復(fù)變函數(shù)講義第2章

2章 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)復(fù)變函數(shù)的概念定義 設(shè)E是復(fù)平面C的非空子集f是某一法則,使得對(duì)每個(gè)z?E,w?C與之對(duì)應(yīng),則稱f上的(單值)復(fù)變函數(shù),簡(jiǎn)稱為復(fù)函數(shù),w=ff是某一法則,z?上的多值復(fù)變函數(shù)

w?C與之對(duì)應(yīng),fEf的定義域,f(Ef(zz?E}f的值域z2-例 函數(shù)w=z+2,w=zn(n=1,2,),w=zw1,

zw

z

wf(zE上的復(fù)函數(shù).zx+iywuw=u(x,y)+iv(x, (x,y)?

w=f(z其中uu(x,yvv(x,y是一對(duì)二元實(shí)函數(shù),f(z的實(shí)部和虛部,分別記Ref(zImf(z).這說(shuō)明一個(gè)復(fù)函數(shù)等價(jià)于一對(duì)二元實(shí)變量的實(shí)函數(shù).復(fù)函數(shù)的形如(1)式的表示形式對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,相應(yīng)地可例 設(shè)w=f(z)=

w=(r,)ei(r,)

w=z2=(x+iy)2=x2-y2+2i因此w=z2等價(jià)于一對(duì)二元實(shí)函數(shù)此外,zrei

u=x2-y2w=z2可以表示為指數(shù)形式

v=w=z2=r2e2iw=f(z的幾何性質(zhì),取兩個(gè)復(fù)平面,zw平面.復(fù)函數(shù)w=f(zzEw平面的映射(或映照).w=f(zz映射為w,Ef(Ef(zz?E}.wz的像,zw的原像.相應(yīng)地,f(E)E的像,Ef(E的原像.3wz2zx2y24xy2w平面上的什么曲線?解2w=z2等價(jià)于一對(duì)二元實(shí)函數(shù)u=x2-y2,v=v=復(fù)函數(shù)的極限與連續(xù)有關(guān)實(shí)函數(shù)的一些概念,只要不牽涉到函數(shù)值大小的比較,都可以移植到復(fù)函數(shù)上來(lái).以下設(shè)E是復(fù)平面C的非空子集.定義 設(shè)f(z)是定義在E上的復(fù)函數(shù),z0是E的聚點(diǎn),是一復(fù)數(shù).若對(duì)任0,存在0,z?E并且0zz0時(shí),f(z)-<則稱當(dāng) z0時(shí) f(z)趨近于極限,記為limf(z)=z定理2.1.1 設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定義在E上的復(fù)函數(shù),z0=x0+iy0是E的聚點(diǎn),=a+ib,則limf(z)=的充要條件是zlimu(x,y)= limv(x,y)=證明記zx

由于zz

(x-x)2+(y-y)2 因此 z等價(jià)(u(x,y)-a)2+(u(x,y)-a)2+(v(x,y)-

f(z)-

u(x,y)+iv(x,y)-(a+ib)

u(x,y)-a

v(x,y)-b)

f(z)-

u(x,y)-

+v(x,y)-b利用上式即知定理的結(jié)論成立.數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實(shí)函數(shù)極限的一些性質(zhì),例如極限的唯一性，極限的四則運(yùn)算的性質(zhì),復(fù)合函數(shù)的極限,局部有界性等,都可以推廣到復(fù)函數(shù)的情形.這些結(jié)論可以仿照數(shù)學(xué)分析中實(shí)函數(shù)的情形直接證明,也可以利用定理2.1.1化為實(shí)函數(shù)的情形證明.例4–例 (1)w=f(zE上的復(fù)函數(shù),z0E的聚點(diǎn).M0,存在0,使得當(dāng)z?E并且0<zz0時(shí),有f(z)>M則稱z0時(shí),f(z趨近于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),limf(z(2wf(z是定義在E上的復(fù)函數(shù),無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)￥E的聚點(diǎn)(即對(duì)r0,￥的r鄰域z:zr中包E中的點(diǎn)),是一復(fù)數(shù).若對(duì)任意0,存在r0,使得當(dāng)z?E并且zr時(shí),有f(z)-<則稱當(dāng) ￥ f(z)趨近于極限,記為limf(z)=￥limf(z=￥的定義z例如,lim1￥lim1z0 z￥復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定義 設(shè)f(z)是定義在E上的復(fù)函數(shù),z0?E并且z0是E的聚點(diǎn).limf(z)=f(z0z則稱f(z)在點(diǎn)z0處(相對(duì)E)連續(xù).若f(z)在E上的每一點(diǎn)處都連續(xù),則稱f(z)在E上連例 定理 設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定義在E上的復(fù)函數(shù),z0=x0+iy0?E并z0E的聚點(diǎn).f(zz0處連續(xù)的充要條件是u(x,y和v(x,y在點(diǎn)(x0y0處連續(xù).證明利用定理2.1.1,有f(z)在點(diǎn)z0處連 limf(z)=f(z0zlimu(x,y)=u(x0,y0 limv(x,y)=v(x0,y0

數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實(shí)變連續(xù)函數(shù)極限的一些性質(zhì),都可以推廣到復(fù)函數(shù)的情形.連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù).這些結(jié)論可以仿照數(shù)學(xué)分析中實(shí)函數(shù)的情形直接證明,也可以利用定理2.1.2的結(jié)論證明.例 p例 證明f(z)=argz(z10)在復(fù)平面去掉原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的區(qū)域上連續(xù)在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上的每一點(diǎn)處都不連續(xù).這里argz是Argz的主值,滿足-argz￡證明(1)由于argzz0處沒(méi)有定義,因此argz在原點(diǎn)處不連續(xù)z0x0在負(fù)實(shí)軸上. argz= argz=-x0,Im zx0,Imlimargz不存在,因此argzz0處不連續(xù)yDyDOx當(dāng)z0?C\(-￥,0]時(shí),存在0<0 2

D={z:arg

-0<argz<arg

+0與負(fù)實(shí)軸不相交(圖2.2).對(duì)任意00,=z0sin0,U(z0,)ì{z:argz0-<argz<argz0+?argz0-<argz<argz0+

argzarg

.這說(shuō)limargzargz

因此argzz0處連續(xù).例 設(shè)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處連續(xù)，并且f(z0)10.則存在>0,使得當(dāng)z?U(z0,)時(shí)12f(z10.(z0f(zE的內(nèi)點(diǎn)12證 由假設(shè)條件,limf(z)=f(z0)1z

f(z0),0不妨設(shè)U(z0ìE),使得當(dāng)z?(z0時(shí)，總f(z)-f(z)< f(z) 12于是f(z)f(z0)f(z)f(z0) f(z0).12?

f(z0)<f(z)2

f(z0)

12f(z0)12f(z)>f(z)-1f(z) f(z)> 方法二f(zu(x,y+iv(x,y),z0x0iy0.由于f(zz0處連續(xù),2.1.2,u(x,y和v(x,y在點(diǎn)(x0y0處連續(xù).由假設(shè)條件u(x,y)+v(xu(x,y)+v(x,y22 不妨設(shè)u(x0y010.由實(shí)值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知道存在(x0y0的某一鄰域U((x0y0),使得當(dāng)(x,y?U((x0y0)時(shí),u(x,y)10.z?U(z0)時(shí),f(z)10■仿照實(shí)函數(shù)的情形,可以定義復(fù)函數(shù)的一致連續(xù)性定義 設(shè)f(z)是定義在E上的復(fù)函數(shù).若對(duì)于任意給定的>使得z￠,z￠￠?E并且z￠z￠￠時(shí),f(z-f(z￠￠)<

存在相應(yīng)的則稱f(zE上是一致連續(xù)的定理2.1.3f(zu(x,y+iv(x,yE上的復(fù)函數(shù).f(zE上一致連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)E上一致連續(xù).證明z=x+yz￠￠=x￠￠+yf(z-f(z￠￠)

(u(x,y-u(xy)+(v(xy-v(xy)x|u(xy-u(xy)|(y-v(xy)￡f(z￠)-f(z￠￠)￡|u(x￠,y-u(xy￠￠)|+|(y-v(x,y￠￠)|利用上式定理的結(jié)論成立. 設(shè)f(z)是有界閉集E上的連續(xù)函數(shù).

f(zE上是一致連續(xù)的f(zE上是有界的.Mf(z)E上取得最大值和最小值

使得f(z)￡M(z? 解析函數(shù)復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1定義 設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的單值復(fù)函數(shù),z0?D.若極limf(z)-f(z0z

z-存在(有限),則稱f(z)在z處可導(dǎo).稱該極限為f(z)在z處的導(dǎo)數(shù),記為f()( 0即f￠(z)=

f(z)-f(z0)

0 z z-0若令zzz0,f=f(z0z)-f(z0),f￠)=limf=limf(z0+z)-f(z0) (2..￠ z0 z 注意(1￠)式等價(jià)于f(z0+z)-f(z0)=f()z+o(z) (2.2.￠f(zz0f(zz0處可微.稱df=f()zf(zz0處的微分注1 (1)復(fù)函數(shù)f(z)在某點(diǎn)z0處可導(dǎo)所要滿足的條件比實(shí)函數(shù)的情形要高得多.因?yàn)槎x2.2.1中的極限是一個(gè)全面極限.(2)利用(..￠式知道,f(zz0f(zz0處連續(xù)例 證明:(1)常值函數(shù)f(z)o在整個(gè)復(fù)平面C上可導(dǎo)，并且()￠=(2)f(z)zn(n1,2在整個(gè)復(fù)平面C上可導(dǎo)，并且(zn)￠nzn-(1)顯然2)z?C.因f(z+z)-f (z+z)n- n(n-1)n-

= z++ f(z=limf(z+z)-f(z)=nzn-z 這說(shuō)f(z)znz處可導(dǎo)，并且(zn)￠nzn-補(bǔ)充例 討論函數(shù)f(z)=z的可導(dǎo)性解z0?C.記DzDx+iDy.此

z?C是任意取的,故結(jié)論成立.f(z0+z)-f(z0)=z0+z-z0= limf(z0+z)-f(z0)=limz=limx=Dz

Dz

Dx0zz0時(shí),DziDy.limf(z0+z)-f(z0)=limz=lim-iy=-Dz

Dz

Dy0limf(z0zf(z0f(zzz處不可導(dǎo).z?C 的,f(zz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)2數(shù)學(xué)分析中的關(guān)于實(shí)函數(shù)的求導(dǎo)的運(yùn)算法則,對(duì)于復(fù)函數(shù)也成立.以下命題的證明與數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實(shí)函數(shù)相應(yīng)結(jié)果的證明完全一樣,故略去其證明.命題 設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在點(diǎn)z處可導(dǎo).則f g(z)z處可導(dǎo),(f g(=f( g(zf(z)g(zz處可導(dǎo),(f(z)g(z)=f￠(z)g(z)+f(z)g(特別地,若是常數(shù),則(f(z)f(fg(z10,g(z)z處可導(dǎo),并?f(z) f￠(z)g(z)-f(z)g() ÷= ?èg(z) g2w=f(z)z0處可導(dǎo)hf(zz0處可導(dǎo),

w0=f(z0 h(w)w0處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)dz

=dw

d

.11的結(jié)論知道,P(zaaz+azn C上處處可導(dǎo),

(=a+2az++nazn- 補(bǔ)充例 設(shè)f(z)=(3z2-z+2)10.利用例1的結(jié)論和命題2,我們f(=10(3z2-z+2)9(3z2-z+)=10(3z2-z+2)9(6z-解析函數(shù)的概念定義 (1)設(shè)函數(shù)f(z)在一個(gè)區(qū)域D內(nèi)有定義.若f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo),則稱fD內(nèi)解析.f(zD內(nèi)的解析函數(shù)f(zz0的某鄰域內(nèi)解析,f(zz0處解析D是一閉區(qū)域.如果存在區(qū)域G,D上解析.

DìG,f(z在G內(nèi)解析,f注 (1)解析函數(shù)有時(shí)稱為全純函數(shù)或正則函數(shù)f(zz0f(zz0處可導(dǎo)的區(qū)別f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析等價(jià)于f(z)在D內(nèi)的每一點(diǎn)處都解析. f(z)在閉區(qū)域D上解析等價(jià)于f(z)在D上的每一點(diǎn)處都解析.2.2.1(解析函數(shù)的四則運(yùn)算)f(zg(zD內(nèi)解析.f g(z),f(z)g(zD內(nèi)解析f若g(z)10(z?D),則 2.2.2(解析函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算)設(shè)函數(shù)f(zzD內(nèi)解析，wF(在平面上的區(qū)域Gf(DGwFf(zD內(nèi)解析.2(1)常值函數(shù)f(z)o在整個(gè)復(fù)平面C上解析.f(zzn(n1,2,在整個(gè)復(fù)平面C上解析P(zaaz+azn在整個(gè)復(fù)平面C上解析, (=a+2az++nazn- R(z=P(z)在復(fù)平面C上除去Q(z0的點(diǎn)外處處解析證明1的結(jié)果直接得到結(jié)論(1)和(2).1得到結(jié)論(3)和(4).■2.2.3若f(zz=z0處不解析,z0為f(z的奇點(diǎn).1例 討論函數(shù)f(z)=zn(n=1,2,)的解析性 這是一個(gè)有理函數(shù).根據(jù)命題2, f(z)在復(fù)平面除去使得分母zn=0的點(diǎn)即原點(diǎn)外,處處解析.f(z)在原點(diǎn)z=0處沒(méi)有定義,當(dāng)然不解析.因此z=0是f(z)的唯一的奇點(diǎn).補(bǔ)充例 根據(jù)補(bǔ)充例1,函數(shù)f(z)=z在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).因此f(z)復(fù)平面上處復(fù)函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件定理2.2.3(可導(dǎo)的充要條件)設(shè)函數(shù)f(zu(x,y+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義z0=x0+iy0?D.f(z在點(diǎn)z0處可導(dǎo)的充要條件u(xy和v(xy在(x0y0處可微u(xy和v(xy在(x0y0?u=?v ?u=-?v (2.2.2)式稱為科西-(Cauchy-Riemann)條件 簡(jiǎn)稱為C-R條件證明必要性.設(shè)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo),f()==a 根據(jù)(..￠式,f=z+o(z即

u+iv=(a+ib)(x+iy)+o(z) u=ax-by+o(zv=bx+ay+o(z以上兩式表明u和v在(x0y0處可微.

a=ux(x0,y0)=vy(x0,y0

b=vx(x0,y0)=-uy(x0,y0充分性.設(shè)u和v在(x0y0處可微.C-R條件成立.u=ux(x0,y0)x+uy(x0,y0)y+o(zv=vx(x0,y0)x+vy(x0,y0)y+o(zf=u=ux(x0,y0)x+uy(x0,y0)y+i(vx(x0,y0)x+vy(x0,y0)y=(ux(x0,y0)+ivx(x0,y0))(x+iy)+o(z因此f￠(z0存在,

f=u(x,y)+iv(x,y)+o(z) f()=limf=u(x,y)+iv(x,y0f(zz0處可導(dǎo).

z0 注 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)由定理2.2.3的證明和C-R方程,f(=?u+i?v=?v-i?u 點(diǎn)處可微.由此得到如下的推論.推論2.2.1(可導(dǎo)的充分條件)設(shè)函數(shù)f(zu(x,y+iv(xy)在區(qū)域D內(nèi)有定義z0=x0+iy0?D.f(z在點(diǎn)z0處可導(dǎo)的充分條件u(xy和v(xy在(x0y0處具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)u(xy和v(xy在(x0y0C-R條件.根據(jù)定理2.2.3和解析函數(shù)的定義,立即得到2.2.4(解析的充要條件)f(zu(xy+iv(xyD內(nèi)有定義.fD內(nèi)解析的充要條件u(xy和v(xyD內(nèi)可微u(xy和v(xyDC-R條件.利用推論2.2.1得到2.2.2(解析的充分條件)f(zu(xy+iv(xyD內(nèi)有定義.fD內(nèi)解析的充分條件u(xy和v(x,yD內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)u(xy和v(xyDC-R條件在第三章將會(huì)證明,2.2.2中的條件(1)和(2f(zD內(nèi)解析的必要條件.3證明函數(shù)f(z)ex(cosy+isiny在復(fù)平面上解析，且f()=f(z).證明f(zu(xyiv(x,y),則u(xyexcosy,v(xyexsiny.?u=excos

?u=-exsin

?v=exsin

?v=excos它們都在復(fù)平面上連續(xù)并且滿足C-R條件.根據(jù)推論 f(z)在復(fù)平面上解析.并且f(z=?u+i?v=ex(cosy+isiny)=f 例4 討論函數(shù)f(z)=x2+ay2+i?2xy的可導(dǎo)性和解析性解這里u(x,y)=x2+ay2,v(x,y)=2xy.因此ux= uy= vx=2 vy=它們都在全復(fù)平面上連續(xù)并且滿足uxvy為使uyvx,必須2ay2y,即(a+1y0.下面分兩種情況討論當(dāng)a=-1時(shí),uy=-vx.此時(shí)u(x,y)和v(x,y)在復(fù)平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 且處處滿足C-R條件.根據(jù)推論2.2.2, f(z)在復(fù)平面上解析.a1-1時(shí),u(xyv(xyy0C-R條件.根據(jù)推論f(zy0上可微.f(z在復(fù)平面上處處不解析.56p27. 初等解析函數(shù) 我們已經(jīng)熟悉指數(shù)函數(shù)ex(x?R).現(xiàn)在我們要對(duì)復(fù)變量z定義指數(shù)函ez2.3.1設(shè)e是自然對(duì)數(shù)的底.zx+iy?C,ez=ex(cosy+isin稱函數(shù)ez為指數(shù)函數(shù),

eiy=cosy+isin指數(shù)函數(shù) 具有如下的基本性質(zhì)ez是單值函數(shù),zxezex.ex在復(fù)平面上的推廣.

這說(shuō)明復(fù)指數(shù)函數(shù)ezez在整個(gè)復(fù)平面上解析，并且(ez)￠=ez.這由§2.23知道 z對(duì)任意的z1z2?C,有e1?e2e12事實(shí)z1x1

z2x2iy2,z1z2(x1x2+iy1y2).利用§1.1ez1?ez2=ex1(cosy+isiny)?ex2(cosy+isiny=ex1

[cos(y+y)+isin(y+y =ez1+z2ez是以2i為周期的周期函數(shù),即ez+2iez(z?事實(shí)上,zxiy,z2ix+iy2).ez+2i=ex[cos(y+2)+isin(y+2)]=ex(cosy+isiny)=ez由于ez是以2i為周期的周期函數(shù),因此ez1= z2=z1+2ki(k?(5）對(duì)zx+iy?C,ezexArgezy2k(k?Z).特別地,ez1補(bǔ)充例 證明對(duì)任意z1,z2?

=ez1-z21證明由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(3),有ez?e-zez+(-z)e0 - z-

=e-z.于是對(duì)任

=e1?e

=e12補(bǔ)充例 事實(shí)上 令z=0,z=2i,則ez2-ez1=e2i-e0=0.由于對(duì)任意z? (ez)￠=ez1

因此不存在ez2-ez1=e(z2-z1)=e?2i.根據(jù)Euler,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,eix=cosx+isin e-ix=cosx-isin

cosx

eix+e-ix,

sinx

eix-e-ix

因此,z?C,定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下eiz+e-i eiz-e-icosz

sinz 2,這說(shuō)明復(fù)三角函數(shù)cosz和sinz是實(shí)三角函數(shù)cosx和sinx在復(fù)平面上的推廣(2）sinz和cosz(sinz)￠=cos事實(shí)上，利用復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)法則,

(cosz)￠=-sin?eiz-e-iz ieiz+ie-i eiz+e-i(sinz)= ÷ =cos

2i ?eiz+e-iz ieiz-ie-i eiz-e-i(cosz)￠=? ÷ =-sin

2ei(-z)-e-i(-z eiz-e-isin(-z) = =-sin 類似地可知cosz是偶函數(shù)sinz和cosz都是以2為周期的周期函數(shù).事實(shí)上，由于ez2i為周期，所以ei(z+2)-e-i(z+2 eiz-e-isin(z+2) =sin 類似地可知cosz2為周期復(fù)三角函數(shù)滿足通常的三角恒等式.sin2z+cos2z=1,sin2z=2sinzcosz. z2)=sinz1cosz2 cosz1sinz2. z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2.

eiz1+e-iz1eiz2-e-i i(z+z i(z-z i(z-z -i(z+zcosz1sinz2= =êe12-e12+e21- 12ùú 2 4i i

-i

i -i i(z+z i(z-z i(z-z -i(z+zsinz1cosz2= -

+

éêe12+e12-e21- 12ùú

4i i(i(z+z -i(z+zsinz1cosz2+cosz1sinz2= éêe12- 12ùú=sin(z1+z22i sinzzk(k?

cosz的零點(diǎn)為zk(k?2eiz-e-i事實(shí)上,由sinz =0得到ei

-e-i

0,即e2i

.類似地知道cosz的零點(diǎn)為z +k(k?2sinz和cosz在復(fù)平面上，從而sinz1，cosz1一般不成立事實(shí)上，取z=iy(y>0),則當(dāng) +￥時(shí)ey+e- ecos(iy) ey-e-siniy 2sinz和cosz在復(fù)平面上tanz=sinz,cotz=cosz,secz= ,cscz= 1.cosz sinz cosz sinz這四個(gè)函數(shù)在復(fù)平面上除去分母為零的點(diǎn)外,處處解析3求sin(1i)的值．解由正弦函數(shù)的定義,ei(1+i)-e- e-1+i-e1-sin(1+i) e-1(cos1+isin1)-e(cos1-=

e-e-初等多值函數(shù)

sin1+i 我們知道輻角函數(shù)Argz是一個(gè)多值函數(shù),其定義域是C-0性通常是由于輻角函數(shù)的多值性引起的,因此我們先研究輻角函數(shù)

為了研究方便,我們要在某些區(qū)域內(nèi)把輻角函數(shù)Argz分解成一些單值連續(xù)函數(shù).每一個(gè)這樣的單值連續(xù)函數(shù)稱為Argz在該區(qū)域內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分支.例如,D是復(fù)平面去掉負(fù)實(shí)軸(z0)后得到的區(qū)域,D={z?C:-<argz<若用argz表示Argz滿足-argz￡的一個(gè)值,則ArgzArgz=argz+2k k?根據(jù)§2.18,argz在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).因此,對(duì)每k?Z,若fk(z)=argz+2k z?fk(zD內(nèi)連續(xù)fk(z都是ArgzD內(nèi)的單值連續(xù)分支.這樣,在區(qū)域D內(nèi),把多值函數(shù)Argz分解為無(wú)窮個(gè)單值連續(xù)分支.為了在更一般的區(qū)域內(nèi)把輻角函數(shù)分解成一些單值連續(xù)函數(shù),我們需要輻角的變化規(guī)律,以及如何確定輻角函數(shù)的單值連續(xù)分支.以下我們有時(shí)用argzArgz的一個(gè)給定的值,argz不一定是Argz的主值argz是表示Argz的一個(gè)給定的值還是Argz的主值,應(yīng)該根據(jù)具體情況確定L是一條不過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線z0L的起點(diǎn),z1L的終點(diǎn).z0Argz的一個(gè)值記為argz0(Argzz0的初值z(mì)z0Lz1時(shí),Argz的值從argz0連續(xù)變化到一個(gè)確定的值,記為argz1(稱為Argzz1的終值).令LArgz=argz1-arg稱LArgz為ArgzL上的改變量2-yyz1LLArgOx2-顯然LArgzzz0Lz1時(shí),Oz所旋轉(zhuǎn)的角度.由此可見(jiàn)LArgz與初值的選取無(wú)關(guān)可以證明輻角的改變量LArgz具有如下性質(zhì),? Argz=?2 ?-yyLOx

當(dāng)L不圍繞原點(diǎn)yLOx當(dāng)L逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)0一周,當(dāng)L順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)0yLOxyyLOx補(bǔ)充圖因此,一般情況下,即使曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)相同,若曲線的路徑不同,其輻角改變量也可能不同.2的一個(gè)整數(shù)倍.那么,在什么情況下,輻角改變量?jī)H與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),而與曲線的路徑無(wú)關(guān)呢?類似于數(shù)學(xué)分析中關(guān)于曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件的證明,容易證明:設(shè)D是一區(qū)域.則以下兩項(xiàng)是等價(jià)的:DL,LArgz僅與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),而與曲線的路徑無(wú)關(guān).(此時(shí)稱輻角改變量在D內(nèi)與曲線路徑無(wú)關(guān)).DL,都有LArgzD是一個(gè)區(qū)域D內(nèi)的任一簡(jiǎn)單封閉曲線都不圍繞0.D內(nèi)的任一簡(jiǎn)單L,都有LArgz0.DL,LArgz僅與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),而與曲線的路徑無(wú)關(guān).z0?D和Argzz0的初值argz0.令f(z)=argz0+LArgz(z? LDz0為起點(diǎn)z1為終點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.由于LArgz與曲線的路徑無(wú)關(guān),因此f(z)的值是確定的.f(z)是一單值連續(xù)函數(shù),稱之為ArgzD內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分枝.D為Argz的一個(gè)可單值分枝區(qū)域.,).yyLArgLO.xyLArgLO.zx 簡(jiǎn)單封閉曲線都不圍繞0,DArgz的一個(gè)可單值分枝區(qū)域.z0是正實(shí)軸上的任意一點(diǎn)argz00.ArgzDf(z).由于對(duì)任意z?D,LArgzargzargz0argz.因此f(z)=argz0+LArgz=0+argz=arg其中-argz.f(z就是Argz的主值argz.一般地,若取定初值argz02k(k?Z),則相應(yīng)地得到ArgzD內(nèi)的單值連續(xù)分枝:fk(z)=argz+2k -<argz< D可以看成是將復(fù)平面C沿負(fù)實(shí)軸(包括原點(diǎn)0)“剪”開(kāi)得到的區(qū)域負(fù)實(shí)軸稱為割線.將這條割線看成有上沿和下沿,D的邊界.ArgzD內(nèi)的每個(gè)單值連續(xù)分枝都可以延拓到負(fù)實(shí)軸的上沿和下沿上去,D內(nèi)及其邊界上的連續(xù)函數(shù).ArgzD內(nèi)的每個(gè)單值連續(xù)分枝,也可以由負(fù)實(shí)軸的上沿和下沿上的某一點(diǎn)的取值確定.),域.z0是正實(shí)軸的上沿的任意一點(diǎn),argz02kArgz的單值連續(xù)分枝

fk(z)=argz+2k 0<argz<2 一般地說(shuō),D是沿任意連接原點(diǎn)0和￥的簡(jiǎn)單曲線(即從原點(diǎn)出發(fā),通向無(wú)窮遠(yuǎn)的曲線)割開(kāi)復(fù)平面C后得到的區(qū)域.則在D內(nèi)可以Argz分解為無(wú)窮多個(gè)單值連續(xù)分枝.回到出發(fā)點(diǎn)時(shí),Argz的值從續(xù)分枝的值連續(xù)變化到另一連續(xù)分枝的值,因此稱原點(diǎn)0為Argz的枝點(diǎn).由于繞原點(diǎn)一周的簡(jiǎn)單封閉曲線L也可以看成是繞￥點(diǎn)的簡(jiǎn)單封閉曲線,因此也稱￥點(diǎn)是Argz的枝點(diǎn).Arg(zaa?原點(diǎn)0

用類似的方法,可以討論Arg(za)的情形.例如,L是不過(guò)點(diǎn)a的一條簡(jiǎn)單封閉曲線,? Arg(z-a)=?2 ?-

當(dāng)L不圍繞點(diǎn)當(dāng)L逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)a一周,當(dāng)L順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)a一周1D是將復(fù)平面C沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)得到的區(qū)域.ArgzD內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分枝fk(z),分別使得fk(1)=fk(z)在負(fù)實(shí)軸的上沿取值3,并且fk(i)的值解(1)根據(jù)(2.3.3)式 fk(z)在D內(nèi)的的表達(dá)式為fk(z)=argz+2k 其中-argz.k的值.0=fk(1)arg12k02k,k0.于是所求的單值連續(xù)分枝為f0(z)argz,其中-argz. f(z可以連續(xù)的延拓到負(fù)實(shí)軸的上沿和下沿.在負(fù)實(shí)軸的上沿取一點(diǎn)z1,arg-1).3=fk(-1)=arg(-1)+2k=+2k所以k1.于是所求的單值連續(xù)分枝為f1(z)=argz2,其中-argz由于arg

因此f1(iargi2

2D是將復(fù)平面C沿正虛軸剪開(kāi)得到的區(qū)域.試確定ArgzD內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分fk(z),fk(12,fk(-1)的值.ArgzDfk(z)=argz+2k k? 其中 <argz<

由于arg1=0, 2=fk(1)=arg1+2k=0+2k,

k1.是所求的分枝f1(zargz2,其中-2argz<2由于arg-1,f1(-1)arg-122Riemann曲面*(補(bǔ)充)下面我們構(gòu)造一個(gè)特殊的曲面,使得輻角函數(shù)Argz在這個(gè)曲面上成為一個(gè)單值函數(shù)D是把復(fù)平面C沿正實(shí)軸剖開(kāi)得到的區(qū)域.將割線(即正實(shí)軸)的上、下沿分別記為ll下.DDèl上èl下.D0D的一個(gè)品,f0zArgzD0上的一個(gè)單值連續(xù)分枝,使得0￡f0(z)￡2.f0(z)在割線的上沿和下沿分別取值02D1D的一個(gè)品,f1z)ArgzD1上的一個(gè)單值連續(xù)分枝,使得2￡f1z￡4.f1z)在割線的上沿和下沿分別2和4由于在D0的割線的下沿f0(z)的取值和D1的割線的上沿f1(z)的取值都是2, 與D0疊合在一起,將D1放在D0的上層.將D0的割線的下沿與D1的割線的上沿粘在一起,得到一個(gè)復(fù)疊區(qū)域,記為S(補(bǔ)充圖3-a).這樣在D0上的單值分枝f0(z)和D1上的單值分枝f1(z)這個(gè)過(guò)程可以繼續(xù)進(jìn)行下去.一般地,設(shè)Dk(k= ArgzDk上的單值分枝,2k￡fk(z)￡2k+2 k?

fk(z)DkDk+1的割線的上沿粘在一起,得到一個(gè)由無(wú)限多層復(fù)疊在一起的D.ArgzD上的單值連續(xù)函數(shù)了.用上面的方法構(gòu)造出來(lái)的區(qū)域D稱為(Riemann)曲面(補(bǔ)充圖3-SOSOSO 定義 設(shè)復(fù)數(shù)z10.若復(fù)數(shù)w滿足ew=z,則稱w為z的對(duì)數(shù)，記為L(zhǎng)nz.稱函wLnz(z?C-{0為對(duì)數(shù)函數(shù)0wLnzzew的反函數(shù).由于指數(shù)函數(shù)ew2i為周期的周期函數(shù)z10,wew0z,則對(duì)k?Z,也有ew0+2kiz.因此對(duì)數(shù)函數(shù)wLnz是一個(gè)多值函數(shù).w0Lnz的一個(gè)值,則Lnzw02kik?Z).0設(shè)w=Ln 記z=rei,w=u 由于z=ew 因此rei=eu+iv=eu?eiv.這說(shuō)明eur,v2k.即uln+rln+z,vArgz.wLnzw=Lnz=ln+z+iArg =ln+z+iargz+2k k?其中-argz￡,lnx(x0x的通常的實(shí)對(duì)數(shù)由(2.3.5)式看出,LnzArgz的多值性引起的.D是Argz的一個(gè)可單值分枝區(qū)域,D也是Lnz的可單值分枝區(qū)域.fk(z是ArgzD內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分枝wkln+z+ifk(z就是LnzD內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分枝例如,D是以負(fù)實(shí)軸為割線割開(kāi)復(fù)平面得到的區(qū)域.ArgzDfk(zargz2k(k?枝為

其中-argz,LnzDwk=ln+z+iargz+2k k?其中-argz.特別地,對(duì)應(yīng)于Argz的主值,w=ln+z+iarg為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的主值,lnz.于是LnzDw=lnz+2k k?注1 (1)若z=x>0,則lnz=ln+z+iargz=ln+x+i?0=ln+x.因此數(shù)學(xué)分析中的對(duì)數(shù)函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz當(dāng)z為正實(shí)數(shù)時(shí)的主值.(2)有時(shí)我們用lnz表示Lnz的某一個(gè)確定的值.此時(shí)lnz不一定是Lnz的主值.對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz具有如下的性質(zhì):對(duì)數(shù)函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)Ln(zz)=Lnz+Lnz Lnz1=Lnz-Lnz 1 我們證明上式的第一個(gè)等式.Ln(zz)=ln+zz+iArg(zz1 1 1=ln+z+ln+z+iArgz+iArg =Lnz1+Ln注意 式例 Lnz2=Lnz+Lnz=2Ln解最后一步是錯(cuò)誤的,應(yīng)該為L(zhǎng)nzLnzé2Lnz.因此正確的等式為L(zhǎng)nz2é2LnD是沿任意連接0與￥的簡(jiǎn)單曲線剪開(kāi)復(fù)平面得到的區(qū)域.wLnzDf(zD內(nèi)都是解析的,f(=1z事實(shí)上,設(shè)z?D,w=f(z).當(dāng)z屬于z的充分小的鄰域時(shí),由于z=ew0 z=ew

f(z)-f(z0z-0

=w-=ew-

ew-w-由于w=f(z)的連續(xù)性,當(dāng) z0時(shí), w0,因f￠(z)=limf(z)-f(z0)=lim =1=1. z

w

z-

0e-e w-即f(z)z0處可微z0的任意性f(z)在區(qū)D內(nèi)可微，所以f(z)在區(qū)D內(nèi)解析由于對(duì)數(shù)函數(shù)的每個(gè)單值連續(xù)分枝都是解析的,因此對(duì)數(shù)函數(shù)的單值連續(xù)分枝也稱為單值例 計(jì)算Ln1和Ln(-解因?yàn)閍rg10,arg-1),Ln1=ln+1+iarg1+2ki=2k k?Ln(-1)=ln+-1+iarg(-1)+2ki=i+2ki=(2k+1)例 計(jì)算Ln(2-3i)和主值ln(2-13,arg2-3i

k?解2-3i

2ln(2-3i)=ln+2-3i+iarg(2-3i)=1ln+13-iarctan3 Ln(2-3i)=ln(2-3i)+2ki=1ln+13-iarctan3+2k

k?x0,是實(shí)數(shù),xelnxeln

這說(shuō)明實(shí)的冪函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)表示.定義 設(shè)是一復(fù)常數(shù).對(duì)任意復(fù)數(shù)z1為冪函數(shù)補(bǔ)充規(guī)定當(dāng)為正實(shí)數(shù)時(shí),0

zeLnz.稱函數(shù)wz(z1由于對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz是多值函數(shù),因此一般情況下,冪函數(shù)是多值函數(shù).由于Lnzln+z+iargz2kik?Z),wz的全部值為w=z=eLnz=e(ln+z+iargz+2ki) k? 其中-argz￡由(2.3.7)zeln+z+iargz?e2ki(k?常數(shù)因子e2ki(k?Z的個(gè)數(shù).下面根據(jù)的值討論

wz當(dāng)an是非零整數(shù)時(shí),e2kie01(k?Z),因w=zn=en(ln+z+iargz)=enln+z?einargz=zn?einargz=zn. i當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，設(shè)=n,mn互質(zhì),nm

則e2ki= 只有1k0,1,n-1n個(gè)不同的值,wzn是一個(gè)n值函數(shù).特別地,當(dāng)nln+ln+z+iargz+2kw=zn=

iarg k=0,1,,n- 當(dāng)為無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，由于e2kiwz是一個(gè)無(wú)窮多值的根據(jù)上面的討論,wz在一般情形下是多值函數(shù).z的多值性是由對(duì)),一個(gè)可單值分枝區(qū)域,則D也是z的可單值分枝區(qū)域.并且對(duì)于Lnz在D內(nèi)的每個(gè)單值連續(xù)分枝f(z), w=z相應(yīng)地有一個(gè)單值連續(xù)分枝w=ef(z).例如,D是以負(fù)實(shí)軸為割線割開(kāi)復(fù)平面得到的區(qū)域.則LnzDfk(zln+z+iargz2kik?Z),wzD內(nèi)的全部單值連續(xù)分枝為kw=(z)=e(ln+z+iargz+2ki) k?k其中-argz例6 計(jì)算21+i的值.解利用(2.3.7)式得到,21+i=e(1+i)Ln2=e(1+i)(ln+2+iarg2+2k=e(1+i)(ln+2+2ki)=eln+2-2k+i(ln+2+2k=eln+2e-2keiln+2+2ki=2e-2keiln+=2e-2k[cos(ln+2)+isin(ln+2) k?D是沿任意連接0與￥的簡(jiǎn)單曲線割開(kāi)復(fù)平面得到的區(qū)域.wzD內(nèi)的每一個(gè)單值連續(xù)分枝f(z)D內(nèi)都是解析的,并且f(=z-事實(shí)上,設(shè)lnzLnzD內(nèi)的相應(yīng)的單值解析分枝,wzelnz.利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,得到w￠=(elnz￠=elnz?(lnz=1elnz=1z=z- 由于冪函數(shù)的每個(gè)單值連續(xù)分枝都是解析的,因此冪函數(shù)的單值連續(xù)分枝也稱為單值解析1例 設(shè)D是以負(fù)實(shí)軸為割線割開(kāi)復(fù)平面得到的區(qū)域.求w=z3在D內(nèi)的滿足w(i)=-解根據(jù)(2.3.8)式

iargw k=0,1,w(i)i,

i

i i+4-i=31 = = 6i+4 i

3ziarg3z 當(dāng)k=2時(shí), = =-i.所以k=2.因此所求的分枝為w

.3-iarg(-3-

i-2

i iw(-i) =31 =e6=-e64*zsinw的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)wArcsinz.eiw-e-iz=sinw= 1-得到e2iw2izeiw-10.配方得到(eiwiz)2=1z2.于是eiwiz+11-w=1Ln(izi

)=-iLn(iz Arcsinz=-iLn(iz 由于根式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都是多值的,因此Arcsinz也是多值的. 1和￥是Arcsinz的枝點(diǎn).類似地,稱z=cosw的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù),記為w=Arccosz.Arccosz=-iLn(z Arccosz的枝點(diǎn)也是1和ztanw的反函數(shù)稱為反正切函數(shù),wArctanz.Arctanz=1Logi-z i+顯然它的枝點(diǎn)是i(￥不是枝點(diǎn)zcotw的反函數(shù)稱為反余切函數(shù),wArccotArccotz=1Logz+i z-補(bǔ)充內(nèi)容 更復(fù)雜的初等多值函數(shù)的分枝ArgzLnzz這樣的多值函數(shù)是最簡(jiǎn)單的多值函數(shù),它們只有0￥兩個(gè)枝點(diǎn).在沿任意連接原點(diǎn)0和￥的簡(jiǎn)單曲線割開(kāi)復(fù)平面得到的區(qū)域內(nèi),z-z(z-a)(z-解為一些單值連續(xù)分枝.但像z(z-a)(z-z-

等這樣的初等多值函數(shù),枝點(diǎn)的情況更復(fù)雜,確定它們的可單值分枝區(qū)域和單值連續(xù)分枝需要更細(xì)致的討論.般的初等多值函數(shù)的單值連續(xù)分枝問(wèn)題,其中一些思想在上面討論輻角函數(shù)Argz時(shí)已經(jīng)涉及.定義2.3.4 設(shè)F(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的初等多值函數(shù),L是D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單曲線,z0是L的起點(diǎn),z1L的終點(diǎn).F(zz0的一個(gè)值,f(z0(F(zz0的初值.z0出發(fā)沿曲線L連續(xù)移動(dòng)到z1時(shí)f(z1(F(zz1的終值).

F(z)的值從f(z0連續(xù)變化到一個(gè)確定的值,LF(z)=f(z1)-f(z0稱LF(zF(zf(z0L上的改變量與Argz不同的是,對(duì)于一般的初等多值函數(shù)而言,改變量除與曲線有關(guān),關(guān)LL的反向曲線,則L-F(z)LF LL1L2L1L2的起點(diǎn),則LF(zLF(zLF 設(shè)是常數(shù),L(F(z)+G(z))=LF(z)+定義 設(shè)F(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的初等多值函數(shù),滿足對(duì)于D內(nèi)的任一簡(jiǎn)單曲線LF(z)僅與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),與曲線的路徑無(wú)關(guān).z0?DF(z)z0f(z0).f(z)=f(z0)+LF z?(f(z的值是確定的),f(zF(zD內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分枝.DF(z的定理F(zD內(nèi)的初等多值函數(shù).F(zD:證明略

都有LF(z定義 (1)設(shè)初等多值函數(shù)F(z)在點(diǎn)a的某一空心鄰域U(a,r)-{a}內(nèi)有定義.對(duì)任意0r,aF(z)的枝點(diǎn)

在U(a,)-{aaL,使得LF(z10,則(2)F(z)在￥點(diǎn)的某一鄰域z:zr內(nèi)有定義.若對(duì)于任意R在z:zR存在圍繞￥L,使得LF(z10,則稱￥F(z)的枝點(diǎn)對(duì)于一個(gè)給定的初等多值函數(shù)F ,z-補(bǔ)充例 區(qū)域包含2i兩點(diǎn).f(zF(zf(2)ln3的分枝,f(z在zi的值解(1).F(z的枝點(diǎn).由于Lnz的枝點(diǎn)是0和￥,因此-11和￥F(z點(diǎn).L1但不圍繞-1簡(jiǎn)單封閉曲線.F(z)=Lnz-1=z

+iArgz-1z-zz-z注意到

z-10,因zF(z)=

z-1+i

z-L zL

z=i[LArg(z-1)-LArg(z=i(2-0)=2i1z1F(z的枝點(diǎn).z1F(z的枝點(diǎn)再看￥的情況.r0充分大使得￥的鄰域Uz內(nèi)的圍繞￥的簡(jiǎn)單封閉曲線,

zr不包含-1和1.L是LF(z)=iLArg(z-1)-iLArg(z+1)=2i-2i=這說(shuō)明￥F(z)的枝點(diǎn)包含2i兩點(diǎn)

DF(z的可單值分枝區(qū)域,z-f(zF(zf(2)ln3的分枝.z2

=.z-ln+3=f(2)=éln+z-1+iargz-1

=-ln+3+i z z+1?這說(shuō)明0.對(duì)任z?D,LDz02為起點(diǎn),z為終點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.f(z)=f(2)+LF=f(2)+éln+