積分變換講稿

積分變換講稿第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例1求單位階躍函數(shù)根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例2求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實數(shù)).

根據(jù)(2.1)式,有這個積分在Re(s)>k時收斂,而且有其實k為復(fù)數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二拉氏變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿足:

1,在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)

2,當t時,f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的積分在Re(s)c1>c上絕對收斂而且一致收斂,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二MMectf(t)tO第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例3求f(t)=sinkt(k為實數(shù))的拉氏變換第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二同理可得第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例4求冪函數(shù)f(t)=tm(常數(shù)m>-1)的拉氏變換.為求此積分,若令st=u,s為右半平面內(nèi)任一復(fù)數(shù),則得到復(fù)數(shù)的積分變量u.因此,可先考慮積分第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二積分路線是OB直線段,B對應(yīng)著

sR=rRcosq+jrRsinq,A對應(yīng)著rRcosq,取一很小正數(shù)e,則C對應(yīng)se=recosq+jresinq,

D對應(yīng)recosq.考察R,的情況.qaODCAt(實軸)虛軸Bv第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)柯西積分定理,有第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二同理第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例5求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏變換bOb2b3b4btf(t)第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例6求單位脈沖函數(shù)d(t)的拉氏變換.第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二例7求函數(shù)f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b>0)的拉氏變換.第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期二在今后的實際工作中,我們并不要求用廣義積分的方法來求函數(shù)的拉氏變換,有現(xiàn)成的拉氏變換表可查,就如同使用三角函數(shù)表,對數(shù)表及積分表一樣.本書已將工程實際中常遇到的一些函數(shù)及其拉氏變換列于附錄II中,以備