人教B版-必修三-三角函數(shù)-三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像-正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像優(yōu)秀

《正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像》學(xué)案情境與問題將下面左圖中所示的摩天輪抽象成下面右圖中所示的平面圖形，然后以摩天輪轉(zhuǎn)輪中心為原點O，以水平線為橫軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)O到地面的高OT為lm，P點為轉(zhuǎn)輪邊緣上任意一點，轉(zhuǎn)輪半徑OP為rm.設(shè)以O(shè)P為終邊的角為xrad，點P離地面的高度為ym概念形成對于任意一個角x，都有唯一確定的正弦sinx與之對應(yīng)，因此y=利用正弦線可以直觀地表示正弦函數(shù)的函數(shù)值.如圖，MP就是角x的正弦線.性質(zhì)生成你能由正弦線得出正弦函數(shù)y=sin（1）定義域與值域定義域：R，值域：[-1,1]；當(dāng)且僅當(dāng)x=π當(dāng)且僅當(dāng)x=3例題講解例1已知sinx=t-解：因為-1≤sin由此解得2≤t（2）奇偶性由誘導(dǎo)公式sin可知，正弦函數(shù)y=sin問：是否可以用正弦線分析正弦函數(shù)的奇偶性呢？觀察正弦線，可得角x與角-x方向相反，所以三角函數(shù)值互為相反數(shù).（3）周期性由誘導(dǎo)公式sin可知，當(dāng)自變量x的值每增加或減少2π的整數(shù)倍時，正弦值重復(fù)出現(xiàn)，這種性質(zhì)稱為正弦函數(shù)的周期性一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于定義域內(nèi)的每一個x那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)由此可知，正弦函數(shù)y=sinx是一個周期函數(shù)，對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就稱為f(2kπ(k∈Z,k≠0)中，最小的正數(shù)為（4）單調(diào)性觀察單位圓的正弦線的變化規(guī)律，你有什么發(fā)現(xiàn)？只需研究正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)的單調(diào)性，就可以得到正弦函數(shù)在整個定義域上的單調(diào)性.那么選擇哪個周期來進行研究比較合理呢？由圖中的正弦線可以看出，選擇[-π2y=sinx在[-π2,π2]上，從-1增大到因此，我們可以得到正弦函數(shù)在整個定義域上的單調(diào)性：一般地，y=sinx

在區(qū)間[-例2不求值，比較sin(-17π4解：因為sinsin因為y=sinx

所以sinπ4<本題的解題思路：借助誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的周期性將角轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).為了便于比較，一般將角的絕對值變小，將其轉(zhuǎn)化為原點附近的單調(diào)區(qū)間內(nèi).（5）正弦函數(shù)的零點由正弦線的圖像可以看出，正弦函數(shù)的零點是：kπ(也可以由正弦函數(shù)的定義sinx=yr推導(dǎo)，當(dāng)且僅當(dāng)α終邊落在例3求下列函數(shù)的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時x的值.（1）y解：y=sinx所以，當(dāng)x=π2+2kπ當(dāng)x=3π2 （2）y解：令t=sinx，則y此時問題轉(zhuǎn)化為求閉區(qū)間上二次函數(shù)的最大值和最小值問題了.因為對稱軸是t=1，所以y在[-1,1]上單調(diào)遞減當(dāng)t=-1時，此時sinx=-1，x當(dāng)t=1時，此時sinx=1，（3）y令t=sinx，則因為對稱軸是t=12，所以y在[-1,1當(dāng)t=-1時，此時sinx=-1，x當(dāng)t=12時，此時sinx=12知識總結(jié)正弦函數(shù)性質(zhì)小結(jié)：（1）定義域：R，值域是：[-1,1]；（2）奇偶性：奇函數(shù)；（3）周期性：周期函數(shù)，最小正周期：2π；（4）單調(diào)性：在區(qū)間[-π2+2（5）零點：kπ(測試反饋練習(xí)1.不求值，比較sin33π8與因為sinsin13因為y=sinx

所以sinπ8<練習(xí)2.求下列函數(shù)的最大值和最小值，并求函數(shù)取得這些值時x的集合.（1）y=-3sinx （（1）ymax=3，ymin=-3，（2）ymax=-1ymin=-3練習(xí)3.求函數(shù)y=sin2x解：令t=sinx，則配方，得y因為對稱軸是t=2，所以y