2023年廣東省華附南海實(shí)驗(yàn)高中數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線C：的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則雙曲線C的方程是（）A． B． C． D．2．在中，，則角為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix45．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．6．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．47．甲、乙等人在南沙聚會(huì)后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A．種 B．種 C．種 D．種8．袋中有6個(gè)不同紅球、4個(gè)不同白球，從袋中任取3個(gè)球，則至少有兩個(gè)白球的概率是（）．A． B． C． D．9．等差數(shù)列的前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和，若，則k=（）A．10 B．7 C．4 D．310．下列關(guān)于正態(tài)分布的命題：①正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于2；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①④11．某校從6名學(xué)生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學(xué)校的匯演活動(dòng)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．12．某商場(chǎng)對(duì)某一商品搞活動(dòng)，已知該商品每一個(gè)的進(jìn)價(jià)為3元，銷售價(jià)為8元，每天售出的第20個(gè)及之后的半價(jià)出售.該商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設(shè)x(個(gè))為每天商品的銷量，y(元)為該商場(chǎng)每天銷售這種商品的利潤(rùn).從日利潤(rùn)不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤(rùn)都是97元的概率是()A．110 B．19 C．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．14．若二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)的值為__________．15．某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于（）．16．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）若，解不等式；（2）若，求證：.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）求的極值點(diǎn)；（2）求方程的根的個(gè)數(shù).19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)在上，恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明.21．（12分）在四棱錐中，，是的中點(diǎn)，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）已知橢圓滿足：過橢圓C的右焦點(diǎn)且經(jīng)過短軸端點(diǎn)的直線的傾斜角為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在橢圓C上，且，求線段長(zhǎng)度的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求得的值，即可求得雙曲線的方程，得到答案.【詳解】由題意，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用余弦定理解出即可．【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a，b，c分別與1和0比較，得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：C【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析：二項(xiàng)式(x+i)6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rx6-ri【考點(diǎn)】二項(xiàng)展開式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可．二項(xiàng)式(x+i)6可以寫為(i+x)6，則其通項(xiàng)為C6ri5、A【解析】

由正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，再利用棱錐的體積公式求解即可.【詳解】由三棱錐的正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，所以該三棱錐的體積.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖和棱錐的體積公式，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】試題分析：正態(tài)分布曲線關(guān)于均值對(duì)稱，故均值a=1,選A.考點(diǎn)：正態(tài)分布與正態(tài)曲線.7、B【解析】由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數(shù)為種．選．8、D【解析】

事件“至少有兩個(gè)白球”包含“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”和“三個(gè)都是白球”，然后利用古典概型的概率的計(jì)算公式可求出所求事件的概率．【詳解】事件“至少有兩個(gè)白球”包含“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”和“三個(gè)都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個(gè)白球一個(gè)紅球”的概率為，事件“三個(gè)都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個(gè)球是白球”的概率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時(shí)要弄清楚事件所包含的基本情況，結(jié)合概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．9、A【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后再次利用等差數(shù)列的性質(zhì)確定k的值即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：,故，則，結(jié)合題意可知：.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中等題.10、C【解析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的定義，及正態(tài)分布與各參數(shù)的關(guān)系結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．詳解：①正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故①不正確，②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；正確；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于1；故③不正確；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.正確.故選C.點(diǎn)睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了正態(tài)分布及正態(tài)曲線，熟練掌握正態(tài)分布的相關(guān)概念是解答的關(guān)鍵．11、B【解析】

先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數(shù)，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)為，結(jié)合條件概率的計(jì)算方法，可得.【詳解】女生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)為，則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

分別計(jì)算每個(gè)銷量對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)，選出日利潤(rùn)不少于96元的天數(shù)，再利用排列組合公式求解.【詳解】當(dāng)x=18時(shí)：y=18×5=90當(dāng)x=19時(shí)：y=19×5=95當(dāng)x=20時(shí)：y=19×5+1=96當(dāng)x=21時(shí)：y=19×5+2=97日利潤(rùn)不少于96元共有5天，2天日利潤(rùn)是97元故P=C故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率直方圖，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于0，求出的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)，結(jié)合常數(shù)項(xiàng)為列方程求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，，令，得，常數(shù)項(xiàng)為，，得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.15、【解析】試題分析：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪為A，若該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)回答正確，第一個(gè)問題可對(duì)可錯(cuò)；有相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案為0.128.法二：根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪為A，若該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)回答正確，第一個(gè)問題可對(duì)可錯(cuò)，由此分兩類，第一個(gè)答錯(cuò)與第一個(gè)答對(duì)；有相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式16、【解析】

根據(jù)題意,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性,再把不等式化為,利用單調(diào)性求出不等式的解集.【詳解】解:根據(jù)題意,令,其導(dǎo)函數(shù)為時(shí),,,在上單調(diào)遞增;又不等式可化為,即,;解得,該不等式的解集是為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集的問題,是綜合性題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】分析：（1）由可得，然后將不等式中的絕對(duì)值去掉后解不等式可得所求．（2）結(jié)合題意運(yùn)用絕對(duì)值的三角不等式證明即可．詳解：（1），即，則，∴，∴不等式化為．①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；②當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得.綜上可得．∴原不等式的解集為.（2）證明：∵，∴.又，∴.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的常用解法（1）基本性質(zhì)法：當(dāng)a>0時(shí)，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a．（2）零點(diǎn)分區(qū)間法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解．（3）幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解．（4）數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．18、（1）時(shí)，僅有一個(gè)極小值；（2）當(dāng)時(shí)，原方程有2個(gè)根；當(dāng)時(shí)，原方程有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，原方程有4個(gè)根【解析】

（1）求導(dǎo)得到，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到極值.（2）令，求導(dǎo)得到在，上時(shí)，單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，由，得，在?nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)，故僅有一個(gè)極小值.（2）令，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因此在，上時(shí)，單調(diào)遞減，在，上時(shí)，單調(diào)遞增.又為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的極小值為.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.由根的存在性定理知，方程在和一定有根，故的根的情況為：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有2個(gè)根；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有3個(gè)根.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原方程有4個(gè)根.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值問題，零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、(1);（2）【解析】

(1)利用偶函數(shù)的定義判斷得解；（2）對(duì)x分三種情況討論，分離參數(shù)求最值即得實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1）由題得，由于函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以，所以k=2.（2）由題得在上恒成立，當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)，所以在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，所以在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以.綜合得實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）f（x）的最大值為f（1）=1．（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）代入求出值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，進(jìn)而判斷最值；（Ⅱ）求出，求出導(dǎo)函數(shù)，分別對(duì)參數(shù)分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）整理方程，觀察題的特點(diǎn)，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)的方法求出右式的最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以a=-2，此時(shí)f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，當(dāng)a=1時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（1，）時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；x∈（，+∞）時(shí)，g'（x）＜1，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a＜1時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，則由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在區(qū)間（1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正實(shí)數(shù)x1，x2，∴．21、（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥