數(shù)理方法課件 08第八章 分離變量法part1

有界弦的自由振動(dòng)純強(qiáng)迫振動(dòng)非齊次邊界條件的處理正交曲線坐標(biāo)系中的分離變量

掌握用分離變量法求解各種有界問題第八章分離變量法Variableseparationapproach18.1有界弦的自由振動(dòng)1.常微分方程的本征問題定義：設(shè)某齊次常微分方程中有待定常數(shù)。僅當(dāng)

取某些特定的值時(shí)，該方程在

給定齊次邊界條件下才有非零解。稱

這些特定值及相應(yīng)解為該方程在給定

邊界條件下的本征值和本征函數(shù)例：2回顧：二階常微分方程有指數(shù)函數(shù)解+–

時(shí)的通解(可能是復(fù)數(shù))≠0

時(shí)的通解3求解本征問題①

=0不是本征問題I的本征值：通解②

≠0時(shí)，通解4本課程取Cn=1；量子力學(xué)中取練習(xí)：求解對(duì)給定的n，其它本征函數(shù)是Xn

的倍數(shù)本征值本征函數(shù)本征值本征函數(shù)5求解本征問題①

=0是本征問題II的本征值：通解②

≠0時(shí)，通解6問題的特征：齊次方程+齊次邊界條件求解思路：先處理泛定方程和齊次邊界條件，

得到足夠多的、線性獨(dú)立的特解所有特解的某個(gè)線性組合滿足其它定解條件2.分離變量法求解混合問題7帶入齊次泛定方程：該式左邊只是t

的函數(shù)，右邊只是x

的函數(shù)只有兩邊都是常數(shù)時(shí)，等式才能成立！帶入齊次邊界條件：(i)找變量分離的特解滿足8求解輔助的本征值問題本征值本征函數(shù)求解線性獨(dú)立的特解變量分離的特解形式(駐波)固有頻率9(ii)待求解展開為特解的疊加初始條件(3)疊加系數(shù)：兩邊乘Xn(x)后，在[0,l]上積分An,

Bn(求和指標(biāo)換為m)10本征函數(shù)的正交歸一性11例1：求兩端固定弦的自由振動(dòng)，初始條件為初速度為零解：0ll/2xu(x,0)h分離變量法得出解的一般形式Bn=0121314解：例2：求矩形薄板中的穩(wěn)態(tài)溫度分布，其兩邊x=0,x=a絕熱，一邊y=b保持零度，一邊y=0

溫度由

f(x)規(guī)定。xy0ab①

寫出定解問題②

分離變量，找特解帶入齊次泛定方程帶入齊次邊界條件15③

本征問題本征值本征函數(shù)④

求解關(guān)于Y

的微分方程通解16⑤

將特解疊加，用其它定解條件定系數(shù)本征函數(shù)的

正交歸一性173.分離變量法的基本步驟①

對(duì)齊次方程，找變量分離的特解②

若關(guān)于某個(gè)變量的邊界條件都是齊次的，

則得到相應(yīng)的本征問題，求出本征函數(shù)③

寫出其它變量的常微分方程的特解④

將一般解寫為變量分離的特解的疊加，結(jié)合本征函數(shù)的正交歸一特性，

由其它定解條件定疊加系數(shù)184.本征函數(shù)組的完備性滿足

f(0)=f(l)=0的連續(xù)函數(shù)f(x)可展開為滿足

f'(0)=f'(l)=0的連續(xù)函數(shù)f(x)可展開為？，展開系數(shù)唯一，展開系數(shù)唯一19回顧：周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)設(shè)f(x)有周期2l，在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)

第一類間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)

(Dirichlet

條件)，

則在[l,l]上有Fourier級(jí)數(shù)展開：展開

系數(shù)0l20將[0,l]上導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)f(x)延拓為周期延拓：(1)若f(0)=f(l)=0，選周期奇延拓(2)若f'(0)=f'(l)=0，-l0l周期2l

的函數(shù)，要求延拓后的函數(shù)導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。選周期偶延拓-l0l21若不滿足則稱為的廣義級(jí)數(shù)展開廣義級(jí)數(shù)展開：對(duì)混合問題將用各自的廣義級(jí)數(shù)展開替換，得到的解稱為廣義解22§8.2非齊次方程純強(qiáng)迫振動(dòng)1.二階常系數(shù)非齊次微分方程滿足y(0)=A,y'(0)=B

的解為y1(x)，y2(x)是相應(yīng)齊次方程的特解，滿足23證：記24可按本征函數(shù){Xn(x),n∈N}展開本征函數(shù)展開法：滿足固定邊界條件的解齊次固定邊界條件下，X″+X=0本征函數(shù)是本征函數(shù)組完備2.本征函數(shù)展開法

求解受迫振動(dòng)25帶入泛定方程(1)：將計(jì)算兩邊乘Xn(x)后，在[0,l]上積分求和指標(biāo)換為m固有圓頻率26帶入初始條件(3)：將兩邊乘Xn(x)后，在[0,l]上積分(求和指標(biāo)換為m)27求解齊次常微分方程的特解問題的解283.本征函數(shù)展開法的基本步驟①

用分離變量法求對(duì)應(yīng)的齊次方程在齊次邊界

條件下的本征函數(shù)②將未知函數(shù)按求得的本征函數(shù)展開，展開

系數(shù)是另一變量的函數(shù)。帶入非齊次方程

和其它定解條件，得出待定函數(shù)滿足的

常微分方程及定解條件③

求解此常微分方程29將帶入例：細(xì)桿兩端絕熱，

內(nèi)有周期熱源①

對(duì)齊次方程在齊次邊界條件下分離變量本征函數(shù)本征值30②

待求解按本征函數(shù)展開帶入非齊次泛定方程及初始條件：比較各本征函數(shù)

前的展開系數(shù)31另解：沖量原理滿足(1)用分離變量法求υ，找特解帶入齊次邊界條件

帶入齊次泛定方程32(2)本征問題本征值本征函數(shù)(3)特