第二章 水文統(tǒng)計基本原理與方法

第二章水文統(tǒng)計基本原理與方法第1頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

第一節(jié)水文統(tǒng)計的意義及基本概念一、水文統(tǒng)計的意義水文現(xiàn)象必然性隨機性成因分析法數(shù)理統(tǒng)計法分析方法分析方法第2頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三水文統(tǒng)計的任務(wù)：1、對于水文要素的大量觀測資料進行統(tǒng)計分析，尋求其變化的規(guī)律；2、在此基礎(chǔ)上，進一步預(yù)估出河流未來長時期內(nèi)可能發(fā)生的水文情勢，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、施工以及運營期間的需要。第3頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)計時，對給定的概率P（即設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，也稱為頻率），選擇滿足關(guān)系P（X≥xp）＝P＝F（xp）xp作為設(shè)計依據(jù)。F（x）為水文變量的累積概率函數(shù)（即統(tǒng)計規(guī)律），P稱為設(shè)計頻率，xp稱為設(shè)計值。第4頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

二、事件在概率論中，對隨機現(xiàn)象的觀測叫作隨機試驗，隨機試驗的結(jié)果稱為事件，在水文統(tǒng)計中是表示水文現(xiàn)象。事件有兩種屬性：（1）數(shù)量性質(zhì)：直接測量的量或計算的量。例如年降雨量、年徑流量、河流某斷面處最大洪峰流量等。（2）屬性性質(zhì)：直接觀測到的現(xiàn)象。例如風(fēng)、雨、晴等。第5頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

分類（1）必然事件：在每次試驗中一定會出現(xiàn)的事件稱為必然事件。例如，流域上降雨且產(chǎn)流的條件下，河中水位上升是必然事件。（2）不可能事件：在任何一次試驗中都不會出現(xiàn)的事件稱為不可能事件。例如天然河流在洪水期間，發(fā)生斷流是不可能事件。（3）隨機事件：在一次隨機試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機事件。例如河流某斷面處出現(xiàn)的年最大洪峰流量可能大于某一數(shù)值，也可能小于或等于某一數(shù)值，事先不能確定，屬于隨機事件。第6頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三三、總體、樣本、樣本容量1、隨機變量用以表示隨機試驗結(jié)果的一個數(shù)量（事先是未知的），由于它事先不能確定，是隨機的，稱為隨機變量。比如在工地上檢驗一批鋼筋，可以隨機抽查幾組試件，每一組試件檢驗不合格的根數(shù)就是隨機變量。水文現(xiàn)象中的隨機變量，一般指某個水文特征值（如年徑流量、年降雨量、洪峰流量等）。第7頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三隨機變量的分類：①離散型隨機變量隨機變量僅取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機變量。如洪峰次數(shù)，只能取0、1、2

，不能取相鄰兩數(shù)值之間的任何值。②連續(xù)型隨機變量隨機變量可以取得一個有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機變量。如某河流斷面的流量可以取0~極限值之間的任何實數(shù)值。第8頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、總體、樣本和樣本容量總體在統(tǒng)計數(shù)學(xué)中，把某種隨機變量所取數(shù)值的全體，稱為總體。如年徑流量的總體數(shù)是無窮的。樣本從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項數(shù)，稱為樣本容量。如實測的水文資料是有限的，是一樣本。第9頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三四、數(shù)理統(tǒng)計法對水文資料的要求1、可靠性2、一致性3、代表性4、隨機性5、獨立性第10頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)頻率和概率一、概率和頻率1、概率隨機事件在試驗中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，但其出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）的可能性大小有所不同，為了比較這種可能性的大小，必須賦予一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)就是事件的概率。第11頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三簡單（古典）的隨機事件的概率定義用下式表示：式中，P（A）：一定條件下隨機事件A的概率；

n：試驗中所有可能的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；

m：出現(xiàn)隨機事件A的結(jié)果數(shù)。

古典的隨機試驗是指所有試驗的可能結(jié)果都是等可能的，而且試驗的可能結(jié)果的總數(shù)是有限的。但水文事件不一定符合這種性質(zhì)，也就不能用上述計算概率的公式。為此，水文學(xué)中通常用頻率估算事件的概率。

第12頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、頻率

對于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗來估計事件的概率。設(shè)事件A在n次隨機試驗中出現(xiàn)了m

次，則稱：為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率。注意：n不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機試驗的次數(shù)。第13頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三3、概率和頻率的關(guān)系：頻率是經(jīng)驗值，概率是理論值；可以通過實測樣本的頻率分析來推論事件總體概率特性；樣本容量越大，結(jié)果越準(zhǔn)確；對于水文現(xiàn)象，只能采用有限的多年實測水文資料組成樣本系列，推求頻率作為概率的近似值。第14頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三二、隨機變量的概率分布1、對于離散型隨機變量隨機變量的取某一可能值的機會有的大有的小，即隨機變量取值都有一定的概率與之相對應(yīng)，可表示為：

上式中P1、P2、…Pn

表示隨機變量X取值x1、x2、…xn

所對應(yīng)的概率。第15頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

一般將這種對應(yīng)關(guān)系稱作隨機變量的概率分布規(guī)律，簡稱為分布律?？梢杂靡韵碌姆植紙D形表示：

x1x2x3x4……xnXP

離散型隨機變量概率分布圖第16頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、對于連續(xù)型隨機變量

由于它的所有可能取值有無限個，而取個別值的概率為零，故無法研究個別值的概率。水文學(xué)上習(xí)慣研究隨機變量的取值等于或大于某個值的概率，表示為：P（X≥x）。

它是x的函數(shù)，稱作隨機變量X的分布函數(shù)，記作F（x），即

F（x）=P（X≥x）

表示隨機變量X大于或等于值x的概率，其幾何曲線稱作隨機變量的概率分布曲線（水文學(xué)上通常稱累計頻率曲線，簡稱頻率曲線）。第17頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線

P(Xx)

由圖中可知，x=900，相應(yīng)的P（X≥

x）=0.15，說明大于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于500mm降雨的可能性為60%。第18頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三由概率的加法定理：隨機變量X落在（x

，x+x）的概率可用下式表示：

x

x+

x

PXP(Xx)P(X>x+x)

P(Xx)=P(X>x+x)+P(x+x>Xx)

P(x+x>Xx)=P(Xx)-P(X>x+x)=F(x)-F(x+x)則，降雨量落在900和500mm的可能性為：

60%-15%=45%

第19頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三三、累積頻率和重現(xiàn)期1、累積頻率等量或超量值的累積頻數(shù)m與總觀測次數(shù)S之比，以P（x≥xi）表示。例：某橋位處測得40年最高水位資料，如表，求水位H≥25m的累積頻率。第20頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三解：當(dāng)水位H＝25m時，W=25%

P=25+5=30%

表明：若水位為25m時對橋梁會有威脅，則高于25m的水位對橋梁都會有威脅，其發(fā)生的可能性應(yīng)為P=30％。

工程上習(xí)慣把累積頻率簡稱為頻率。第21頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、重現(xiàn)期

所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機事件在很長時期內(nèi)平均多長時間出現(xiàn)一次（水文學(xué)中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗中，某一隨機事件重復(fù)出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在水文分析中，重現(xiàn)期可以等效的替代頻率。第22頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三頻率P與重現(xiàn)期T關(guān)系的兩種表示法：式中，T：重現(xiàn)期，以年計；

P：大于某水文變量xP事件的頻率。例如，當(dāng)設(shè)計洪水的頻率為P＝1%時，代入上式得T＝100年，稱為百年一遇洪水，表示大于等于這樣的洪水平均一百年會遇到一次。

（1）當(dāng)研究洪水或暴雨問題時水文上關(guān)心的是大于某洪水或某暴雨量發(fā)生的頻率，因此，重現(xiàn)期指在很長時期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于某水文變量xP

事件的平均重現(xiàn)的間隔期T：第23頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三（2）當(dāng)研究枯水問題

水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)的重現(xiàn)期。重現(xiàn)期指在很長的時期內(nèi)（N年）出現(xiàn)小于某水文變量xP事件的平均重現(xiàn)間隔期。若水文變量大于xP的頻率為P，則小于xP事件的頻率應(yīng)為1－P，在N年內(nèi)小于xP事件出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)為N（1－P），因此其重現(xiàn)期為：

第24頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三例如，當(dāng)設(shè)計枯水流量的頻率P＝80％時，代入上式得T＝5年，稱此為五年一遇的枯水流量，表示小于等于這樣的流量平均五年遇到一次。第25頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三例：已知某水廠取水口流量Q≥800m3/s的頻率為96%，求Q＜800m3/s設(shè)計枯水流量的重現(xiàn)期。由P（Q≥800）=96%，得P（Q＜800）=1－96%=4%由重現(xiàn)期的定義，T（Q＜800）=25即重現(xiàn)期為25年一遇。第26頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三思考：重現(xiàn)期和物理學(xué)中的周期有何區(qū)別？

重現(xiàn)期T是指水文現(xiàn)象在長時期內(nèi)平均T年出現(xiàn)一次，而不是每隔T年必然發(fā)生一次，它是對于類似于洪水這樣的隨機事件發(fā)生的可能性的一種定量描述。例如百年一遇的洪水，是指大于或等于這樣的洪水在長時期內(nèi)平均100年發(fā)生一次，而不能理解為百年一遇的洪水每隔100年一定出現(xiàn)一次。實際上，百年一遇洪水可能間隔100年以上時間發(fā)生，也可能連續(xù)兩年接連發(fā)生。周期是固定多少時間出現(xiàn)一次，即為固定概念。而重現(xiàn)期為平均概念。第27頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三四、設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)指國家根據(jù)工程的重要性及建筑物的等級制定的允許破壞率及要求的安全率，以符號P表示。第28頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)經(jīng)驗頻率曲線

一、經(jīng)驗頻率公式例：已知某地年降雨量的觀測資料（n=12），并由大到小排列，按計算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值x的經(jīng)驗累積頻率；

m：x由大到小排列的序號，即在n次觀測資料中出現(xiàn)大于或等于某一數(shù)值x的次數(shù)。第29頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三經(jīng)驗累積頻率計算表：第30頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

如果n項實測資料是總體，則上述計算經(jīng)驗頻率公式是合理的；但水文實測資料是樣本資料，則計算的經(jīng)驗頻率就不太合理，比如當(dāng)i＝n時，其頻率P＝100％，即是說樣本的末項就是總體中的最小值，顯然不符合實際情況，因為隨著觀測項數(shù)的增加，總會有更小的數(shù)值出現(xiàn)。

第31頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

為了修正由樣本推算總體出現(xiàn)的不合理估算，有如下幾個經(jīng)驗頻率公式可供選擇：數(shù)學(xué)期望公式

切哥達也夫公式

海森公式

第32頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三目前我國水文計算上廣泛采用的是數(shù)學(xué)期望公式，公式形式簡單，計算結(jié)果也比較符合實際，且偏于安全。這樣，當(dāng)m=n=12

時，第33頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三二、經(jīng)驗頻率曲線的繪制和應(yīng)用①將水文變量，按由大到小的次序排列xi，排列的序號不僅表示大小的次序，而且表示大于等于該水文變量的累積次數(shù)；②用數(shù)學(xué)期望公式計算各項的經(jīng)驗頻率Pi；③以水文變量為縱坐標(biāo)，以其對應(yīng)的經(jīng)驗頻率為橫坐標(biāo)，點繪出經(jīng)驗頻率點據(jù)。

第34頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三④根據(jù)與點群配合最好的原則繪出一條平滑曲線，即為水文變量的經(jīng)驗頻率曲線。在頻率格紙上繪制頻率曲線，如為正態(tài)曲線則成直線，如為偏態(tài)曲線則兩端的曲度也會大大變小，有利于特小頻率或特大頻率的點繪與查取。⑤有了經(jīng)驗頻率曲線，即可在曲線上求得指定頻率的水文變量值。第35頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第36頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三因頻率曲線的兩端特別陡峭，又因圖幅的限制，對于特小頻率或特大頻率，尤其是特大頻率的點子很難點在圖上。為此，設(shè)計一種“頻率格紙”，其橫坐標(biāo)的分劃就是按把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布頻率曲線拉成一條直線的原理計算出來的。這種頻率格紙的縱坐標(biāo)仍是普通分格，但橫坐標(biāo)的分格是不相等的，中間分格較密，越往兩端分格越稀，其間距在P=50%的兩端是對稱的。第37頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

經(jīng)驗頻率曲線的特點

①當(dāng)n→∞時，經(jīng)驗頻率曲線將越來越光滑，且接近于理論頻率曲線，對于水文變量分布線型的選擇具有借鑒作用；②經(jīng)驗頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便；③經(jīng)驗頻率曲線外延比較盲目，誤差較大，往往難以滿足設(shè)計上的需要。因為在水文計算中，常需推求P=1％、0.1%、0.01%相應(yīng)的水文變量值。④不能求出統(tǒng)計參數(shù)，難以進行參數(shù)的地區(qū)綜合，無法解決無實測水文資料的小流域的水文計算問題。第38頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三三、經(jīng)驗頻率曲線的外延1、目估延長局限性：（1）沒有實測點的控制，目估使曲線外延帶有相當(dāng)大的主觀成分。（2）由于水文現(xiàn)象的隨機性，有時點繪的經(jīng)驗頻率點分布比較散亂，使得經(jīng)驗累積頻率曲線的定線比較困難。第39頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、選配合適的數(shù)學(xué)模型延長經(jīng)驗頻率曲線對水文資料的經(jīng)驗頻率曲線選配合適的數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)方法來推求理論頻率曲線方程式，據(jù)此繪制理論頻率曲線，減小目估徒手定線的主觀因素影響。第40頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的概率分布曲線或分布函數(shù)，比較完整地描述了隨機現(xiàn)象的分布規(guī)律。但是，在許多實際問題中，隨機變量的分布函數(shù)不易確定，有時不一定都需要用完整的形式來說明隨機變量，而只要用個別代表性的數(shù)值說明隨機變量的主要特征即可。例如，某地的年降水量是一個隨機變量，各年的降水量不同，具有一定的概率分布函數(shù)，若要了解該地年降水量概括情況，可用多年平均降水量這個數(shù)量指標(biāo)來反映。這種能說明隨機變量統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)字特征值，稱為隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)。第41頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

統(tǒng)計參數(shù)有總體統(tǒng)計參數(shù)與樣本統(tǒng)計參數(shù)之分。水文現(xiàn)象的總體是無限的，它是指自古迄今以至未來長遠歲月所有的水文系列。顯然，水文隨機變量的總體是不知道的，只能靠有限的樣本觀測資料去估計總體的統(tǒng)計參數(shù)或總體的分布規(guī)律。

水文計算中常用的樣本統(tǒng)計參數(shù)有位置特征參數(shù)和離散特征參數(shù)。

第42頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三一、位置特征參數(shù)位置特征參數(shù)就是描述隨機變量在數(shù)軸上位置的特征值。主要有：均值、中位數(shù)、眾數(shù)。1、均值設(shè)某水文變量的觀測系列（樣本）為x1、x2、……、xn，則其均值為

第43頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三均值也稱算術(shù)平均值，表示系列的平均情況，可以說明這一系列總水平的高低。例如，按1956~1979年統(tǒng)計，黃河流域多年平均降水量為475.9mm，長江流域多年平均降水量為1070.5mm，說明長江流域的水量比黃河流域豐沛。均值不僅是頻率計算中的一個重要參數(shù)，而且還是水文現(xiàn)象的一個重要特征值。第44頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三令k為模比系數(shù)，則上式說明，當(dāng)我們把變量X的系列用其相對值即用模比系數(shù)k的系列表示時，則其均值等于1。這是水文統(tǒng)計中的一個重要特征，即對于以模比系數(shù)k所表示的隨機變量，在其頻率曲線的方程中，可以減少均值這樣一個參數(shù)。第45頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、中位數(shù)中位數(shù)是把概率密度曲線分為兩個相等部分的數(shù)，記為Me（x）。對于離散型的隨機變量：將所有變量的可能取值按大小次序排列，位置居中的數(shù)字。第46頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三對于連續(xù)的隨機變量：中位數(shù)滿足：式中，a、b分別為隨機變量X取值的上下限。Me(x)xf(x)1/21/2ab第47頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三3、眾數(shù)

表示概率密度分布峰點所對應(yīng)的數(shù)，記為M0（x）。對于離散型隨機變量：

M0（x）是使概率

P（=xi）等于最大時所相應(yīng)的

xi值。M0(x)=xiPi-1PiPi+1

Px離散型隨機變量的眾數(shù)第48頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三對于連續(xù)型隨機變量：

M0（x）是概率密度函數(shù)f（x）等于最大時所對應(yīng)的xi值。M0(x)f(x)x連續(xù)的隨機變量的眾數(shù)第49頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

二、離散特征參數(shù)離散特征參數(shù)是刻劃隨機變量分布離散程度的指標(biāo)，這種類型的參數(shù)有：標(biāo)準(zhǔn)差、離勢系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)。

1、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）122>1f(x)x標(biāo)準(zhǔn)差對密度函數(shù)的影響值愈大，分布愈分散；值愈小，分布愈集中。第50頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三例題：兩系列：甲——5，10，15；乙——1，10，19。比較其離散程度。表明：乙系列的離散程度大于甲系列。第51頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、變差系數(shù)（離差系數(shù)、離勢系數(shù)）對于均值不同的二個系列，用均方差來比較其離散程度就不合適，則要采用均方差和均值的比來表示系列的相對離散程度：CV值愈大，分布愈分散；CV值愈小，分布愈集中。CV1CV2CV2>CV1f(x)x變差系數(shù)對密度函數(shù)的影響第52頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三例題：比較兩系列的離散程度：

甲——5，10，15；乙——995，1000，1005。表明：甲系列的離散程度大于乙系列。第53頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三3、偏態(tài)系數(shù)在數(shù)理統(tǒng)計中主要采用偏態(tài)系數(shù)作為衡量系列不對稱程度的參數(shù)。上式右端的分子、分母同除以，則得第54頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

當(dāng)系列對稱時，CS＝0，此時隨機變量大于均值與小于均值的出現(xiàn)機會相等。當(dāng)系列不對稱時，CS≠0，其中CS＞0，稱為正偏，隨機變量大于均值比小于均值出現(xiàn)的機會??；CS＜0，稱為負偏，隨機變量大于均值比小于均值出現(xiàn)的機會多。f(x)x偏態(tài)系數(shù)對密度函數(shù)的影響Cs=0Cs<0Cs>0第55頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三三、隨機變量系列統(tǒng)計參數(shù)的估計

水文隨機變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本（觀測的系列）去估計總體參數(shù)。估算方法有：

矩法；

適線法；

極大似然法；

權(quán)函數(shù)法；

………第56頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三矩法1、計算公式已知樣本的隨機系列：x1、x2、x3、…xn，分別求樣本的三個統(tǒng)計參數(shù)：均值、CV、CS。樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本離勢系數(shù)第57頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

樣本偏態(tài)系數(shù)

2、無偏估計量顯然，樣本的統(tǒng)計參數(shù)與相應(yīng)的總體同名參數(shù)不一定相等。但是，我們希望由樣本系列計算出來的統(tǒng)計參數(shù)與總體更接近些，因此，需要將上述樣本參數(shù)的計算公式加以修正。

第58頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三定義：令θ′為未知參數(shù)θ的估計量，如果E（θ′）=θ，則稱θ′為參數(shù)θ的無偏估計量。換句話說，無偏估計是設(shè)想有很多個同樣容量的樣本資料，使其計算出來的統(tǒng)計參數(shù)的均值，可望等于總體的同名參數(shù)。可以證明，樣本均值是總體均值的無偏估計量。然而CV、CS則不是總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計量，稱為有偏估計量。故需要對參數(shù)CV、CS進行修正，使其變成無偏估計量。

第59頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

求Cv、Cs的無偏估計量的修正計算式：

（當(dāng)n較大時）第60頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第五節(jié)幾種常用的概率分布曲線

目的：在水文分析計算中，常常需要知道大于或等于某一特征值的頻率是多少，也就是要提供一定頻率的水文數(shù)值，這就需要繪制頻率曲線。分類：國內(nèi)外水文分析計算中使用的概率分布曲線俗稱水文頻率曲線，習(xí)慣上把由實測資料（樣本）繪制的頻率曲線稱為經(jīng)驗頻率曲線，而把由數(shù)學(xué)方程式所表示的頻率曲線稱為理論頻率曲線。

第61頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三頻率計算的內(nèi)容：分布線型的選擇與統(tǒng)計參數(shù)的估算。水文頻率分布線型：指所采用的理論頻率曲線（頻率函數(shù)）的型式（水文中常用線型為正態(tài)分布型、極值分布型、皮爾遜Ⅲ分布型等），它的選擇主要取決于與大多數(shù)水文資料的經(jīng)驗頻率點據(jù)的配合情況。

第62頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

探求頻率曲線的數(shù)學(xué)方程，即尋求水文頻率分布線型，一直是水文分析計算中爭論性很強的課題。水文隨機變量究竟服從何種分布，目前還沒有充足的論證，因為水文現(xiàn)象非常復(fù)雜，我們所掌握的資料又非常短，難以從理論上推斷究竟服從何種分布線型，因此只能以某種理論線型近似代替。這些理論線型并不是從水文現(xiàn)象的物理性質(zhì)方面推導(dǎo)出來的，而是根據(jù)經(jīng)驗資料從統(tǒng)計數(shù)學(xué)的已知頻率函數(shù)中選出來的。第63頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三迄今為止，國內(nèi)外采用的理論線型已有10余種。如：正態(tài)分布（N）、皮爾遜Ⅲ型分布（P－Ⅲ）、對數(shù)皮爾遜Ⅲ型分布（LP-Ⅲ）、克里茨基一閔凱里分布（K－M）、指數(shù)伽瑪分布（Γ）、兩參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布（LN2）、三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布（LN3）、I型極值分布（EVI）、通用極值分布（GEV）、韋布爾分布（Weibull）、指數(shù)分布（Exp）、P－V分布、耿貝爾分布（Gamble）。第64頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

不過，從現(xiàn)有資料看，P－Ⅲ型曲線和LP－Ⅲ型曲線比較符合水文隨機變量的分布。因此，這兩種曲線用得最多。我國在水文頻率計算中都是采用P－Ⅲ型頻率曲線，并在1993年國家發(fā)布的《水利水電工程設(shè)計洪水計算規(guī)范》規(guī)定“頻率曲線的線型一般應(yīng)采用皮爾遜Ⅲ型。特殊情況，經(jīng)分析論證后也可采用其它線型”。為此，下面介紹正態(tài)分布和P－Ⅲ型分布。

第65頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三一、正態(tài)分布1、定義：如果隨機變量X的概率密度函數(shù)為則稱隨機變量X具有正態(tài)概率分布。正態(tài)分布具有兩個參數(shù)：均值和均方差σ。e為自然對數(shù)的底。

第66頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、特點a.單峰，只有一個眾數(shù)；b.對于平均數(shù)對稱，Cs=0；c.曲線兩端趨于±∞，并以x軸為漸近線。第67頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三4、應(yīng)用（1）誤差分析：正態(tài)分布的密度曲線與x軸所圍成的面積應(yīng)等于1。均值兩邊σ、2σ、3σ范圍內(nèi)的面積分別為顯然，均方差σ越小，由均值估計x值的誤差越小。正態(tài)分布的這種特性在誤差估算時得到了應(yīng)用。第68頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三（2）頻率格紙：正態(tài)分布頻率曲線在普通方格紙上是一條規(guī)則的S形曲線，因頻率曲線的兩端特別陡峭，又因圖幅的限制，對于特小頻率或特大頻率，尤其是特大頻率的點子很難點在圖上。為此，設(shè)計一種“頻率格紙”，其橫坐標(biāo)的分劃就是按把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布頻率曲線拉成一條直線的原理計算出來的。這種頻率格紙的縱坐標(biāo)仍是普通分格，但橫坐標(biāo)的分格是不相等的，中間分格較密，越往兩端分格越稀，其間距在P=50%的兩端是對稱的。第69頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第70頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三二、皮爾遜Ⅲ型分布1、定義英國生物學(xué)家Person研制的13種分布曲線中的第3種（簡稱P—Ⅲ型），其密度函數(shù)為

式中，（）：

的伽瑪函數(shù)，、、a0：三個參數(shù)，它們與三個統(tǒng)計參數(shù)有一定的關(guān)系。第71頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、特點（1）P-III型曲線是一條一端有限另一端無限的不對稱單峰正偏曲線。f(x)皮爾遜Ⅲ

型概率密度曲線

a0M0(x)Me(x)xPx第72頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三（2）α、β、a0三個參數(shù)與、Cv、Cs的關(guān)系：（3）多數(shù)水文特征值的最小值必須大于或等于零。（4）Cs>0時為正偏，Cs=0時為正態(tài)分布。第73頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三3、應(yīng)用

P—Ⅲ型曲線的分布函數(shù)為：F（x）＝P（X≥xP）＝P（1）兩類計算問題①規(guī)劃設(shè)計問題：由設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)P，推求滿足設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計值xp；②評估決策問題：由實際發(fā)生值x，推求出現(xiàn)大于或等于該值的概率。第74頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

（2）計算方法直接計算：由分布函數(shù)和密度函數(shù)的關(guān)系，可得當(dāng)參數(shù)為已知時，規(guī)劃設(shè)計問題為方程求根，評估決策問題為數(shù)值積分。第75頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三查表計算：

將隨機變量經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換：

取標(biāo)準(zhǔn)變量，即

代入上式，、、a0以相應(yīng)的

和

關(guān)系式表示，簡化后得：第76頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

被積函數(shù)含有參數(shù)、Cs

，而包含在中，制成對應(yīng)關(guān)系表。詳見附錄3，P228。

因此，由給定的CS及P，從P-III型曲線離均系數(shù)值表，查出P

，再由下式求： 即求出指定概率P所相應(yīng)的隨機變量的取值xP。第77頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第78頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三例2：某站年平均徑流深系列符合P－Ⅲ型分布，已知該系列的R＝650mm，σ＝162.5mm，CS＝2CV，計算設(shè)計保證率P＝1%的設(shè)計年徑流量。解：由CV＝σ/R＝162.5/650＝0.25，則CS＝2CV＝2×0.25＝0.5，P＝1%，查表得，Ф＝2.68，則R1%＝650×（1＋2.68×0.25）＝1085.5mm第79頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三另外，當(dāng)CS/CV等于一定倍數(shù)時，可令模比系數(shù)KP＝1＋ΦPCV，則變?yōu)閤P＝（1＋ΦPCV）＝KP

，式中，KP與P和CS有關(guān)，可查附表4。第80頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三4、理論頻率曲線已知P—Ⅲ分布的三個參數(shù)、Cv、Cs值，由Φ值表可查得各種頻率P相應(yīng)的ΦP值，然后反變換得xp值。將點（P，xp）點繪在概率格紙上，即可連成一條光滑的頻率曲線，常常將此曲線稱為理論頻率曲線。=1000mm，Cv=0.5，Cs=1.0的頻率曲線如下。第81頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第82頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

5、統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響：為了避免適線時調(diào)整參數(shù)的盲目性，必須了解統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響。①均值對頻率曲線的影響當(dāng)Cv、Cs相同時，均值大的頻率曲線位于均值小的頻率曲線之上，且均值大的頻率曲線比均值小的頻率曲線陡。

第83頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三②離勢系數(shù)Cv對頻率曲線的影響為了消除均值的影響，以模比系數(shù)k為變量繪制頻率曲線。當(dāng)Cv=0時，隨機變量的取值都等于均值，此時頻率曲線即為k=1的一條水平線，隨著Cv的增大，頻率曲線的偏離程度也隨之增大，曲線變得越來越陡，且有一種使整個頻率曲線順時針方向旋轉(zhuǎn)的作用。

第84頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三③偏態(tài)系數(shù)Cs對頻率曲線的影響以模比系數(shù)k為變量繪制頻率曲線，在正偏情況下，當(dāng)Cs增大時，頻率曲線的中部下降，且兩端上抬，上段變陡，下段變緩。xPPPxPPxP第85頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第六節(jié)抽樣誤差一、誤差來源1、觀測、記錄、整編和計算中有些假定不夠合理造成——隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展逐漸減小。2、抽樣誤差由于水文系列總體是無限的，而樣本的容量是有限的，因此，由樣本求到的參數(shù)對于總體存在一定的誤差，則稱為抽樣誤差。因此，以樣本參數(shù)替代相應(yīng)的總體參數(shù)時，必須考慮這一誤差。該誤差無法準(zhǔn)確求到，只能在概率意義下作出某種估計。第86頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三二、抽樣誤差估算下面以矩法的樣本均值為例，說明抽樣誤差的概念和估算方法：假設(shè)從某隨機變量的總體中隨機抽取k個容量相同的樣本，分別算出各個樣本的均值，這些均值對其總體均值的抽樣誤差為，

有大有小，各種數(shù)值出現(xiàn)的機會不同，即每一數(shù)值都有一定的概率，也即為一隨機變量，它也有其分布，稱為抽樣誤差分布。

第87頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三由誤差分布理論知，抽樣誤差可近似服從正態(tài)分布，而抽樣分布的均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）可作為度量抽樣誤差的指標(biāo)，也即大表示抽樣誤差大，小表示抽樣誤差小。為區(qū)別起見，將稱為樣本均值的均方誤。第88頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

由于抽樣分布通常為正態(tài)分布，由正態(tài)分布的特性可知：上式的物理意義是：如果隨機抽取一個樣本，以此樣本的均值作為總體均值的估計值，則有68.3%的可能性誤差不超過，有95％的可能性誤差不超過，有99.7%的可能性誤差不超過。以上對均值的討論同樣也適用于其它樣本參數(shù)。第89頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

根據(jù)統(tǒng)計理論，可導(dǎo)出各參數(shù)的均方誤公式，它們與總體分布有關(guān)。對于皮爾遜Ⅲ型分布且用矩法估算參數(shù)時，樣本參數(shù)的均方誤公式為

第90頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

由上述公式可見，抽樣誤差的大小，隨樣本項數(shù)n、Cv和Cs的大小而變化。樣本容量大，對總體的代表性就好，其抽樣誤差就小，這就是為什么在水文計算中總是想方設(shè)法取得較長的水文系列的原因。在均方誤的計算中，因含有CS的高次方，當(dāng)樣本容量n＜100時，由樣本直接計算CS的誤差很大，不能滿足水文計算的要求。第91頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第七節(jié)水文頻率計算方法

是以經(jīng)驗頻率點據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗點據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)。該法既能估計總體的分布型式，又能求出其統(tǒng)計參數(shù)，是一種能較好地滿足水文頻率分析要求的估計方法。

第92頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)行頻率計算方法——適線法（配線法）試錯適線法（經(jīng)驗適線法/目估適線法）1、步驟：（1）將實測資料由大到小排列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計算各項的經(jīng)驗頻率，在頻率格紙上點繪經(jīng)驗點據(jù)。（2）先采用矩法或其它方法估計出頻率曲線參數(shù)的初估值。因Cs的抽樣誤差太大，一般憑經(jīng)驗初選比值Cs／Cv為某一倍數(shù)。倍數(shù)可選1.5、2、2.5、3…。已知：經(jīng)驗頻率分布，求：總體分布參數(shù)第93頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

（3）選定水文頻率分布線型（一般選用皮爾遜III型）。（4）根據(jù)選定的參數(shù)、CV、CS，由P-III型曲線離均系數(shù)值表（附錄3）或P-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附錄4），求出xP~P的理論頻率曲線，將其繪在有經(jīng)驗點據(jù)的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關(guān)的參數(shù)（主要調(diào)整CV及K=CS/CV

），重復(fù)以上的步驟，重新配線。（5）根據(jù)理論頻率曲線與經(jīng)驗點據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗點據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線，相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。

第94頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三PxP理論頻率曲線經(jīng)驗點據(jù)適線法的實質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗分布來推求總體分布，適線法的關(guān)鍵在于“最佳配合”的判別。（6）應(yīng)用試錯適線法得到的統(tǒng)計規(guī)律，解決水文頻率分析的兩類計算問題。

第95頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

2、特點①配線法層次清楚，圖像顯明，方法靈活，操作容易，便于結(jié)合水文和統(tǒng)計概念調(diào)整參數(shù)，所以該法在水文計算中被廣泛采用。②既能估計分布型式，又能推求統(tǒng)計參數(shù)。③外延比較準(zhǔn)確。④計算工作量大，計算結(jié)果因人而異。第96頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第八節(jié)相關(guān)分析一、概述

1、相關(guān)分析的概念水文現(xiàn)象中許多變量不是孤立的，相互之間存在聯(lián)系，則分析研究兩個或兩個以上隨機變量之間的關(guān)系，稱作相關(guān)分析。第97頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、相關(guān)分析的意義與應(yīng)用

應(yīng)用：相關(guān)分析可以用來延長和插補短系列，從而提高系列的代表性，增加樣本估計總體的計算精度，如建立上、下游水位的相關(guān)關(guān)系，由上游水位預(yù)報下游水位。

前提：在相關(guān)分析時，首先要分析隨機變量之間是否在成因上確有聯(lián)系，對毫無關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象是不能用相關(guān)分析的。第98頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三3、水文計算中的相關(guān)分析的主要任務(wù)：（1）確定兩個變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，以相關(guān)方程或回歸方程表示，用以由已知變量推求未知變量；（2）判斷兩個變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度，用一稱為相關(guān)系數(shù)的參數(shù)來表示。第99頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三4、相關(guān)關(guān)系的種類（1）按相關(guān)變量個數(shù)分為①簡相關(guān)：2個變量；②復(fù)相關(guān)：≥3個變量。

第100頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三（2）按相關(guān)程度分為①完全相關(guān)（函數(shù)相關(guān)）如果兩個變量x、y，其中變量x的每一個值，變量y都有一個或多個確定值與之對應(yīng)，而且x、y成函數(shù)關(guān)系，即x、y的關(guān)系點完全落在直線或曲線上，則稱這兩個變量是完全相關(guān)的。第101頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三②零相關(guān)（沒有關(guān)系）

如果兩個變量x、y之間互不影響、互不相關(guān)，則稱這兩個變量沒有關(guān)系或零相關(guān)。即x、y的關(guān)系點毫無規(guī)律，十分分散。零相關(guān)YX第102頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三③統(tǒng)計相關(guān)（相關(guān)關(guān)系）

如果兩個變量x、y之間關(guān)系介于以上兩者之間，x、y的關(guān)系點雖有點分散，但有明顯的趨勢，數(shù)學(xué)上可以用一定的表達式進行擬合。則稱這二個變量關(guān)系為：統(tǒng)計相關(guān)或相關(guān)關(guān)系。yx第103頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三二、簡單直線（線性）相關(guān)1、圖解法設(shè)xi和yi代表兩系列（隨機變量）的觀測值，共有n對，把對應(yīng)值點繪于方格紙上，得到很多相關(guān)點。如果相關(guān)點的平均趨勢近似直線，即可通過點群中間及（）點繪出相關(guān)直線，如圖所示。稱這種直接作圖定出相關(guān)線的方法為相關(guān)圖解法。

第104頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

方法：從圖上量得直線的斜率b，直線與縱軸的截距a，則直線方程y=a+bx即為所求的相關(guān)直線方程。

特點：方法簡單，計算精度不高，適用于相關(guān)密切的變量。第105頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三2、相關(guān)分析法

若相關(guān)點分布較散，目估定線有一定任意性，為保證一定精確性，最好采用分析法來確定相關(guān)直線的方程。設(shè)該直線方程形式為：y=a+bx式中，x：自變量

y：倚變量

a、b：分別為一常數(shù)，待定。則相關(guān)點與直線在縱軸方向必然存在離差。第106頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三xiy配合曲線與觀測點在縱軸方向的離差為：第107頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

要求配合曲線與所有的觀測點能“最佳”擬合，根據(jù)最小二乘法原理，即滿足所有的觀測點的離差y的平方和為最小，即：（1）回歸方程的確定欲使上式最小，可分別對其求一階偏導(dǎo)數(shù)，并使其等于0，即令第108頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三求解上述方程組可得第109頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三式中，：分別為x、y系列的均方差；

：分別為x、y系列的平均值;

：x、y系列的變差系數(shù)（按不偏估計公式計算）：

r：相關(guān)系數(shù)；

Kxi

、Kyi：分別為xi、yi系列的模比系數(shù)：第110頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三將，代入y=a+bx中得：上式即為y倚x的回歸方程，其曲線稱為回歸線/相關(guān)線（僅是對點據(jù)擬合最佳一條線），亦可表示為：為回歸線的斜率，稱為y倚x的回歸系數(shù)。第111頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

若以y求x，則要應(yīng)用x倚y的回歸方程，它的圖形稱為x倚y的回歸線。同理，可推得x倚y的回歸方程，即

一般y倚x與x倚y的兩回歸線并不重合，但有一個公共交點。在作回歸分析時必須注意，由x求y用y倚x的回歸方程；由y求x用x倚y的回歸方程。第112頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三（2）相關(guān)系數(shù)回歸線只是對觀測點的一條最佳配合線，它反映了兩個變量之間的平均關(guān)系。回歸線并不能說明兩個變量之間的關(guān)系是否密切。在數(shù)理統(tǒng)計法中，一般采用相關(guān)系數(shù)來描述和判別兩變量之間的相關(guān)程度。

第113頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①若r2=1，表示相關(guān)點（xi，yi）均落在回歸線上，兩變量間具有直線函數(shù)關(guān)系；②若r2=0，說明y的變化與x毫無直線關(guān)系，稱為零相關(guān)；③若0＜r2＜1，r2愈接近于1，點據(jù)越靠近回歸直線，關(guān)系越密切。r為正時，表示正相關(guān)；r為負時，表示負相關(guān)。第114頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三（3）相關(guān)分析的誤差①回歸線的誤差

由于x、y并非確定性關(guān)系，對于x=x0，無法知道其相應(yīng)的真正值y0，通過回歸方程求到：僅僅是真正值y0的一個估計值。故其與真正值y0存在偏差。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的研究，由于隨機因素的影響，y0在估計值上下波動呈正態(tài)分布，其誤差大小可用均方誤表示。第115頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三第116頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三

如用Sy表示y倚x回歸線的均方誤，yi為觀測值，為回歸線上的對應(yīng)值，n為系列項數(shù)，則同樣，x倚y回歸線的均方誤Sx為第117頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三回歸線的均方誤Sy與變量的均方差σy之間的關(guān)系：兩者之間從性質(zhì)上講是不同的，前者是由觀測點與回歸線之間的離差求得，而后者則由觀測點與它的均值之間的離差求得。按照誤差理論，這些可能的取值yi落在回歸線兩側(cè)一個均方誤范圍內(nèi)（y+Sy）的概率為68.3%，落在3個均方誤范圍內(nèi)（y+3Sy）的概率為99.7%。

第118頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三②相關(guān)系數(shù)的誤差：在相關(guān)分析中，相關(guān)系數(shù)是根據(jù)有限的實測資料（樣本）計算出來的，必然會有抽樣誤差。一般通過相關(guān)系數(shù)的均方誤和相關(guān)系數(shù)的檢驗來判斷樣本相關(guān)系數(shù)的可靠性，按統(tǒng)計學(xué)原理，相關(guān)系數(shù)的均方誤為相關(guān)系數(shù)的誤差也可以用隨機誤差（機誤）表示Er=0.6745σr。一般當(dāng)r＞4Er時，則認(rèn)為相關(guān)關(guān)系存在。第119頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三③相關(guān)系數(shù)的檢驗

必要性：有了相關(guān)系數(shù)r，只要它不為零，便可求出變量x與y之間的回歸直線。但是，相關(guān)系數(shù)是根據(jù)有限的樣本資料計算出來的，不免帶有抽樣誤差，即使總體是不相關(guān)的兩變量，其相關(guān)系數(shù)也不一定為零。因此，為了推斷兩變量之間是否真正存在相關(guān)關(guān)系，即為了避免把本來是不相關(guān)的兩變量，錯誤地推斷為相關(guān)，必須對樣本的相關(guān)系數(shù)作顯著性檢驗。第120頁，共135頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)檢驗：先假設(shè)總體具有某種統(tǒng)計特性（如具有某種參數(shù)，或遵從某種分布等），然后再檢驗這個假設(shè)是否可信，這種方法稱為假設(shè)檢驗。原假設(shè)H0：r總體=0（不相關(guān)）；備擇假設(shè)H1：r總體≠0（相關(guān)）。先假設(shè)r總體=0，即總體不相關(guān)。