區(qū)域內。在由閉曲線、、所圍的復連通區(qū)域內，被積分函數(shù)是解析的，由復連通區(qū)域的柯西定理，得到：，再由單連通區(qū)域的柯西積分公式，得到：(二)復連通區(qū)域中的柯西公式設函數(shù)在閉復連通區(qū)域中解析，的邊界由外邊界線和內邊界線，，，，組成。則函數(shù)在閉復連通區(qū)域內任意一點的函數(shù)值可以用它在邊界上的值表示出來：，說明：在上述積分公式中積分路徑包括復連通區(qū)域的全部邊界，，全部積分均沿所有邊界線的正方向進行。對外邊界線，其正方向為沿逆時鐘方向；對內邊界線，其正方向為沿順時鐘方向，用等表示。復連通區(qū)域中柯西公式另一種表述：(三)無界區(qū)域中的柯西公式（選讀，不要求）設在某一閉合曲線C的外部解析，并且當時f(z)一致地趨于零（即與幅角無關，f(z)隨模的增大而趨于零），則對于閉合曲線C的外部的任意一點,有：【幾點說明：（1）要求在閉合曲線C的外部解析；（2）當時一致地趨于零；（3）是閉合曲線C的外部的任意一點；（4）積分應沿閉曲線C的順時鐘方向進行。相對于閉曲線C外部的區(qū)域而言，依然為沿區(qū)域的邊界線的正方向進行積分。】§3-4復變解析函數(shù)的高階導數(shù)的積分表述——推廣的柯西公式由柯西公式:，，而，，從而被積函數(shù)是處處連續(xù)的。因此可在積分號下對求導，得一階導數(shù)為（相對于來講）：，()求次導數(shù)，得：，（），，）這就是推廣的柯西積分公式，它表明：在區(qū)域內解析的函數(shù)可以求導任意多次，其任意階導數(shù)均可以寫成沿區(qū)域邊界線的積分的形式。【幾點補充說明：（1）解析函數(shù)在其解析的區(qū)域內可以求導任意多次（即任意階導數(shù)都存在），這是解析函數(shù)的又一重要特點。（2）對復連通區(qū)域，高階導數(shù)公式依然成立（積分沿內、外邊界線的正方向進行）。（3）高階導數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導，而在于通過求導來求積分。（求導運算比積分運算要簡單的多）?！坷?：設代表圓周：.計算積分。解：設,在積分路徑所包圍的閉單連通區(qū)域內是解析的，由推廣的柯西積分公式可得：，令：，,得到：例2：計算積分，其中為包圍（為任意復數(shù)）的任意簡單閉曲線。解：根據推廣的柯西積分公式:，令,,得:例3:計算其中為正向圓周:解:由公式：,令,,得:第三章習題1、不用計算，證明下列積分之值均為零，其中均為圓心在原點，半徑為的單位圓周:（1）；（2）。2、計算：（1）；（2）。3、計算下列積分，其中積分路徑C為正向圓周:。（1）；（2）4、設C為正向園周，計算下列積分之值：（1）；（2）第三章習題解答1、不用計算，證明下列積分之值均為零，其中均為圓心在原點，半徑為的單位圓周。(1)；(2)。證明：(1)的奇點為，由于，所以它們均不在以原點為圓心的單位圓內。在以原點為圓心的單位圓內無奇點，處處解析。由柯西定理:。(2)的奇點為，，它們均不在以原點為圓心的單位圓內。在以原點為圓心的單位圓內處處解析。由柯西定理:。2、計算:(1)；(2)。解:(1)在所圍區(qū)域內解析，且在所圍區(qū)域內。由柯西積分公式得。(2)在所圍區(qū)域內解析，且在所圍區(qū)域內。由推廣的柯西積分公式得。3.計算下列積分，其中積分路徑C為正向圓周:。（1）；（2）解：（1）（2）有兩個奇點，分別位于，這兩個奇點都位于積分路徑