2022-2023學(xué)年湖南師大附中教育集團(tuán)九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南師大附中教育集團(tuán)九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，共30.0分.）1.|?2023|=(

)A.2023 B.?2023 C.?12023 2.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，杭州奧體博覽城核心區(qū)建筑總面積2720000平方米，將數(shù)2720000用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.0.272×107 B.2.72×106 C.3.如圖所示的幾何體中，主視圖與左視圖均是三角形的是(

)A. B. C. D.4.如圖，為判斷一段紙帶的兩邊a，b是否平行，小明在紙帶兩邊a，b上分別取點(diǎn)A，B，并連接AB.下列條件中，能得到a//b的是(

)A.∠1=∠2

B.∠1=∠3

C.∠1+∠4=180°

D.∠1+∠3=180°5.下列運(yùn)算中，正確的是(

)A.3x+4y=12xy B.x9÷x3=x6.剪紙文化是中國最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.7.智能垃圾箱分為“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱體.居民通過刷卡、手機(jī)號(hào)、人臉識(shí)別等身份識(shí)別方式進(jìn)行自動(dòng)開箱投放，將不同的垃圾投放至不同的箱體內(nèi)，垃圾箱則根據(jù)居民投放的垃圾，自動(dòng)進(jìn)行稱重，然后換算出積分可以現(xiàn)金提現(xiàn)或在禮品兌換機(jī)兌換實(shí)物禮品.我市某小區(qū)7個(gè)家庭一周換算的積分分別為23，25，25，

23，30，27，25，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，中位數(shù)和眾數(shù)分別是(

)A.23，25 B.25，23 C.23，23 D.25，258.某書店拿取高處書籍的登高梯如圖位置擺放，登高梯AC的頂端A恰好放在書架的第七層的頂端.已知登高梯的長度AC為3米，登高梯與地面的夾角∠ACB為72°，則書架第七層頂端離地面的高度AB為(

)A.3sin72°米 B.3sin72°米 C.3cos72°米 9.解分式方程xx?2?2=32?xA.x?2=3 B.x?2(x?2)=3

C.x?2(x?2)=?3 D.x?2x?2=?310.如圖，在x軸正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=An?1An=1(n為正整數(shù))，過點(diǎn)A1、A2、A3、…、An分別作x軸的垂線，與反比例函數(shù)y=2x(x>0)交于點(diǎn)P1、P2、P3、…、Pn，連接P1A.n?1n B.nn+1 C.12二、填空題（共6小題，共18.0分）11.因式分解：4x2?1=

12.方程3x2?6x=0的解是

13.如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且CE=1，CD=2，則AE的長是______．

14.如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠AOB=80°，則∠C的度數(shù)為______．

15.如圖為最受歡迎的智力游戲之一——三階魔方，三階魔方是由26個(gè)小立方塊和一個(gè)三維十字連接軸組成，且六個(gè)面分別涂有不同顏色，從小立方塊中任取一個(gè)，恰好有兩面涂色的概率為______．

16.某次會(huì)議有100人參加，參加會(huì)議的每個(gè)人都可能是誠實(shí)的，也可能是虛偽的，現(xiàn)在知道下面兩項(xiàng)事實(shí)：①這100人中，至少有1名是虛偽的.②其中任何2人中，至少有1名是誠實(shí)的.則這次會(huì)議活動(dòng)中，誠實(shí)的人數(shù)是______．三、解答題（共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題6.0分)

計(jì)算：(?1)2023+6cos60°+(π?3.1418.(本小題6.0分)

已知x2+3x?1=0，求代數(shù)式(x?3)19.(本小題6.0分)

如圖，小睿為測量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點(diǎn)E處用高1.5m的測角儀DE測得頂部A的仰角為31°，然后沿EB方向向前走3m到達(dá)點(diǎn)G處，在點(diǎn)G處用高1.5m的測角儀FG測得頂部A的仰角為42°.求涼亭AB的高度(AB⊥BE,DE⊥BE,FG⊥BE.結(jié)果精確到0.1m)．

(參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)

20.(本小題8.0分)

某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生，對“學(xué)習(xí)習(xí)慣”進(jìn)行問卷調(diào)查.設(shè)計(jì)的問題：對自己做錯(cuò)的題目進(jìn)行整理、分析、改正；答案選項(xiàng)為：A.很少，B.有時(shí)，C.常常，D.總是.將調(diào)查結(jié)果的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、繪制成部分統(tǒng)計(jì)圖：

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)填空：a=

%，b=

%，“常?！睂?yīng)扇形的圓心角度數(shù)為

；

(2)請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)為了共同進(jìn)步，張老師從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各選出兩人，再從兩組中分別選取一位學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好組合成功(即“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率．21.(本小題8.0分)

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC、BC，在AC的延長線上取一點(diǎn)P，使得BC2=AC?PC，連接BP．

(1)求證：直線BP是⊙O的切線；

(2)若AB=5，22.(本小題9.0分)

為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某中學(xué)以體育為突破口，準(zhǔn)備從體育用品商場一次性購買若干個(gè)足球和籃球，用于學(xué)校球類比賽活動(dòng).每個(gè)足球的價(jià)格都相同，每個(gè)籃球的價(jià)格也相同.已知籃球的單價(jià)比足球單價(jià)的2倍少30元，用相同的費(fèi)用，購買的足球數(shù)量與購買的籃球數(shù)量之比為3：2．

(1)足球和籃球的單價(jià)各是多少元？

(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，需一次性購買足球和籃球共200個(gè)，但要求足球和籃球的總費(fèi)用不超過15500元，學(xué)校最多可以購買多少個(gè)籃球？23.(本小題9.0分)

如圖，已知正方形ABCD，邊長AB=6，點(diǎn)P為對角線BD上任一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交BC于點(diǎn)Q．

(1)求證：AP=PQ；

(2)若DP=2，求四邊形ABQP24.(本小題10.0分)

對于一個(gè)函數(shù)y，如果在該函數(shù)圖象上至少存在一點(diǎn)A(a,a2)，那么我們不妨稱這個(gè)函數(shù)為攀登函數(shù)，稱這個(gè)點(diǎn)A為該函數(shù)的攀登星.請根據(jù)以上規(guī)定嘗試完成以下問題：

(1)試判斷函數(shù)y=?8x是不是攀登函數(shù)，如果是，請求出攀登星；若不是，請說明理由；

(2)已知一次函數(shù)y=mx+m是攀登函數(shù)且有唯一的攀登星，請求出該函數(shù)的解析式及攀登星；

(3)已知二次函數(shù)y=mx2+nx+1(m≥2)是攀登函數(shù)，兩個(gè)攀登星記為A1(a1,25.(本小題10.0分)

如圖，已知AB、AC是半徑為1的⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長線交AC于點(diǎn)D，連接OA、OC．

(1)證明：∠ABO=∠ACO；

(2)連接BC，當(dāng)△COD是直角三角形時(shí)，求BC的長；

(3)①試探究(ADOD)2?OCOD的值是否為定值？如果是，請求出式子的值；如果不是，請說明理由；

②記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S答案和解析1.【答案】A

解：|?2023|=?(?2023)=2023．

故選：A．

根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，即可求解．

本題考查了求一個(gè)數(shù)的絕對值，掌握負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是關(guān)鍵．

2.【答案】B

解：2720000=2.72×106．

故選：B．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n3.【答案】C

解：A、球的主視圖和左視圖均為全等的圓，不符合題意；

B、正方體的主視圖和左視圖均為全等的正方形，不符合題意；

C、圓錐的主視圖和左視圖均為全等的三角形，符合題意；

D、圓柱的主視圖和左視圖均為全等的長方形，不符合題意；．

故選：C．

找到從正面和左面看所得到的圖形，得出主視圖和左視圖均是三角形的即可．

此題主要考查了幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握主視圖和左視圖所看的位置．

4.【答案】D

解：A、∠1=∠2，∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，不能證明a//b，不符合題意；

B、∠1=∠3，∠1和∠3是同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角相等不能證明a//b，不符合題意；

C、∠1+∠4=180°，∠1和∠4屬于內(nèi)錯(cuò)角，內(nèi)錯(cuò)角互補(bǔ)不能證明a//b，不符合題意；

D、∵∠1+∠3=180°，

∴a//b(同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行)，符合題意．

故選：D．

根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行判斷即可．

本題考查了平行線的判定定理，熟知：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；是解本題的關(guān)鍵．

5.【答案】C

解：A、原式不能合并，錯(cuò)誤；

B、原式=x6，錯(cuò)誤；

C、原式=x6，正確；

D、原式=x2?2xy+y2，錯(cuò)誤，6.【答案】A

解：A.既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；

B.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

C.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：A．

根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．

7.【答案】D

解：某小區(qū)7個(gè)家庭一周換算的積分出現(xiàn)次數(shù)最多的是25分，出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是25分，

將某小區(qū)7個(gè)家庭一周換算的積分從小到大排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)是25分，因此中位數(shù)是25分，

故選：D．

根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，以及從小到大排列后處在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可．

本題考查中位數(shù)、眾數(shù)，理解中位數(shù)、眾數(shù)的定義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的前提．

8.【答案】A

解：由題意可得，

∠ABC=90°，AC=3米，∠ACB=72°，

∵sin∠ACB=ABAC，

∴AB=AC?sin∠ACB=3?sin72°(米)，

故選：A．9.【答案】C

解：xx?2?2=32?x，

方程兩邊都乘x?2，得x?2(x?2)=?3，

故選：C．

根據(jù)等式的性質(zhì)方程兩邊都乘x?2得出x?2(x?2)=?310.【答案】A

解：(1)設(shè)OA1=A1A2=A2A3=…=An?1An=1，

∴設(shè)P1(1,y1)，P2(2,y2)，P3(3,y3)，…P4(n,yn)，

∵P1，P2，P3…Bn在反比例函數(shù)y=2x(x>0)的圖象上，

∴y1=2，y2=1，y3=23…yn=2n，

∴S1=11.【答案】(2x+1)(2x?1)

【解析】【分析】

由于多項(xiàng)式有二項(xiàng)，沒有公因式，考慮運(yùn)用平方差公式分解．

本題考查了因式分解的平方差公式，兩項(xiàng)若沒有公因式，一般考慮平方差公式

【解答】

解：4x2?1

=(2x12.【答案】x1=0，解：3x(x?2)=0，

3x=0或x?2=0，

所以x1=0，x2=2．

故答案為：x1=0，x2=2．

利用因式分解法解方程．

本題考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右邊化為013.【答案】1

解：∵△ABC≌△DEC，CE=1，CD=2，

∴BC=CE=1，AC=CD=2，

∴CE=CA?CE=2?1=1，

故答案為：1．

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，進(jìn)而解答即可．

本題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等解答．

14.【答案】40°

解：∵∠C=12∠AOB，∠AOB=80°，

∴∠C=40°，

故答案為：40°．

根據(jù)圓周角定理求解即可．15.【答案】613解：由圖形可知，三階魔方的26個(gè)小立方塊里一面涂色有6個(gè)，兩面涂色有12個(gè)，三面涂色有8個(gè)，

∴恰好有兩面涂色的概率為1226=613，

故答案為：613．

由圖形可知，三階魔方的26個(gè)小立方塊里兩面涂色有16.【答案】99

解：假設(shè)這100人中，有2名是虛偽的，

這與其中任何2人中，至少有1名是誠實(shí)的相矛盾，

所以這100人中，至多有1名是虛偽的，

所以這100人中，有1名是虛偽的，有99名是誠實(shí)的．

故誠實(shí)的人數(shù)是99．

故答案為：99．

假設(shè)這100人中，有2名是虛偽的，這與其中任何2人中，至少有1名是誠實(shí)的相矛盾，從而得到這100人中，至多有1名是虛偽的，進(jìn)一步即可求解．

本題考查抽屜原理的應(yīng)用，難度較大，關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用，這種方法經(jīng)常在數(shù)學(xué)證明時(shí)使用，同學(xué)們要注意掌握．

17.【答案】解：原式=?1+6×12+1?4

=?1+3+1?4

【解析】先根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可求解．

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及有理數(shù)的乘方運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：(x?3)2?(2x+1)(2x?1)?3x=x2?6x+9?(4x2?1)?3x=?3x2?9x+10【解析】原式前兩項(xiàng)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．

此題考查了整式的混合運(yùn)算?化簡求值，涉及的知識(shí)有：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，去括號(hào)法則，以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：延長DF交AB于點(diǎn)C，如圖所示，

由題意可得，

DE=FG=1.5m，∠ADC=31°，∠AFC=42°，DF=3m，

∵∠ACD=∠ACF=90°，

∴CD=ACtan31°，CF=ACtan42°，

∵DF=CD?CF，

∴3=ACtan31°?ACtan42【解析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得AC的長，然后即可求得AB的長．

本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出AC的長．

20.【答案】12

36

108°

解：(1)調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：44÷22%=200(人)，

a=24÷200=12%，

b=72÷200=36%，

“常常”對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為360°×30%=108°，

故答案為：12，36，108°；

(2)常常的人數(shù)有：200×30%=60(人)，

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

(3)畫圖如下：

共有12種等可能的情況數(shù)，其中所選兩位同學(xué)恰好組合成功的有8種，

則所選兩位同學(xué)恰好組合成功(即“很少”和“總是”的兩人為一組)的概率是812=23．

(1)“有時(shí)”的有44人，占調(diào)查人數(shù)的22%，可求出調(diào)查人數(shù)，進(jìn)而求出a、b的值，“常?！彼鶎?yīng)的圓心角的度數(shù)為360°的30%；

(2)求出“常?！钡娜藬?shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．

21.【答案】(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠BCP=90°，

又BC2=AC?PC，

∴BCPC=ACBC，

∴△ACB∽△BCP，

∴∠ABC=∠P，

∵∠BCP=90°，

∴∠CBP+∠P=90°，

∴∠CBP+∠ABC=∠ABP=90°，

即BP⊥AB，

又∵OB是⊙O的半徑，

∴直線BP是⊙O的切線；

(2)在Rt△ABC中，

sin∠ABC=ACAB=45，

∵AB=5，

∴AC=4，則BC=3【解析】(1)首先根據(jù)題意證明出△ACB∽△BCP，然后得到∠ABC=∠P，進(jìn)而得到BP⊥AB，即可求解；

(2)首先根據(jù)sin∠ABC=ACAB=45和AB=5求出AC=4，BC=3，然后利用BC222.【答案】解：(1)設(shè)足球的單價(jià)為x元，則籃球的單價(jià)為(2x?30)元，

依題意得：3x=2(2x?30)，

解得：x=60，

∴2x?30=2×60?30=90．

答：足球的單價(jià)為60元，籃球的單價(jià)為90元．

(2)設(shè)購買籃球m個(gè)，則購買足球(200?m)個(gè)，

依題意得：90m+60(200?m)≤15500，

解得：m≤3503．

又∵m為正整數(shù)，

∴m的最大值為116．

答：學(xué)校最多可以購買116【解析】(1)設(shè)足球的單價(jià)為x元，則籃球的單價(jià)為(2x?30)元，根據(jù)用相同的費(fèi)用購買的足球數(shù)量與購買的籃球數(shù)量之比為3：2，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出足球的單價(jià)，再將其代入(2x?30)中即可求出籃球的單價(jià)．

(2)設(shè)購買籃球m個(gè)，則購買足球(200?m)個(gè)，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過15500元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整數(shù)值即可得出結(jié)論．

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

23.【答案】(1)證明：過點(diǎn)P作MN//CD交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°，

∵M(jìn)N//CD，∠ADC=90°，

∴四邊形MNCD為矩形，

∴∠NMD=90°，∠MPD=45°，AD=CD=MN，

∴MD=MP，

∴AM=PN，

∵AP⊥PQ，

∴∠APQ=90°，

∴∠APM+∠QPN=90°，

∵∠QPN+∠PQN=90°，

∴∠APM=∠PQN，

在△AMP和△PNQ中，

∠APM=∠PQN∠AMP=∠PNQAM=PN，

∴△AMP≌△PNQ(AAS)，

∴AP=PQ；

(2)解：在等腰直角三角形DMP中，DP=2，

根據(jù)勾股定理得MD=MP=1，

∴AM=5，

∴四邊形ABQP的面積【解析】(1)過點(diǎn)P作MN//CD交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件先證明四邊形MNCD為矩形，進(jìn)而得出∠APM=∠PQN，通過證明△AMP≌△PNQ(AAS)，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DP=2，根據(jù)勾股定理得MD=MP=1，再根據(jù)四邊形ABQP的面積=S矩形ABNM24.【答案】解：(1)令?8a=a2，則a3=?8，

解得：a=?2，

∴該函數(shù)是攀登函數(shù)，且攀登星為(?2,4)；

(2)∵一次函數(shù)y=mx+m是攀登函數(shù)，

∴ma+m=a2，

∴a2?ma?m=0，

∵一次函數(shù)y=mx+m有唯一的攀登星，

∴方程a2?ma?m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=m2?4×1×(?m)=m2+4m=0，

∴m1=0，m2=?4，

∵m≠0，

∴m=?4，

∴a2+4a+4=0，

∴a=?2，a2=4，

∴解析式為y=?4x?4，攀登星為(?2,4)；

(3)∵二次函數(shù)y=mx2+nx+1(m≥2)是攀登函數(shù)，

∴ma2+na+1=a2，即(m?1)a2+na+1=0，

∵該函數(shù)有兩個(gè)攀登星，

∴m≠1，

∴a1+a2=n1?m，a1a2=1m?1，

∵|a1?a2|=p，