機(jī)械優(yōu)化設(shè)計第二章

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計主編孫靖民第二章第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度

第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開

第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件

第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃

第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在前一章“優(yōu)化設(shè)計概述”中，我們可以看到，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計問題一般是非線性規(guī)劃問題，實(shí)質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極小化問題。由此可見，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計是建立在多元函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)上的。無約束優(yōu)化問題就是數(shù)學(xué)上的無條件極值問題，而約束優(yōu)化問題則是數(shù)學(xué)上的條件極值問題。微分學(xué)中所研究的極值問題僅限于等式條件極值，很少涉及優(yōu)化設(shè)計中經(jīng)常出現(xiàn)的不等式條件極值。為了便于學(xué)習(xí)以后各章所列舉的優(yōu)化方法，有必要先對極值理論作概略地研究。本章重點(diǎn)討論等式約束優(yōu)化問題的極值條件和不等式約束優(yōu)化問題的極值條件第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)

二、二元函數(shù)的梯度

三、多元函數(shù)的梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)圖2-1二維空間中的方向方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，可從下述推導(dǎo)中求得一、方向?qū)?shù)圖2-2三維空間中的方向二、二元函數(shù)的梯度二、二元函數(shù)的梯度例2-1求二元函數(shù)f(x1，x2)=x21+x22-4x1-2x2+5在x0=〔0,0〕T處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。

解由于函數(shù)變化率最大的方向是梯度方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值是梯度的模‖Δf(x0)‖。求f(x1，x2)在x0點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計算如下二、二元函數(shù)的梯度圖2-3梯度方向與等值線的關(guān)系二、二元函數(shù)的梯度三、多元函數(shù)的梯度三、多元函數(shù)的梯度第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開例2-2求二元函數(shù)圖2-6示例的函數(shù)圖像例2-2求二元函數(shù)第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件無約束優(yōu)化問題是使目標(biāo)函數(shù)取得極小值，所謂極值條件就是指目標(biāo)函數(shù)取得極小值時極值點(diǎn)所應(yīng)滿足的條件。第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件

即對例2-3求函數(shù)f(x1，x2)=x21+x22-4x1-2x2+5的極值。第四節(jié)君凸集查、凸函膝數(shù)與凸疼規(guī)劃根據(jù)函捷數(shù)極值坊條件所賢確定的每極小點(diǎn)x*，是指訪函數(shù)(x)在x*近的一躍切x均滿足不筆等式f(x研)＞f(x*柿)所以稱函敏數(shù)(x)在x*取得局部禿極小值，拌稱x*為局部老極小點(diǎn)(有時在亂局部極害小值和前局部極跑小點(diǎn)前引還加上犬“嚴(yán)格齡”二字欠，以區(qū)儉別于滿旁足不等氧式(x)≥謙f(x*膠)情況)。因此牧，根據(jù)折函數(shù)極魚值條件暢所確定求的極小棍點(diǎn)只是覺反映函菠數(shù)在x*附近的仗局部性造質(zhì)。圖2-濁7下璃凸的一亭元函數(shù)一、凸集圖2-8殲凸集與貍非凸集一、凸集凸集具有會以下性質(zhì)衫：若A是一個物凸集，β是一個選實(shí)數(shù)，a是凸集A中的動活點(diǎn)，即a∈A，則集彈合βA=｛x∶x掙=βa，a∈A｝還是凸瓜集。當(dāng)β=2時，如圖2-9中的左圖擾所示。圖2-愈9凸躺集的性授質(zhì)二、凸函物數(shù)函數(shù)f(x)，如果在暢連結(jié)其凸觸集定義域訓(xùn)內(nèi)任意兩互點(diǎn)x1、x2的線段上藍(lán)，函數(shù)值油總小于或奔等于用f(x1)及f(x2)作線性嘗內(nèi)插所棚得的值展，那么獨(dú)稱f(x越)為凸函吵數(shù)。用輪數(shù)學(xué)語鼠言表達(dá)銳為f〔αx1+(1-綢α)x2〕≤αf(x1)+(1母-α)f(x2)(2-誘8)其中0≤α≤1若上兩式規(guī)均去掉等錯號，則f(x聽)稱作嚴(yán)格絨凸函數(shù)。腐一元函數(shù)f(x盞)若在〔a,刺b〕內(nèi)為凸函脊數(shù)，其函湊數(shù)圖像表補(bǔ)現(xiàn)為在曲發(fā)線上任意配兩點(diǎn)所連氣的直線不毅會落在曲嚴(yán)線弧線以告下，如圖2-1潮0所示。圖2-1彼0凸函割數(shù)的定義三、凸性娃條件四、凸憤規(guī)劃第五節(jié)盡等式坊約束優(yōu)脈化問題目的極值濫條件第五節(jié)渠等式約束踢優(yōu)化問題土的極值條河件第五節(jié)爐等式約束肺優(yōu)化問題戲的極值條取件二、拉途格朗日乘粘子法拉格朗日拐乘子法是攜求解等式罷約束優(yōu)化穿問題的另棕一種經(jīng)典礎(chǔ)方法，它幅是通過增矩加變量將貢等式約束障優(yōu)化問題陪變成無約概束優(yōu)化問咐題。所以禍又稱作升陵維法。第五節(jié)宋等式約束積優(yōu)化問題拘的極值條抗件第六節(jié)腳不等式約載束優(yōu)化問溉題的極值享條件在工程盼上大多觀數(shù)優(yōu)化滿問題都巨可表示糧為具有弄不等式笛約束條撫件的優(yōu)驢化問題旬。因此掌研究不適等式約韻束極值庫條件是俘很有意班義的。淡受到不畏等式約炭束的多桌元函數(shù)刻極值的鈴必要條糖件是著優(yōu)名的庫株恩-塔克(Kuh腐n-Tu岔cker筐)條件，狗它是非抄線性優(yōu)澇化問題刊的重要碰理論。吊為了便屢于理解劇庫恩-塔克條件蓄，我們首虹先分析一蓬元函數(shù)在江給定區(qū)間亮上的極值較條件。第六節(jié)廢不等式約位束優(yōu)化問竄題的極值界條件第六節(jié)霧不等允式約束配優(yōu)化問因題的極巾值條件第六節(jié)肚不等式約遞束優(yōu)化問隨題的極值責(zé)條件第六節(jié)因不等式約吸束優(yōu)化問園題的極值則條件第六節(jié)乳不等匆式約束活優(yōu)化問言題的極傾值條件第六節(jié)肌不等式約貿(mào)束優(yōu)化問順題的極值鉤條件第六節(jié)雨不等偽式約束墊優(yōu)化問四題的極囑值條件第六節(jié)炎不等式約戀束優(yōu)化問滲題的極值訂條件第六節(jié)聰不等式約虎束優(yōu)化問納題的極值夜條件第六節(jié)致不等奴式約束博優(yōu)化問坡題的極挺值條件謝謝觀看/歡迎下載BYF倚AITH慣IM雀EAN物AVI臺SION竄OF氧GOOD理ONE勾CHE陰RISH燒ESA蕩NDT損HEE傾NTHU沾SI