四川省成都市郫都四中2023年高二數(shù)學第二學期期末預測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班4名同學參加數(shù)學測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學通過測試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．甲射擊時命中目標的概率為，乙射擊時命中目標的概率為，則甲乙兩人各自射擊同一目標一次，則該目標被擊中的概率為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)為奇函數(shù),則（）A． B． C． D．4．在一次抽獎活動中，一個箱子里有編號為至的十個號碼球(球的大小、質(zhì)地完全相同，但編號不同)，里面有個號碼為中獎號碼，若從中任意取出個小球，其中恰有個中獎號碼的概率為，那么這個小球中，中獎號碼小球的個數(shù)為A． B． C． D．5．在正方體中，過對角線的一個平面交于，交于得四邊形，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形6．已知函數(shù)對任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．7．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種8．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.849．設函數(shù)在處存在導數(shù)，則（）A． B． C． D．10．對具有相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其回歸直線方程，且，，則()A． B． C． D．11．將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學等三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為（）A．150種 B．180種 C．240種 D．540種12．若，則“復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則該圓錐的體積為____________．14．超速行駛已成為馬路上最大殺手之一,已知某路段屬于限速路段,規(guī)定通過該路段的汽車時速不超過60,否則視為違規(guī).某天,有1000輛汽車經(jīng)過了該路段，經(jīng)過雷達測速得到這些汽車運行時速的頻率分布直方圖如圖,則違規(guī)的汽車大約為___________．15．設函數(shù)可導，若，則__________．16．曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）設，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.18．（12分）2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國的“新四大發(fā)明”：高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購.乘坐高鐵可以網(wǎng)絡購票，為了研究網(wǎng)絡購票人群的年齡分布情況，在5月31日重慶到成都高鐵9600名網(wǎng)絡購票的乘客中隨機抽取了120人進行了統(tǒng)計并記錄，按年齡段將數(shù)據(jù)分成6組：，得到如下直方圖：（1）試通過直方圖，估計5月31日當天網(wǎng)絡購票的9600名乘客年齡的中位數(shù)；（2）若在調(diào)查的且年齡在段乘客中隨機抽取兩人，求兩人均來自同一年齡段的概率.19．（12分）在直角坐標系中，曲線的方程為.已知，兩點的坐標分別為，.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）若點在曲線位于第一象限的圖象上運動，求四邊形的面積的最大值.20．（12分）設函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求的取值范圍.21．（12分）已知點為拋物線上異于原點的任意一點，為拋物線的焦點，連接并延長交拋物線于點，點關(guān)于軸的對稱點為.（1）證明：直線恒過定點；（2）如果，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的離心率為，焦距為。（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過左焦點的直線與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意知X～B（4，），根據(jù)二項分布的方差公式進行求解即可．【詳解】∵每位同學能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據(jù)題意得到X～B（4，）是解決本題的關(guān)鍵．2、D【解析】

記事件甲乙兩人各自射擊同一目標一次，該目標被擊中，利用獨立事件的概率乘法公式計算出事件的對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式可得出事件的概率.【詳解】記事件甲乙兩人各自射擊同一目標一次，該目標被擊中，則事件甲乙兩人各自射擊同一目標一次，兩人都未擊中目標，由獨立事件的概率乘法公式得，，故選D.【點睛】本題考查獨立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關(guān)系，可以采用分類討論，本題采用對立事件求解，可簡化分類討論，屬于中等題.3、A【解析】

根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),利用計算得到,再代入函數(shù)計算【詳解】由函數(shù)表達式可知，函數(shù)在處有定義，則，，則，.故選A.【點睛】解決本題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)性質(zhì),簡化了計算,快速得到答案.4、C【解析】

利用古典概型列出恰有1個中獎號碼的概率的方程，解方程即可．【詳解】依題意，從10個小球中任意取出1個小球，其中恰有1個中獎號碼的概率為，所以，所以n（10﹣n）（9﹣n）（8﹣n）＝180，（n∈N*）解得n＝1．故選：C．【點睛】本題考查了古典概型的概率公式的應用，考查了計數(shù)原理及組合式公式的運算，屬于中檔題．5、D【解析】對于A，當與兩條棱上的交點都是中點時，四邊形為菱形，故A錯誤；對于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯誤；對于C,當兩條棱上的交點是中點時，四邊形垂直于平面,故C錯誤；對于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D6、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性選出正確的選項.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，排除A選項.由得，即，排除B選項.由得，即，排除C，選項.由得，即，D選項正確，故選D.【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導數(shù)的概念，考查函數(shù)導數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

利用正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱進行求解.【詳解】，正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，，，.【點睛】本題考查正態(tài)分布，考查對立事件及概率的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

通過變形，結(jié)合導數(shù)的定義可以直接得出答案.【詳解】.選A.【點睛】本題考查了導數(shù)的定義，適當?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵.10、A【解析】

根據(jù)，，求出樣本點的中心，代入回歸直線方程，即可求解.【詳解】由題：，，所以樣本點的中心為，該點必滿足，即，所以.故選：A【點睛】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸直線方程，關(guān)鍵在于準確求出樣本點的中心，根據(jù)樣本點的中心在回歸直線上求解參數(shù).11、A【解析】先將個人分成三組,或,分組方法有中,再將三組全排列有種,故總的方法數(shù)有種.選A.12、C【解析】

先將復數(shù)化簡成形式，得其共軛復數(shù)，通過對應的點在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關(guān)系．【詳解】，所以共軛復數(shù)，因為共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限所以，解得所以“復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限”是“”充要條件，故選C【點睛】本題考查復數(shù)的基本運算與充要關(guān)系，解題的關(guān)鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：因為，圓錐的側(cè)面積為，底面積為，所以，解得，，所以，該圓錐的體積為．考點：圓錐的幾何特征點評：簡單題，圓錐之中，要弄清r,h,l之間的關(guān)系，熟練掌握面積、體積計算公式．14、800【解析】

先通過頻率分布直方圖，得出速度大于對應矩形的面積和，再乘以可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可知，速度大于的汽車的頻率為，因此，違規(guī)的汽車數(shù)為，故答案為：.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，計算頻率時要找出符合條件的矩形的面積之和，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

根據(jù)導數(shù)的定義求解.【詳解】因為，所以，即，故.【點睛】本題考查導數(shù)的定義.16、或【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，令，解出的值，再將的值代入函數(shù)的解析式可得出點的坐標.【詳解】，，令，即，解得，，，因此，點的坐標為或，故答案為：或.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用切線與直線的位置關(guān)系求切點坐標，解題時要利用已知條件得出導數(shù)值與直線斜率之間的關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）【解析】

（1）由已知數(shù)列遞推式可得，又，得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，得到數(shù)列的通項公式，進一步得到，然后分類分組求數(shù)列的前項和．【詳解】（1）由已知得代入得又，所以數(shù)列是等比數(shù)列（2）由（1）得，，因為，，，且時，所以當時，當時，.所以【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓練了數(shù)列的分組求和，屬中檔題．18、（1）32.5（2）【解析】

（1）中位數(shù)是直方圖中把頻率等分的那一點對應的數(shù)據(jù)．（2）由直方圖得年齡在和的乘客人數(shù)頻率都為0.05，可得人數(shù)，計算抽取方法總數(shù)和來自同一年齡段的方法數(shù)后可計算概率．【詳解】（1）由直方圖可知：中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設中位為x.由題可得：，所以5月31日當天網(wǎng)絡購票的9600名乘客年齡的中位數(shù)大約為32.5（2）年齡在和的乘客人數(shù)相等，頻率為．人數(shù)為人則在調(diào)查的且年齡在段乘客中隨機抽取兩人求兩人均來自同一年齡段的概率為：．【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查中位數(shù)，考查古典概型．掌握頻率分布直方圖的知識是解題基礎(chǔ)．19、（1）（為參數(shù)）；（2）【解析】

（1）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出曲線的參數(shù)方程；（2）根據(jù)曲線的參數(shù)方程設曲線上的點，結(jié)合點在第一象限得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，并利用角的三角函數(shù)式表示，利用輔助角公式化簡，再利用三角函數(shù)基本性質(zhì)求出最大值?！驹斀狻浚?）曲線的方程為，可化參數(shù)方程為(為參數(shù)).（2）設曲線上的點，因為在第一象限，所以.連接,則=.當時，四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查參數(shù)方程的應用，一般而言，由圓或橢圓上的動點引起的最值或取值范圍問題，可以將動點坐標利用圓或橢圓的參數(shù)方程設為參數(shù)方程的形式，并借助三角恒等變換公式以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)求解。20、（1）見解析；（2）【解析】

（1），討論a，求得單調(diào)性即可（2）利用（1）的分類討論，研究函數(shù)最值，確定零點個數(shù)即可求解【詳解】（1）因為，其定義域為，所以.①當時，令，得；令，得，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當時，令，得或；令，得，此時在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.③當時，，此時在上單調(diào)遞減.④當時，令，得或；令，得，此時在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：①當時，.易證，所以.因為，，.所以恰有兩個不同的零點，只需，解得.②當時，，不符合題意.③當時，在上單調(diào)遞減，不符合題意.④當時，由于在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又，由于，，所以，函數(shù)最多只有1個零點，與題意不符.綜上可知，，即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點問題，考查推理求解能力及分類討論思想，是難題21、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）設，計算得到，直線的方程為，得到答案.（2）計算，設，討論，，三種情況，分別計算得到答案.【詳解】（1）設，因為，所以，由三點共線得，化簡得，即，由此可得，所以直線的方程為，即，因此直線恒過定點.（2），，令，如果，則；如果，則，當時，，時等號成立，從而，即；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，故，故，所以，故.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了拋物線中直線過定點問題，求參數(shù)范圍，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.22、(1)(2)【解析】

（1）由，，又由，解得，即可求得橢圓的方程；（2）設出過焦點的直線方程代入橢