蘇教版-必修三-第三章 概率-3.3 幾何概型【全國一等獎(jiǎng)】

幾何概型常見錯(cuò)解剖析幾何概型的計(jì)算公式為：P（A）=，一般地，就我們平常中所接觸的幾何度量而言，由于幾何度量的計(jì)算出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)解，往往造成幾何概型計(jì)算的錯(cuò)誤．1．幾何度量的計(jì)算出錯(cuò)例1．在0～1之間隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)把0～1之間的線段分成了三條，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．錯(cuò)解：設(shè)三條線段的長度分別為x、y、1－x－y，因?yàn)?，所?lt;x+y<1，所以P（A）====．錯(cuò)解剖析：本題錯(cuò)誤地把長度為幾何度量當(dāng)成本題的幾何度量加以計(jì)算幾何概型的概率．錯(cuò)誤地以為長度即為相關(guān)的幾何度量，其實(shí)要對(duì)三條線段的長度加以分析，對(duì)應(yīng)圍成的幾何圖形的面積才是滿足條件的幾何度量．正確解答：設(shè)三條線段的長度分別為x、y、1－x－y，因?yàn)椋瑒t，在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，直線x=0、x=1、y=－x+1圍成如圖所示的三角形區(qū)域G，每一對(duì)（x，y）對(duì)應(yīng)著G內(nèi)的點(diǎn)（x，y），由題意可知，每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，因此，試驗(yàn)屬于幾何概型，三條線段能構(gòu)成三角形當(dāng)且僅當(dāng)，即，因此圖中的陰影區(qū)域g就表示“三條線段能構(gòu)成三角形”，容易求得g的面積為，G的面積為，則P（A）====．變式練習(xí)1：在[－1，1]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，求二次方程x2+2ax+b2=0有兩個(gè)非負(fù)實(shí)根的概率．答案：在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（a，b）所在的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的正方形及其內(nèi)部，若使方程x2+2ax+b2=0有兩個(gè)非負(fù)實(shí)根須滿足，設(shè)x2+2ax+b2=0有實(shí)根為事件A，則A=，所在的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分（包括邊界），陰影部分的面積為1，所以事件A發(fā)生的概率為P（A）==．2．幾何度量的選擇出錯(cuò)例2．在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C，在∠ACB的內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AMAC的概率．錯(cuò)解：在AB上取AC1=AC，那么在∠ACB內(nèi)作射線CM可以看作在線段AC1上任取一點(diǎn)M，過C、M作射線CM，那么AM<AC的概率P（A）====．錯(cuò)解剖析：上述作法好象很有道理，但其解法不滿足幾何概型的要求，雖然在線段上任取一點(diǎn)是等可能的，但過點(diǎn)C和任取的點(diǎn)所作的射線是均勻的，因而不能把等可能取點(diǎn)看作等可能作射線．在確立基本事件時(shí)，一定要選擇好觀察角度，注意判斷基本事件的等可能性．正確解答：在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻頒布的，所以射線CM作在任何位置都是等可能的，在AB上取AC1=AC，則∠ACC1=，故AM<AC的概率P（A）====．變式練習(xí)2：國家安全機(jī)關(guān)鑒聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30分鐘長的磁帶上，從開始30秒處起，有10秒長的一段內(nèi)容包含了兩間諜犯罪的信息，后來發(fā)現(xiàn)，這段記錄談話內(nèi)容的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯(cuò)了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于工作人員按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？答案：設(shè)A={按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉}，A發(fā)生就是在0～分鐘時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵，根據(jù)幾何概型公式，得到P（A）====．3．幾何度量的應(yīng)用出錯(cuò)例3．一條直線型街道的A、B兩盞路燈之間的距離為120米，由于光線較暗，想在中間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率是多少？錯(cuò)解：設(shè)A與C、B與D之間的距離分別為x米、y米，則所有可能結(jié)果為：Ω={（x，y）|0<x+y<120，x>0，y>0}，記A與C、B與D之間的距離都不小于40米為事件A，則事件A的可能結(jié)果為A={（x，y）|x≥40，y≥40，0<x+y<120}，如圖所示，全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω為直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的△ABC，而事件A所構(gòu)成區(qū)域是三條直線x+y=120，x=40，y=40所夾中間的陰影部分，于是，根據(jù)幾何概型公式，得到P（A）====，所以，A與C、B與D之間的距離都不小于40米的概率為．錯(cuò)解剖析：以上錯(cuò)解中，沒有正確分析題目的意思，在A、B中間隨意安裝兩盞路燈C、D，那么對(duì)應(yīng)C、D的順序是不確定的．而在錯(cuò)解中錯(cuò)誤地認(rèn)為：順序?yàn)锳、C、D、B．其實(shí)，只要A與C、B與D之間的距離都不小于40米，可能順序?yàn)锳、C、D、B，也可能順序?yàn)锳、D、C、B．所以考慮問題時(shí)，只要分別考慮A與C之間的距離不小于40米，B與D之間的距離不小于40米即可．正確解答：把AB三等分，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A—E—F—B，每段的長度為120×=40米，先考慮點(diǎn)C，那么滿足條件的點(diǎn)C在E—B之間，根據(jù)幾何概型公式，可得P（C）====，同理，滿足條件的點(diǎn)D在A—F之間，可得P（D）====，所以所求事件的概率P（A）=P（C）P（D）=×=．變式練習(xí)3：（CB對(duì)講機(jī)問題）（CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫）兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3:00時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：00時(shí)開始他們能夠通過對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？答案：設(shè)A={下午3：00時(shí)開始他們能夠通過對(duì)講機(jī)交談}，設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離，于是0≤x≤30，0≤y≤40，則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)（x，y），這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置，他們可以通過對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時(shí)發(fā)生，如下圖左，因此構(gòu)成