第四章隨機解釋變量問題

第四章隨機解釋變量問題第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三◆隨機解釋變量問題及其產(chǎn)生原因◆隨機解釋變量的影響◆隨機解釋變量問題的修正第四章隨機解釋變量問題第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)隨機解釋變量問題及其產(chǎn)生原因—、隨機解釋變量問題在很多情況下，我們不能假定解釋變量全部是確定性變量，而實際上它們有的是隨機變量，我們把違背這一基本假設的問題稱為隨機解釋變量問題。對于模型（4-1）其基本假設之一是解釋變量X1，X2，…，Xk都是確定性變量。如果存在一個或多個解釋變量為隨機變量，則稱原模型存在隨機解釋變量問題。例:為討論方便，假設(4-1)式中X1為隨機解釋變量。第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三對于隨機解釋變量X1，由于它和隨機擾動項μi的關系不同，會使模型參數(shù)估計量的特性發(fā)生不同變化，所以又可分三種不同情況：析:1．隨機解釋變量與隨機干擾項獨立2．隨機解釋變量與隨機干擾項同期無關,但異期相關3．隨機解釋變量與隨機干擾項同期相關(4-3)(4-4)即

(4-5)即即(4-2)第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三二、隨機解釋變量問題產(chǎn)生的原因隨機解釋變量問題主要表現(xiàn)但是，并不是所有包含滯后被解釋變量的模型都帶來“隨機解釋變量問題”——用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。耐用品存量調(diào)整模型。著名的“耐用品存量調(diào)整模型”可表示為(4-6)例4-1:該模型表示，耐用品的存量由前一個時期的存量和當期收入共同決定。這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。但是，如果模型不只與相關，與不相關，屬于隨機解釋變量與隨機干擾項同期無關，但異期相關的情況。存在隨機干擾項的序列相關性，那么隨機解釋變量第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三例4-2:合理預期的消費函數(shù)模型。合理預期理論認為消費是由對收入的預期所決定的：

(4-7)在預期收入與實際收入之間存在假設：(4-8)的情況下，容易推出合理預期消費函數(shù)模型：

（4-9）在該模型中，作為解釋變量的不僅是一個隨機解釋變量，而且與模型的高度相關(因為與高度相關)，屬于隨機解釋變量隨機干擾項與隨機干擾項同期相關的情況。第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)隨機解釋變量的影響

計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機干擾項相關的話，如果仍采用普通最小二乘法估計模型參數(shù)，則不同性質(zhì)的隨機解釋變量問題會產(chǎn)生不同的后果。以一元線性回歸模型為例進行說明。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三圖4-1從圖形(圖4-1)上看，如果隨機解釋變量與隨機干擾項正相關，則在抽取樣本時，容易出現(xiàn)X值較小的點在總體回歸線下方，而X值較大的點在總體回歸線上方的情況，因此，擬合的樣本回歸線則可能低估(underestimate)了截距項，而高估(overestimate)斜率項。反之，如果隨機解釋變量與隨機干擾項負相關，則往往導致擬合的樣本回歸線高估截距項，而低估斜率項。第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三對一元線性回歸模型(4-10)在第二章曾得到如下最小二乘估計量：(4-11)隨機解釋變量X與隨機干擾項的關系不同，參數(shù)OLS估計量的統(tǒng)計性質(zhì)也會不同。第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三分三種不同情況：

1．如果X與相互獨立，得到的參數(shù)OLS估計量仍然是無偏一致估計量。(4-12)而,所以

(4-13)同理，（4-14）所以參數(shù)OLS估計量,仍然是無偏一致估計量第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三分三種不同情況：（4-15）2．如果X與同期不相關而異期相關，得到的參數(shù)OLS估計量有偏，但卻盡管與同期無關，但對任一，的與相關，因此，于是即參數(shù)OLS估計量是有偏的。但是由（4-14）可看出是的一致估計。是一致的。由(4-12)式易知，

分母中一定包含不同期的X

,由異期相關性知

3．如果與同期相關，得到的參數(shù)估計量有偏且非一致。這時Cov(Xt,μt)=E(xtμt)≠0,由（4-12）、（4-14）容易看出參數(shù)OLS估計量有偏且非一致。第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)隨機解釋變量問題的修正工具變量的選取工具變量的應用工具變量法估計量的性質(zhì)模型中出現(xiàn)隨機解釋變量并且與隨機干擾項相關時，普通最小二乘估計量是有偏的。如果隨機解釋變量與隨機干擾項異期相關，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量；但如果是同期相關，即使增大樣本容量也無濟于事。這時，最常用的方法是工具變量(instrumentvariables)法。第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三一、工具變量的選取

——在模型估計過程中被作為工具使用的變量，

用以替代與隨機干擾項相關的隨機解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：1.工具變量Z與所替代的隨機解釋變量X高度相關，即（4-16）2.工具變量Z與隨機干擾項不相關，即（4-17）3.工具變量Z與模型中其他解釋變量不相關，以避免出現(xiàn)多重共線性。

工具變量第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三二、工具變量的應用（以一元回歸模型為例說明）

記一元線性回歸模型如下：(4-18)用普通最小二乘法估計模型(4-18)式得正規(guī)方程組：(4-19)按照工具變量的選擇條件選擇z為X的工具變量得正規(guī)方程組：（4-20）（4-21）于是于是第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三采用工具變量法得到的正規(guī)方程組為二、工具變量的應用（以多元線性回歸模型為例說明）

其矩陣形式為采用參數(shù)估計量得到的正規(guī)方程組為（4-22）其中

通常，對于沒有選擇另外的變量作為工具變量的解釋變量，可以認為用自身作為工具變量。于是Z稱為工具變量矩陣。第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三三、工具變量法估計量的性質(zhì)1．工具變量法估計量是有偏估計量2．工具變量法估計量是一致估計量第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三1．工具變量法估計量是有偏估計量用工具變量法所求的參數(shù)估計量與總體參數(shù)真值之間的關系為（4-23）于是（4-24）因Z和X都是隨機變量，在一般情況下，故 （4-25）

上式說明工具變量法估計量一般不具有無偏性。第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三這說明工具變量法估計量具一致性。2．工具變量法估計量是一致估計量如果工具變量Z選取恰當，則由（4-16）、（4-17）有

因此，對式（4-23），兩邊取概率極限得（4-26）第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三特別指出：第一，工具變量法并沒有改變原模型，只是在原模型的參數(shù)估計過程中用

工具變量“替代”隨機解釋變量。第一步，用OLS法進行X關于工具變量Z的回歸（4-27）第二步，以第一步得到的為解釋變量，進行如下OLS回歸；（4-28）或者說可等價地分解成下面的兩步OLS回歸：第19頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三特別指出：如果一個隨機解釋變量可以找到多個相互獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，這就形成了廣義矩方法(GMM)。

在GMM中，如何求解成為它的核心問題。

GMM是近20年計量