一元二次函數(shù)總結(jié)

-.z.一元二次函數(shù)的圖象定義：一般地，如果是常數(shù)，，則叫做的一元二次函數(shù).其中，*是自變量，a,b,c分別是函數(shù)表達式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。二、一元二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c﹙a≠0﹚的圖象(其中a,b,c均為常數(shù))當a＞0時函數(shù)圖象開口向上；對稱軸為*＝﹣2a／b，有最小值且為﹙4ac－b2﹚／4a；當*∈﹙﹣∞,﹣2a／b]時遞減；當*∈[﹣2a／b,﹢∞﹚時遞增；當a＜0時函數(shù)圖象開口向下；對稱軸為*＝﹣2a／b，有最大值且為﹙4ac－b2﹚／4a；當*∈﹙﹣∞,﹣2a／b]時遞增；當*∈[﹣2a／b,﹢∞﹚時遞減；△＝b2－4ac當△＞0時，函數(shù)圖象與*軸有兩個交點；當△＝0時，函數(shù)圖象與*軸只有一個交點；當△＜0時，函數(shù)圖象與*軸沒有交點。(如下圖所示)三、拋物線中，的作用決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.例1：畫出的圖象歸納：一般地，拋物線的對稱軸是y軸，頂點是原點，當時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點，a越大，拋物線的開口越??；當時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點，a越大，拋物線的開口越大。例2：畫出二次函數(shù)，的圖象，考慮他們的開口方向、對稱軸和頂點。可以看出，拋物線的開口向下，對稱軸是進過點（-1,0）且與*軸垂直的直線，記為*=-1，頂點是（-1,0）；拋物線的開口向下，對稱軸是*=1，頂點是（1,0）。例3：畫出函數(shù)的圖象，指出它的開口方向、對稱軸及頂點。拋物線經(jīng)過怎樣的變換可以得到拋物線？拋物線的開口方向向下、對稱軸是*=-1，頂點是（-1，-1）。把拋物線向下平移1個單位，再向左平移2個單位，就得到拋物線。歸納：一般地，拋物線與形狀相同，位置不同。把拋物線向上（下）向左（右）平移，可以得到拋物線。平移的方向、距離要根據(jù)h，k的值來決定。拋物線有如下特點：當時，拋物線的開口向上；當時，拋物線的開口向下；對稱軸是直線*=h；頂點坐標是（h，k）例4：畫出的圖象歸納：一般地，可以用配方法求拋物線的頂點與對稱軸因此，拋物線的對稱軸是，頂點坐標是的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：，拋物線經(jīng)過原點;,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸.以上三點中，當結(jié)論和條件互換時仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.（2）a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)，反之，再y軸右側(cè)|*1-*2|=,與y軸交點為(0,c)b2-4ac>0，a*2+b*+c=0有兩個不相等的實根b2-4ac<0，a*2+b*+c=0無實根b2-4ac=0，a*2+b*+c=0有兩個相等的實根四、根的分布，根據(jù)函數(shù)圖象來判斷其所需要滿足的條件若*＜y＜m﹙m為*軸上的一點﹚，則需滿足：┏△＞0┣﹣2a／b＜m┗f(m)＞0若m＜*＜y﹙m為*軸上的一點﹚，則需滿足：┏△＞0┣﹣2a／b＞m┗f(m)＞0若*＜m＜y﹙m為*軸上的一點﹚，則需滿足：若*,y∈﹙m,n﹚﹙m,n為*軸上的一點﹚，則需滿足：┏△＞0┣m＜﹣2a／b＜n┗f(m)＞0,f(n)＞0若m＜*＜n＜y＜p﹙m,n,p為*軸上的一點﹚，則需滿足：┏f(m)＞0┣f(n)＜0┗f(p)＞0若只有一根在﹙m,n﹚之間﹙m，n為*軸上的一點﹚，則需滿足：┏△＝0┗m＜﹣2a／b＜n或f(m)·f(n﹚＜0┏f(m)＝0或┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2┏f(n)＝0或┗﹙n＋m﹚／2＜﹣2a／b＜n五、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下(軸)(0,0)(軸)(0,)(,0)(,)()六、二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律：拋物線y=a(*-h)2+k的圖像，可以由y=a*2得圖像移動而得到。y=a*2（a＞0）的圖像.y=-a*2（a＞0）的圖像當h＜0時，向左平移QUOTE個單位長度，當h＞0時，向右平移QUOTE個單位長度y=a（*-h）2的圖像當k＞0時，向上平移QUOTE個單位長度當k＜0時，向下平移QUOTE個單位長度y=a（*-h）2-k的圖像寫成一般形式y(tǒng)=a*2+b*+c的圖像規(guī)律：在原有函數(shù)基礎(chǔ)上“h值正右移，負左移，k值正上移，負下移”七、直線與拋物線的交點（或稱二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系）軸與拋物線得交點為()與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應(yīng)一元二次方程有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.平行于軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.而根的存在情況仍如(3)一樣由一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：程組有兩組不同的解時與有兩個交點;程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為由于、是方程的兩個根，故由韋達定理知：八、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：一元二次方程就是二次函數(shù)當函數(shù)y的值為0時的情況．二次函數(shù)的圖象與軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當二次函數(shù)的圖象與軸有交點時，交點的橫坐標就是當時自變量的值，即一元二次方程的根．當二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點時，則一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數(shù)根。例5：觀察函數(shù)的圖象與*軸的交點，得出一元二次方程的根?？梢钥闯觯簰佄锞€與*軸有兩個公共點，他們的橫坐標是-2,1.當*去公共點的橫坐標時，函數(shù)的值是0.由此得出方程的根是-2,1.拋物線與*軸有一個公共點，這點的橫坐標是3，當*=3時，函數(shù)值是0.由此得出方程有兩個相等的實數(shù)根3。拋物線與*軸沒有公共點，可知，方程沒有實根。歸納：一般地，從二次函數(shù)的圖象可知，如果拋物線與*軸有公共點，公共點的橫坐標時，則當及時方程的一個根。二次函數(shù)的圖象與*軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點（），有一個公共點()，有兩個公共點()。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根()，有兩個不相等的實數(shù)根()。九、