經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微分方程的基本概念

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微分方程的基本概念第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四引言對自然界的深刻研究－－－－傅里葉微積分研究的對象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問題中,往往很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系,卻比較容易建立起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的聯(lián)系,從而得到一個方程,即微分方程.通過求解這種方程,同樣可以找到指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系.因此,微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁,是各個學(xué)科關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.如果說“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué),是研究、了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具”,那么微分方程就是顯示數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值的一種體現(xiàn).現(xiàn)實(shí)世界中的許多實(shí)際問題都可以抽象為微分方程問題.例如,物體的冷卻、琴弦的振動、電磁波的傳播等,都可以歸結(jié)為微分方程問題.這時(shí)微分方程也稱為所研究問題的數(shù)學(xué)模型.第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論體系.本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程解的理論.幾第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四解一、引例由題有且滿足：第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四解第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四代入條件后知故開始制動到列車完全停住共需第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，叫做微分方程.例實(shí)質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、基本概念第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四分類1:常微分方程,偏微分方程.我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.類似地,未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.例如方程是偏微分方程.第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).一階微分方程高階微分方程分類2:第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四常微分方程的一般形式是:其中為自變量,是未知函數(shù),在方程中,必須出現(xiàn),而其余變量可以不出現(xiàn),微分方程中,其余變量都沒有出現(xiàn).能從方程中就得到微分方程例如在階如果解出最高階導(dǎo)數(shù),以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方程,并且假設(shè)式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù).第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四分類3:非線性微分方程.線性微分方程.如果方程可表示為如下形式:則稱方程為階線性微分方程.其中和知函數(shù).全是一次冪。否則統(tǒng)稱為非線性微分方程.均為自變量的已即微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四分類4:單個微分方程與微分方程組.第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四例3試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的階數(shù).解(1)是一階線性微分方程,因方程中含有的和都是一次.(2)是一階非線性微分方程,因方程中含有的的平方項(xiàng).第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四例3試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的階數(shù).解(3)是二階非線性微分方程,因方程中含有的的三次方.(4)是二階非線性微分方程,因方程中含有非線性函數(shù)和第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).微分方程的解的分類：三、求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.滿足第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖像:微分方程的積分曲線.通解的圖像:積分曲線族.初始條件:用來確定任意常數(shù)的條件.第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的特解的問題.第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四解：將達(dá)第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四所求特解為第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解;初始條件；特解；初值問題；積分曲線．四、小結(jié)本節(jié)基本概念：第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四思考題第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期四思考題解答中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.第2