高等代數(shù)下期終考試題及答案b卷

-高等代數(shù)(下〕期末考試試卷及答案〔B卷〕一．填空題〔每題3分，共21分〕在P[x]中,x2-2x-3在基1,(x-1),(x-1)2下的坐標(biāo)為32.設(shè)n階矩陣A的全體特征值為

,

,

,

，

f

(x)

為任一多項(xiàng)式，則

f(A)

的1

2

n全體特征值為

.在數(shù)域P上的線(xiàn)性空間P[x]中,定義線(xiàn)性變換AAfx:(())f(x),則A的值域n1004．3階λ-矩陣A〔λ〕的標(biāo)準(zhǔn)形為00，則A〔λ〕的不變因子002________________________；3階行列式因子D=_______________.假設(shè)4階方陣A的初等因子是〔λ-1〕2，〔λ-32〕，〔λ-3〕，則A的假設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J=6.在

n維歐氏空間

V中，向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基

,

,

,

下的坐標(biāo)是1

2

n(x

,x

,

,x

)，則(,

)＝1

2

n

i兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是．選擇題(每題2分，共10分)1.( )V{(abi,cdi)a,b,c,dR}為R上的線(xiàn)性空間，dim(V)為(A)1; (B)2; (C)3; (D)4()以下哪個(gè)條件不是n階復(fù)系數(shù)矩陣A可對(duì)角化的充要條件A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；(B)A的初等因子全是1次的；(C)A的不變因子都沒(méi)有重根；(D)A有n個(gè)不同的特征根；3．(

)設(shè)三階方陣A的特征多項(xiàng)式為

f()

3

22

2

3，則|A|(A)1;

(B)2;

(C)3;

(D)-34.()設(shè)

(0,1,1),

(2,1,2),

k

，假設(shè)與

正交，則1

2

1

2

2(A)k=1;

(B)k=4;

(C)k=3;

(D)k=2-5．(

)以下子集哪個(gè)不是R3的子空間(A)

w {(x,x

,x )

R3

|x

1}(B)

w {(x ,x

,x

)

R3

|x

0}1

1

2

3

2

2

1

2

3

3(C)

w {(x

,x

,x

)

R3

|x

x

x}(D)

w {(x

,x

,x )

R3

|x

x

x }3

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3三.判斷題(對(duì)的打〞√〞,錯(cuò)的打〞*〞,每題2分,共12分)1.( )設(shè)VPnn，則W{AAPnn,A0}是V的子空間.2.(〕,,,是n維歐氏空間的一組基，矩陣Aa，其中12nijnn(,)，則A是正定矩陣.ij i j3．( )假設(shè)n維向量空間Pn含有一個(gè)非零向量，則它必含有無(wú)窮多個(gè)向量．4．〔〕在線(xiàn)性空間 R2中定義變換σ：(x,y)(1x,y)，則σ是R2的一個(gè)線(xiàn)性變換.5.〔 〕設(shè)V是一個(gè)歐氏空間，,V，并且，則與正交。6.(〕λ－矩陣A(λ)可逆的充要條件是A()0.四.計(jì)算題〔3小題，共30分〕1．關(guān)于基,,的坐標(biāo)為〔1，0，2〕，由基,,到基,,的123123123324過(guò)渡矩陣為100,求關(guān)于基,,的坐標(biāo).(8分)210123設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)二維線(xiàn)性空間,,和,是V的兩組基,V的線(xiàn)性變1212換Α在基,下的矩陣為21,到基,的過(guò)渡矩陣為0,又從基121121211,求Α在基,下的矩陣.(8分)1212用正交線(xiàn)性替換XTY化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣T:f(x)x22x22x24xx4xx8xx(14分)123121323五.證明題(每題9分，共27分)1.設(shè)V為數(shù)域P上的n維線(xiàn)性空間，,,,為V的一組基,證明12n-V=L(

,

,

,

).2．設(shè)

,

, ,

為

n

維歐氏空間V的一組基．證明：這組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基的充1

2

n分必要條件是，對(duì)V中任意向量都有3. 設(shè),都是數(shù)域P上線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換,且,證明Im()和