4-1-第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)-三相似三角形的判定及性質(zhì)-2．相似三角形的性質(zhì)

§相似三角形的性質(zhì)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)：1．理解相似三角形的兩個(gè)性質(zhì)定理.2．熟練地運(yùn)用相似三角形性質(zhì)進(jìn)行證明或計(jì)算.重、難點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證.考點(diǎn)：結(jié)合相似三角形的判定來(lái)考查相似三角形兩個(gè)性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用.學(xué)習(xí)內(nèi)容指點(diǎn)：本節(jié)是在相似三角形判定的基礎(chǔ)上，利用得到的兩個(gè)三角形相似后，進(jìn)行的線段或角相關(guān)問(wèn)題的進(jìn)一步探索，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想由全等三角形的性質(zhì)，得出相似三角形的性質(zhì)，并借助圖形，通過(guò)運(yùn)用性質(zhì)來(lái)證明線段的等積式或比例式，要加強(qiáng)比例線段、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，學(xué)習(xí)依下列脈絡(luò)進(jìn)行

學(xué)習(xí)過(guò)程我們知道三角形是由三條線段首尾順次連接而成，從而構(gòu)成了其3條邊3個(gè)角，在此基礎(chǔ)上，我們又介紹了它的三條重要線段：高、中線、角平分線.在上節(jié)我們圍繞著相似三角形在全等三角形的判定方法上類比地得到了其中相似的判定定理，采用同樣的手段，在全等三角形中對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線都相等，那么相似三角形中對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線又有什么關(guān)系呢？一、相似三角形性質(zhì)：1．由定義可知，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.在研究相似三角形判定定理時(shí)，將對(duì)應(yīng)角條件不變，而對(duì)應(yīng)線段相等，用對(duì)應(yīng)線段成比例代替，由這個(gè)思路可得下列命題：相似三角形對(duì)應(yīng)高比、對(duì)應(yīng)中線比、對(duì)應(yīng)角平分線比等于相似比.下面我們從理論上加以論述（只選擇一個(gè)證明，其余思路類比）.相似三角形對(duì)應(yīng)中線比等于相似比.已知：△ABC∽△，AE、是△ABC和△的中線.求證：.分析：欲證，只要證AE、、AB、所在的兩個(gè)三角形相即可.由于△ABC∽△，有∠B=∠，，利用中線特點(diǎn)，可得，于是可得△ABE∽△.證明：略.2．相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.（即為對(duì)應(yīng)邊的比）

對(duì)于三角形而言，由于其線段的長(zhǎng)度而組成周長(zhǎng)、面積，那么相似三角形中周長(zhǎng)比、面積比與相似比又是怎樣的關(guān)系呢？已知：△ABC∽△，

求證：①；②.分析：①由于△ABC∽△，有，利用比例的等比性質(zhì)可得.②需將△ABC和△的面積表示出來(lái)，故作高AD、，由相似三角形性質(zhì)中對(duì)應(yīng)高比等于相似比，故.證明：略.3．相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.※相似三角形是證明兩角相等，四條線段成比例的手段.同步練習(xí)：P239—3一、判斷題1．相似三角形中高的比、中線的比、角平分線比都等于相似比.（）2．相似三角形中，對(duì)應(yīng)線段的比都等于相似比.（）二、填空1．在□ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,E為AB中點(diǎn)，在BC上取點(diǎn)F，使△DCF∽△DAE，則BF等于__________.2．a(chǎn)、b、c是△ABC三條邊，其對(duì)應(yīng)高分別為，如果a:b:c=4:5:6,則為_(kāi)__________.3．兩個(gè)相似三角形相似比為3：4，則面積比為_(kāi)______，對(duì)應(yīng)角平分線比________.4．兩個(gè)相似三角形面積比為1：2，則周長(zhǎng)比為_(kāi)________.5．兩個(gè)相似三角形面積分別為6cm2和24cm2,它們周長(zhǎng)和為36cm,那么較小三角形周長(zhǎng)為_(kāi)_______.6．如圖AB∥CD，AB=6，CD=10，若，則=________.一、×√二、1．2．15:12:10（利用面積）

3．9：16；3：44．5．12cm6．72例1△ABC的∠ACB=90°，AD⊥AB于D，AE是∠CAB平分線交CD于F，交CB于E.求證：AF：AE=CD：CB.分析：欲證，先分清這四條線段的含義，AF、AE分別為△CAD和△CAB的角平分線，而CD、CB為這兩個(gè)三角形的邊，只需△ACD∽△ABC即可.證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△ABC，∵AF為∠CAD平分線，AE為∠CAB平分線，∴，即AF：AE=CD：CB.例2如圖，△ABC為一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？分析：假如PQMN為加工成的正方形零件，那么AE⊥PN，這樣△APN的高寫(xiě)成AD－ED=AD－PN，再△APN∽△ABC，即可找到PN與已知條件的關(guān)系.解：設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上，頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，△ABC的高AD與邊PN相交于點(diǎn)E，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xmm,∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴,因此，，∴x=48mm.答：加工成的正方形零件邊長(zhǎng)為48mm.同步練習(xí)：P246—1、2一、填空1．如圖，已知梯形ABCD中，AD2．已知△ABC中，AD：DE：EB=2：3：4，且有DF3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線交于點(diǎn)O，AO=2cm,

AC=6cm,且=1cm2,則=__________.二、解答題1．在梯形ABCD中，DC∥EF∥GH∥AB，其中AB=28cm,DC=10cm,并且DE：EG：GA=2：3：4，求EF和GH.2．如圖□ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,E為AB中點(diǎn)在BC上取點(diǎn)F，若使△DCF和△DAE相似，求BF.一、1．cm2（面積比等于相似比平方）2．cm;

cm;

cm2;

cm23．2cm2;

4cm2;

9cm2

(※)二、1．解：過(guò)D作DM2．分析：∵∠A=∠C，但D、E與之對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序怎樣，故需討論兩種情況.解：（1）若△ADE∽△CDF時(shí)，有，∵□ABCD，∴AC=6，AE=3，AD=10，∴CF=，∴BF=10－=.此時(shí)點(diǎn)在BC上，BF=，有△ADE∽△CDF.（2）若△ADE∽△CFD時(shí)，有，∴CF=20cm,∵BC=10cm＜20∴此時(shí)與點(diǎn)F在BC上矛盾，但若點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，且BF=10cm，有△ADE∽△CFD.小結(jié)：1．相似三角形對(duì)應(yīng)線段比的性質(zhì)（線段類）；2．相似三角形周長(zhǎng)比和面積比的性質(zhì)（面積類）；3．解題時(shí)要注意“對(duì)應(yīng)”.作業(yè)：P245—4、5課后練習(xí)：1．如圖，在△ABC中，D為AB邊中點(diǎn)，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CAP=∠B.求證：.分析：由于∠CAP=∠B，可得△ACP∽△BAP，有，則，只需證明.利用平行線將AE：EC或BP：CP表示出來(lái)，故從分點(diǎn)出發(fā)作平行線加以構(gòu)造，兩者比的橋梁.證明：過(guò)C和CF∥AB交DP于F，∴，∵AD=BP，∴①∵∠CAP=∠B，∠APC=∠APB，∴△CAP∽△ABP，∴即有，代入①中，.2．閱讀下列短文，并解答下列問(wèn)題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體，如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一邊對(duì)應(yīng)線段之比等于相似體（a:b）.設(shè)、分別對(duì)應(yīng)這兩個(gè)正方體表面積，則，又設(shè)、分別對(duì)應(yīng)這兩個(gè)正方體的體積，則，（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（）A．兩個(gè)球體B．兩個(gè)圓錐體C．兩個(gè)圓柱體D．兩個(gè)長(zhǎng)方體（2）請(qǐng)歸納出相似體三條主要性質(zhì)：①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)的比等于_______.②相似體的表面積的比等于_________.③相似體的體積的比等于_________.（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時(shí)期的同一個(gè)人的人體是相似體，一個(gè)小朋友上幼兒園時(shí)身高為,體重為18kg，到了初三時(shí)，身高為,求它的體重是多少？（不考慮不同時(shí)期人體平均密度的變化）（1）A（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方.（3）由已知可得，相似比為:=2:3,∴體積比為，由物理知識(shí)，故，即，,m2=,于是它的體重為.3．三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.已知：△ABC中，AD是角平分線.求證：.分析：要證，一般要證“豎看”：BD、DC與AB、AC所在三角形相似，但B、D、C在同一條直線上，或