第一章 過程動態(tài)數(shù)學模型

第一章過程動態(tài)數(shù)學模型第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第一章過程動態(tài)數(shù)學模型主要內(nèi)容1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述1.2機理建模方法1.3系統(tǒng)辨識概述1.4非參數(shù)模型辨識方法1.5最小二乘類辨識方法第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.1.1動態(tài)數(shù)學模型的作用和要求工業(yè)生產(chǎn)過程的數(shù)學模型有靜態(tài)和動態(tài)之分。靜態(tài)數(shù)學模型是過程輸出變量和輸入變量之間不隨時間變化時的數(shù)學關系。動態(tài)數(shù)學模型是過程輸出變量和輸入變量之間隨時間變化時動態(tài)關系的數(shù)學描述，動態(tài)數(shù)學模型也稱為動態(tài)特性。1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.1.1動態(tài)數(shù)學模型的作用和要求過程的動態(tài)數(shù)學模型，是表示輸出向量（或變量）與輸入向量（或變量）間動態(tài)關系的數(shù)學描述。過程動態(tài)數(shù)學模型的用途：分為兩個方面，一是用于各類自動控制系統(tǒng)的分析和設計，二是用于工藝設計以及操作條件的分析和確定。1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.1.1動態(tài)數(shù)學模型的作用和要求1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述對動態(tài)數(shù)學模型的要求：簡單、正確可靠正確可靠簡單在線實時控制——計算量前饋、解耦、預測等控制——如控制規(guī)律復雜，不易實施結構復雜，模型參數(shù)多，難于保證模型精度

實際使用的數(shù)學模型一般不高于三階，常用一階加時滯或二階加時滯。第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.1.1動態(tài)數(shù)學模型的作用和要求應用目的過程模型類型精確度要求控制器參數(shù)整定線性、參量（或非參量）、時間連續(xù)低前饋、解耦、預估控制系統(tǒng)設計線性、參量（或非參量）、時間連續(xù)中等控制系統(tǒng)的計算機輔助設計線性、參量（或非參量）、時間離散中等自適應控制線性、參量、時間離散中等模式控制、最優(yōu)控制線性、參量、時間連續(xù)、離散高對動態(tài)數(shù)學模型的應用要求1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.1.2建立數(shù)學模型的基本方法機理分析方法（白箱）通過分析系統(tǒng)的運動規(guī)律，應用一些已知的定律、定理和與原理，如化學動力學原理、生物學定律、牛頓定理、物料平衡方程、能量平衡方程和傳質傳熱原理等，利用數(shù)學方法進行推導，建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型，這種方法也稱為理論建模。1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.1.2建立數(shù)學模型的基本方法機理分析方法1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述過程類型靜態(tài)模型動態(tài)模型集總參數(shù)過程代數(shù)方程微分方程分布參數(shù)過程微分方程偏微分方程多級過程差分方程微分-差分方程幾種類型的數(shù)學模型第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.1.2建立數(shù)學模型的基本方法系統(tǒng)辨識方法（黑箱）系統(tǒng)的輸入輸出信號一般是可以測量的，由于系統(tǒng)的動態(tài)特性必然表現(xiàn)在這些輸入輸出數(shù)據(jù)之中，因此可以利用這些數(shù)據(jù)所提供的信息來建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。這種建模方法就是系統(tǒng)辨識。兩種方法的結合（灰箱）1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第一章過程動態(tài)數(shù)學模型主要內(nèi)容1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述1.2機理建模方法1.3系統(tǒng)辨識概述1.4非參數(shù)模型辨識方法1.5最小二乘類辨識方法第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.1動態(tài)方程的一般列寫方法從機理出發(fā)，用理論的方法得到過程動態(tài)數(shù)學模型，其主要依據(jù)是物料平衡和能量平衡關系式，一般可用下式表示：

單位時間內(nèi)進入系統(tǒng)的物料量（或能量）-單位時間內(nèi)流出系統(tǒng)的物料量（或能量）=系統(tǒng)內(nèi)物料（或能量）貯藏量的變化在建立過程動態(tài)數(shù)學模型時，輸出變量y與輸入變量u可用三種不同形式，即可用絕對值Y和U表示，用增量⊿Y和⊿U表示，用無因次形式的y和u表示。在控制理論中，增量形式得到廣泛的應用。第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例對于1#水槽，設V1表示水槽的液體體積，根據(jù)物料平衡關系：

第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例輸入流量qin與液位無關

α1是紊流狀態(tài)下的節(jié)流

系數(shù)，f1是調節(jié)閥的開啟面積。

第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例對于2#水槽，可知

第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例

上兩式是非線性微分方程，為了便于分析計算，需將非線性微分方程線性化。

第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例線性化原理：

第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例對于1#水槽，線性化

第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例對于1#水槽，線性化

第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例同樣，對于2#水槽

第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例對于2#水槽，線性化

第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例對于2#水槽，線性化

第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例

液阻

容量系數(shù)

第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.2機理建模方法1.2.2機理建模示例

時間常數(shù)

第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第一章過程動態(tài)數(shù)學模型主要內(nèi)容1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述1.2機理建模方法1.3系統(tǒng)辨識概述1.4非參數(shù)模型辨識方法1.5最小二乘類辨識方法第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.1辨識的定義L.A.Zadeh曾給辨識下過這樣的定義：“辨識就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎上，從一組給定的模型類中，確定一個與所測系統(tǒng)等價的模型?！比兀狠斎胼敵鰯?shù)據(jù)（辨識的基礎）模型類（尋找模型的范圍）等價準則（辨識的優(yōu)化目標）第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.1辨識的定義

三要素：輸入輸出數(shù)據(jù)（辨識的基礎）模型類（尋找模型的范圍）等價準則（辨識的優(yōu)化目標）第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.1辨識的定義

例：建立一個熱交換器的數(shù)學模型，即建立T/Q模型

第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.1辨識的定義

例：建立一個熱交換器的數(shù)學模型，即建立T/Q模型經(jīng)觀測得到一組輸入輸出數(shù)據(jù)，記作{Q(k)}和{T(k)}，k=1,2,…,L

選定一組模型類：一個等價準則：第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.1辨識的定義

例：建立一個熱交換器的數(shù)學模型，即建立T/Q模型辨識問題：根據(jù)所觀測到的數(shù)據(jù){Q(k)}和{T(k)}，確定模型中的未知參數(shù)n及ai、bi

，使得準則J最小。T(k)+a1T(k-1)+…+anT(k-n)=b1Q(k-1)+…+bnQ(k-n)+e(k)第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.2辨識的基本原理

為了得到模型參數(shù)的估計值，通常采用逐步逼近的辦法輸入輸出噪聲未知模型參數(shù)參數(shù)估計值輸出預報值新息第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.3辨識的內(nèi)容和步驟

辨識的分類

離線辨識、在線辨識非參數(shù)模型辨識、參數(shù)模型辨識

非參數(shù)模型辨識（經(jīng)典辨識）：假定過程是線性的前提下不必事先確定模型具體結構。階躍響應、脈沖響應、頻率響應、相關分析、譜分析等

參數(shù)模型辨識（現(xiàn)代辨識）：必須假定一種模型結構，通過極小化誤差準則來確定模型參數(shù)。最小二乘類法、梯度校正法、極大似然法等第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.3系統(tǒng)辨識概述1.3.3辨識的內(nèi)容和步驟

辨識的內(nèi)容：步驟：根據(jù)辨識目的，利用先驗知識，初步確立模型結構→采集數(shù)據(jù)→進行模型參數(shù)和結構辨識→驗證，獲得最終模型。第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第一章過程動態(tài)數(shù)學模型主要內(nèi)容1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述1.2機理建模方法1.3系統(tǒng)辨識概述1.4非參數(shù)模型辨識方法1.5最小二乘類辨識方法第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.4非參數(shù)模型辨識方法1.4.1階躍響應法

什么是階躍響應法？

施加一個階躍擾動信號，測定出過程的輸出響應隨時間的變化曲線，該曲線就是利用階躍響應法得到的非參數(shù)模型，再根據(jù)該曲線獲得待辨識過程的傳遞函數(shù)。第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.4非參數(shù)模型辨識方法1.4.1階躍響應法

兩步：第一步實際測取過程的階躍響應，第二步由階躍響應求取過程的傳遞函數(shù)。

測取階躍響應曲線：先使工況保持平穩(wěn)一段時間，然后使閥門做階躍式的變化（通常在10%以內(nèi)），同時把被控變量的變化過程記錄下來，得到廣義對象的階躍響應曲線。

求取傳遞函數(shù)：過程的增益K、時間常數(shù)T和時滯τ可以用多種方法求取。第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1）近似法當對象可用一階慣性環(huán)節(jié)表示時：式中，K

為對象的放大系數(shù)；T為對象的時間常數(shù)1.4非參數(shù)模型辨識方法取y(t)=0.63y(∞)時對應的t就是過程的時間常數(shù)T。第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1）近似法當對象可用具有時滯的一階對象來表示時：可在響應曲線拐點處作切線，該切線與時間軸相交于L，與穩(wěn)態(tài)值漸近線相交于M，則線段0L的長度即為τ值，切線ML在時間軸上的投影就是T。1.4非參數(shù)模型辨識方法第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三2)兩點法根據(jù)階躍輸入信號作用下輸出響應曲線的計算公式在響應曲線上取兩點；，由于階躍幅值r已知，聯(lián)立求解得式中，；。1.4非參數(shù)模型辨識方法第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三

為了反映動態(tài)特性，輸出響應曲線上的兩點通常可取如下配對點，并據(jù)此計算時間常數(shù)和時滯。y1y2Tτ0.2840.6321.5（t2-t1）(3t1-t2)/20.3930.6322（t2-t1）2t1-t20.550.865（t2-t1)/1.2(2.5t1-t2)/1.51.4非參數(shù)模型辨識方法第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.4.1脈沖法

階躍響應法使工況長期偏離正常值，對生產(chǎn)帶來不利的影響。為解決這一矛盾，在施加階躍響應以后，隔一段時間再施加一個反向的階躍輸入，合起來就是用脈沖作為輸入信號。1.4非參數(shù)模型辨識方法第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.4非參數(shù)模型辨識方法tt輸入：⊿u(t)=⊿u1(t)+⊿u2(t)=⊿u1(t)-⊿u1

(t-⊿t)輸出：⊿y(t)=h1(t)+h2(t)=h1(t)-h1(t-⊿t)∴h1(t)=⊿y(t)+h1(t-⊿t)第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三

h1(t)=⊿y(t)+h1(t-⊿t)在0～⊿t時間內(nèi)，h1(t)等于脈沖響應即h1(t)=⊿y(t)，而后h1(t)等于當時的脈沖響應⊿y(t)加⊿t時間以前的階躍響應h1(t-⊿t)，隨著時間推移就可得到完整階躍響應曲線。得階躍響應曲線后，可以通過前述有關方法求取過程的數(shù)學模型。1.4非參數(shù)模型辨識方法tt需要的觀察的第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1）過程脈沖響應的辨識通常采用矩形脈沖輸入；2）由脈沖響應求過程的傳遞函數(shù)一階過程：直接從曲線上求取二階過程：也可直接從曲線上求取1.4非參數(shù)模型辨識方法第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.一階過程參數(shù)T和K可以直接在脈沖響應曲線圖上直接確定1.4非參數(shù)模型辨識方法第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三2.二階過程參數(shù)和可以直接在脈沖響應曲線圖上直接確定1.4非參數(shù)模型辨識方法第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三第一章過程動態(tài)數(shù)學模型主要內(nèi)容1.1過程動態(tài)數(shù)學模型概述1.2機理建模方法1.3系統(tǒng)辨識概述1.4非參數(shù)模型辨識方法1.5最小二乘類辨識方法第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識方法G(z-1)N(z-1)v(k)輸入u(k)輸出z(k)n(k)噪聲黑箱第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三最小二乘類辨識算法最小二乘法增廣最小二乘算法廣義最小二乘法1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識方法G(z-1)N(z-1)v(k)輸入u(k)輸出z(k)n(k)噪聲黑箱第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識方法1.5.1最小二乘法的基本概念

1.最早于1795年高斯提出

2.兩種形式的結果：

經(jīng)典的一次完成算法（理論研究較方便）

現(xiàn)代的遞推算法（適于計算機實現(xiàn)在線辨識）

3.基本原理：通過極小化準測函數(shù)求得參數(shù)的估計值。第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識方法1.5.2最小二乘法的提法

u(k)和z(k)是過程的輸入輸出量，n(k)是噪聲，要解決的問題是如何利用過程的輸入、輸出數(shù)據(jù)，確定A(z-1)和B(z-1)的系數(shù)。

假設模型階次na，nb已定，且一般na>nb

在最小二乘法中，必須假設{n(k)}是白噪聲序列

第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識方法1.5.2最小二乘法的提法

（滿足L>(na+nb)，L應充分大）第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識方法1.5.3最小二乘法的解

設有使，則當可逆時：

實際輸出估計輸出為最小二乘估計值第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期三1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識方法1.5.3最小二乘法的解

當可逆時：

為加權最小二乘估計值（可?。?<μ<1），這體現(xiàn)了對不同時