理論力學(xué)教學(xué)材料第十二章虛位移原理

理論力學(xué)教學(xué)材料第十二章虛位移原理第1頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

引言

虛位移原理是應(yīng)用功的概念分析系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，是研究靜力學(xué)平衡問(wèn)題的另一途徑。對(duì)于只有理想約束的物體系統(tǒng)，由于求知的約束反力不作功，有時(shí)應(yīng)用虛位移原理求解比列平衡方程更方便。

虛位移原理與達(dá)朗伯原理結(jié)合起來(lái)組成動(dòng)力學(xué)普遍方程，又為求解復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供另一種普遍的方法。這些理論構(gòu)成分析力學(xué)的基礎(chǔ)。第2頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§17-1約束及其分類(lèi)約束——物體運(yùn)動(dòng)所受到的限制1.

幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束yxOAA0l幾何約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束只能限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置或質(zhì)點(diǎn)系的位形。第3頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一COyxvCC*運(yùn)動(dòng)約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束不僅限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，還限制它們運(yùn)動(dòng)的速度。OyxAxByBxAyABvA第4頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.

定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時(shí)間的約束：定常約束第5頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一非定常約束－約束方程中顯含時(shí)間的約束：yxvOM第6頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.

單面約束與雙面約束雙面約束

——約束方程可以寫(xiě)成等式的約束。ByxO第7頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

單面約束

——約束方程不能寫(xiě)成等式、但是可以寫(xiě)成不等式的約束。ByxO第8頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.

完整約束與非完整約束

完整約束

——約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的約束。COyxvCC*圓輪所受約束為完整約束。第9頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

非完整約束

——約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。約束方程不可積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。OyxAxByBxAyAvAB第10頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§17-2廣義坐標(biāo)與自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab廣義坐標(biāo)

——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。第11頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一廣義坐標(biāo)

——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。用q1，q2，…表示。自由度

——在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。對(duì)于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫(xiě)成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式N=3n—s

第12頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§17-3虛位移和理想約束1.虛位移xyOBAMF質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)，為約束所允許的無(wú)限小位移——虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設(shè)想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個(gè)假想的位移，它與實(shí)位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。第13頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一虛位移與實(shí)位移的區(qū)別和聯(lián)系（1）在完整定常約束下，實(shí)位移是諸多虛位移中的一個(gè)；實(shí)位移——質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在其真實(shí)運(yùn)動(dòng)中，在一定的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。MM1drdrerdr——實(shí)位移

r——虛位移第14頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2.虛功質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功——虛功。

W=F·

r

3.理想約束質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱(chēng)為理想約束。

W=M·

∑FNi·

ri

=0第15頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§17-4虛位移原理FiFNim1m2mi

riFi——主動(dòng)力FNi——約束反力

ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理第16頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

∑Fi·

ri=0上式稱(chēng)為虛位移原理的解析表達(dá)式應(yīng)用虛位移原理解題時(shí)，主要是建立虛位移間的關(guān)系，通常采用以下方法：（1）通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，直接找出虛位移間的幾何關(guān)系；（2）建立坐標(biāo)系，選廣義坐標(biāo)，然后仿照函數(shù)求微分的方法對(duì)坐標(biāo)求變分，從而找出虛位移（坐標(biāo)變分）間的關(guān)系。第17頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一曲柄連桿機(jī)構(gòu)靜止在如圖所示位置上，已知角度φ和θ。不計(jì)機(jī)構(gòu)自身重量，求平衡時(shí)主動(dòng)力FA和FB

的大小應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系。例題1φBAOθFBFA解：以δrA

和δrB

分別代表主動(dòng)力FA

和FB

作用點(diǎn)的虛位移，如圖所示。因AB是剛桿，兩端位移在AB上的投影應(yīng)相等，即可見(jiàn)A，B

兩點(diǎn)的虛位移大小之比等于由虛功方程有從而解得第18頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一BAO練習(xí)已知：OA=r

,AB=l,不計(jì)各桿質(zhì)量。求：平衡時(shí)F與M間的關(guān)系。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象

∑Fi·

ri=0由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：MF根據(jù)虛位移原理有第19頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一CBADM例題2已知：菱形邊長(zhǎng)為a

,求：物體C所受到的壓力。螺距為h，頂角為2

，主動(dòng)力偶為M.FNrArC解：

(1)取系統(tǒng)為研究對(duì)象(2)建立虛位移間的關(guān)系第20頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一xy解法二：取建立圖示坐標(biāo)系CBADMFN第21頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一rCOABCDPQ例題3圖示操縱汽門(mén)的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB=1/3，求此系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng)力P

和Q

間的關(guān)系。rBrA解：

(1)取系統(tǒng)為研究對(duì)象由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：第22頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長(zhǎng)為l，桿重和滑道、鉸鏈上的摩擦力均忽略不計(jì)。求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力FA和FB之間的關(guān)系。例題4xyOAφBFAFByxyOAφBFAFBδrAδrB解:研究整個(gè)機(jī)構(gòu)平衡，系統(tǒng)的約束為理想約束，取坐標(biāo)軸如圖所示。根據(jù)虛位移原理，可建立主動(dòng)力FA和FB的虛功方程由于AB桿不可伸縮，AB兩點(diǎn)的虛位移在AB線(xiàn)上的投影應(yīng)該相等，由圖有(a)(b)將式（b）代入式（a），解得因δrB是任意的，因此得第23頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，Cv為其瞬心，由瞬心法可建立B，A兩點(diǎn)的速度關(guān)系yxyOAφBFAFBδrAδrBCv為求虛位移間的關(guān)系，也可以用所謂的“虛速度”法。給系統(tǒng)某個(gè)虛位移δrA

，δrB

，如圖所示。這樣B，A兩點(diǎn)虛位移大小之比也就等于虛速度大小之比，即這個(gè)方法中的速度也是虛設(shè)的，所以稱(chēng)為虛速度法。因此有同樣解得代入式第24頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示。忽略摩擦及各構(gòu)件重量，求平衡時(shí)力偶矩M與水平拉力F之間關(guān)系。例題5分析MOACBFxhxC第25頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示。忽略摩擦及各構(gòu)件重量，求平衡時(shí)力偶矩M與水平拉力F之間關(guān)系。例題5解：由虛位移原理得利用運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系分析可得MOACBFxhxC第26頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ABCDEGFθθABCDEGFθθ例題6已知圖所示結(jié)構(gòu)，各桿都以光滑鉸鏈連接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在點(diǎn)G作用一鉛直方向的力F，求支座B的水平約束反力FBx。此題可用虛位移原理來(lái)求解。用約束力FBx代替水平約束，并將FBx當(dāng)作主動(dòng)力。分析yx第27頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ABCDEGFθθyx解：此題可用虛位移原理來(lái)求解。用約束力FBx代替水平約束，并將FBx當(dāng)作主動(dòng)力。其變分為因坐標(biāo)設(shè)B，G二點(diǎn)沿x，y的虛位移為δxB和δyG

，根據(jù)虛位移原理，有代入得解得第28頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ABCDEGFθθyx如果此題在G，C二點(diǎn)之間再連上一根彈簧，彈簧剛度為k，且在圖示瞬時(shí)彈簧已有伸長(zhǎng)量。此彈簧對(duì)G，C二點(diǎn)的拉力FG

，F(xiàn)C為系統(tǒng)內(nèi)力，如圖所示。ABCDEGFθθyxs其變分為令s=GC，由圖有第29頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解得有彈簧時(shí)，B處的水平約束反力為ABCDEGFθθyx圖示位置，彈簧有伸長(zhǎng)量，則彈簧拉力為FC=FG=FCG=k

。當(dāng)G，C二點(diǎn)間有相對(duì)伸長(zhǎng)的虛位移時(shí)，彈簧力所作虛功為負(fù)。根據(jù)虛位移原理，將下面這些值代入第30頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示為連續(xù)梁。載荷F1=800N，F(xiàn)2=600N，F(xiàn)3=1000N，尺寸a=2m，求固定端A的約束力。aaaaaaaABCDEFGH例題7先考慮求固定端的力偶第31頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一ABCDEFGHaaaaaaaABCDEFGH用幾何法求各點(diǎn)的虛位移。由圖可知：解：1.為了求出固定端A的約束力偶MA，可將固定端換成鉸鏈，而把固定端的約束力偶視作為主動(dòng)力。設(shè)桿系的虛位移用廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分表示，有第32頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一aaaaaaaABCDEFGH再考慮求固定端的豎向力第33頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一EaaaaaaaABCDEFGH2.為了求出固定端A的約束力FA，應(yīng)將A端約束換成鉛直滾輪，而把固定端的鉛直約束力FA視作為主動(dòng)力。設(shè)桿系的虛位移用廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分δyA表示ABCDFGH用幾何法求各點(diǎn)的虛位移。因桿AB只能平動(dòng)，故：第34頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題8求圖示連續(xù)梁的支座反力。PMqll2lABCD解：

(1)解除D處約束，代之以反力FD，并將其視為主動(dòng)力。PMqABCDFDsEsD其中解得第35頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題8各桿的長(zhǎng)度均為l，彈簧原長(zhǎng)為l0。求圖示平衡位置時(shí)P、Q滿(mǎn)足的關(guān)系。ABCPQABCPQ解：用兩個(gè)主動(dòng)力代替彈簧的彈力，并建立如圖所示的坐標(biāo)系xy列虛功方程其