2020-2021學年數學高中人教A版選修2-1課后習題全冊測評

第一章測評

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分）

1.命題“VxeR,e”>￡‘的否定形式是（）

Xov

A.3xoGR,e<x0B.VxGR,e<x

Xo

C.VxGRe'WxD.2xoGR,e^x0

解析因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題“VxGR,e*>x”的否定形式是FxoG

R,ex?<Ab，.

答案D

2.命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的（）

A.逆命題B.否命題

C.逆否命題D.無關命題

答案A

3.已知命題p:若心0,則函數y=log2x+〃?（x》l）沒有零點，則在命題p的逆命題、否命題、逆否

命題中，錯誤命題的個數為（）

A.OB.1

C.2D.3

解析原命題p為真命題，故其逆否命題為真命題;命題p的逆命題為真命題，故其否命題也為真

命題,因此錯誤命題個數為0.

答案A

4.已知直線/“+緲+1=0,直線，2：ax+y+2=0,則命題“若a=l或a=-l,則直線人與為平行”的否命

題為（）

A.若存1且的M,則直線h與不平行

B.若問1或*1,則直線/（與，2不平行

C.若。=1或。=-1,則直線/］與"不平行

D.若導1或D-1,則直線/］與1平行

解析命題”若A,則8”的否命題為“若口人則口8”,顯然““=1或。=-1”的否定為“存1且中-1”,“直

線人與/2平行''的否定為"直線八與h不平行

答案A

5.已知平面a和直線。力，若n〃a,則*，是7，a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析由a//a,6J_a，可得/?_!_〃,反之不成立，可能6與a相交或平行.

是7_La”的必要不充分條件.故選B.

答案B

6.已知命題p:VxWR,sin（n-x）=sinx;命題q:若a>￡,則sina>sin?，則下列命題是真命題的是

（）

A./?A（n^）B.（Up）八（口/

C.(Llp)/\qD.p八q

解析由已知得p為真命題為假命題，所以□夕是真命題，從而〃八（□（/）為真命題.

答案A

7.已知條件p:x>l,條件"Wl,則〃是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析夕:工W1,即工-1W0,2W0,解得工21或x<0.

XXX

于是，由P能推出d反之不成立.

所以〃是q的充分不必要條件，故選A.

答案A

8.下列命題是真命題的是（）

A.若x=乂則工=-

yxy

B.若兀v）為偶函數，則然=1

C.若a=-2b,則|a|=2|b|

D.若心方+1,則

解析對A,當x=y=O時，工二無意義，故A為假命題.對B,當#x）=O,xeR時，野無意義，故B為假

xyj\.x）

命題.C為真命題.對D,當a=\,h=-3時,〃2<反故D為假命題.

答案C

9.在AABC中，能使sinA>=成立的充分不必要條件是（）

AAe（oW）B.AG停老）

C.AG（分）型6俱考）

解析:在AABC中，當sinA>當時當，

.：能使sinA>,勺充分不必要條件是選項C.

答案c

10.“山》0”是“f+2犬+山》0對任意xGR恒成立”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析x2+2x+m^0對任意恒成立1,

:論》0?機21,機2

.：“‘"e0''是“、2+公+”?》0對任意XGR恒成立”的必要不充分條件.

答案C

11.已知命題p:函數y=log"(x-l)+l的圖象恒過定點(2,2);命題q:若函數卜=次六1)為偶函數，則函

數y"x)的圖象關于直線x=l對稱，則下列命題為真命題的是()

A.pVqB.pV(Elq)C.(Up)八qD.pAq

解析函數y=log"(x-l)+l的圖象可看作把y=log,內的圖象先向右平移1個單位，再向上平移1

個單位得到，

而y=log?x的圖象恒過(1,0),所以函數y=k)g“(x-l)+l恒過(2,1)點，所以命題p為假命題，則

□p為真命題；

函數?r-l)為偶函數,則其對稱軸為x=0,而函數/(x)的圖象是把y1x-l)向左平移了1個

單位，

所以,/(X)的圖象關于直線x=-l對稱，所以命題q為假命題,則命題口9為真命題.

綜上可知，四個選項只有命題pV([Hq)為真命題.故選B.

答案B

12.已知函數負x)=，°普：1:則％=-1”是“函數式x)在R上遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析若函數式x)在R上遞增，則需10g212C+l,即cW-1.

由于c=?l=cW-l,但cW-1Rc=?l,

因此％=-1”是7U)在R上遞增”的充分不必要條件.

答案A

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.命題p與即仁(0,+8),蝠W%)+2,則是.

答案(0,+8)*>龍+2

14.已知命題p:若〃力WR,則ab=0是a=0的充分條件，命題9：函數產丫03的定義域是[3,+8),

則>\/夕”,“〃八夕”,“口〃”中是真命題的為.

解析由題意知p是假命題，夕是真命題，所以“〃\/4'',"口"'是真命題.

答案〃\/4,口〃

15.關于龍的方程/島2.（"2+I）X+2=O的所有根的和為2的充要條件是.

解析當機=0時，原方程即x=2,滿足條件；

當）*0時，巴苧=2,解得加二1或m=--,

2

但當m-\及m=［時，均使/=（m+1尸-8加2<0,故充要條件是m=0.

答案/?/=0

16.給出下列三個結論：

①命題汨沏￡R,就-即>0”的否定形式是“VxeRf/WO”；

②若〈加上則a<h的逆命題為真；

③命題“若￡=1,則尸1”的否命題為:“若#=i,則/1，，.

其中正確的結論序號是（填上所有正確結論的序號）.

解析對于①，根據特稱命題的否定是全稱命題，并且否定的形式正確，故①正確.對于②,原命題

的逆命題為:若〃〈匕，則〃療〈加/2，當777=0時，上式不成立，故逆命題為假，故②錯誤.對于③，命題

的否命題要同時否定條件和結論，故③錯誤.綜上所述，正確的結論序號是①.

答案①

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（本小題滿分10分）把下列命題作為原命題，分別寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題,

并判斷其真假.

（1）若口二夕，則cosa=cos5；

（2）若f+7工-8=0,則x=-8或x=\.

解（1）逆命題:若cosa=cos?，則1二或，假命題；

否命題:若a翔，則cosctRcos夕,假命題；

逆否命題:若cos時cos小則為緲,真命題.

⑵逆命題:若x=-8或無=1,則*+7%-8=0,真命題；

否命題:若f+748邦,則存?8且存1,真命題；

逆否命題:若咫-8且咫1,則』+7長算0,真命題.

18.（本小題滿分12分）設q（%）:cosZr=cos（;v+7t）.

⑴寫出式兀），并判斷它是否是真命題；

（2）寫出氏譏爐、并判斷它是否是真命題.

解（1）夕（兀）為COS27l=COS（7l+兀），

即cos2TT=COS2兀,是真命題.

（2）“Vx￡R，夕（X）"為"VxWR,cos2x=cos（x+7c）,,?

這是假命題.

因為當x=0時,cos2x=cos0=1,

COS（0+7t）=-l,COS2r^COS（X+7C）,

所以該命題不是真命題.

19.（本小題滿分12分）已知命題p：mx（）GR,使得4好+（a-2）xo+：WO,命題4:/7“+10?0,若命題

p為假，命題q為真，求a的取值范圍.

解因為命題p為假，所以其否定“VxGR,4x2+(a-2)x+Z>0恒成立"為真命題，

4

則A=((Z-2)2-4X4xl=a2-4tz<0,

4

所以0<a<4,又命題q為真，得2WaW5,所以a的取值范圍是[2,4).

20.(本小題滿分12分)已知命題°”~0,+00),(少+機-1<0;命題4：電6(0,+8),〃?喘+4所1=0.

若“p且q”為真命題,求實數m的取值范圍.

解若命題p是真命題，則(p'+w-l<0對x>0恒成立，

即對x>0恒成立，

當x>0時,0〈(力<1,則-1<-(少<0,

.：m-1W-1,即mWO;

若命題q是真命題,則關于x的方程32+4叱1=()有正實數根，

:'x>0,由mx2+4x-1=0,^，”=}—：=(j-2)2-4e[-4,+oo);

因為“p且q”為真命題，所以p和q都是真命題，

故實數m的取值范圍是[-4,0].

21.(本小題滿分12分)已知命題p:W-3x+2W0,命題^:X2-2X+1-/W2<0(W7>0).

(1)若p是q的充分條件,求實數〃，的取值范圍；

⑵若m=4,p7q為真命題,0八“為假命題,求實數x的取值范圍.

解(1)對于命題P：已知F-3x+2WO,.：(x-1)(x-2)W0,即1WxW2,

.：x的取值范圍為A=[l,2],

對于命題q:已知』-2X+1-〃?2W0()〃>0),

Z[x-(l-m)][x-(l+/w)]^O,

?:x的取值范圍為+m].

:力是q的充分條件，?:AG民

?修昌2,即E1+8)

(2)若〃為真命題，則1若q為真命題，則?3WxW5,:'pVq為真命題,〃人4為假命題,

?：p,q一真一假.

若。真4假'則1f1<<_%3,<或2x,>5j無解；

若〃假鄉(xiāng)真，則

卜<1,或x>2,

1-3<x<5,

Zxe[-3,1)U(2,5].

綜上:xd[-3,1)U(2,5].

22.(本小題滿分12分)己知小GR,命題p:對VxC[0,8],不等式logKx+1)》療-3〃？恒成立;命題

3

q:對Vx￡(-oo,-l),不等式2X1+x>2+mx恒成立.

⑴若命題p為真命題,求實數相的取值范圍；

Q)若p/\q為假,pVq為真,求實數m的取值范圍.

解⑴令/U)=logl(x+1)，則於)在(-1,+8)上為減函數，

3

因為x￡[0,8],所以當x=8時?r)min=A8)=-2,

不等式log工(x+1)2毋-3根恒成立，等價于-22毋_3”,解得1W相<2,

3

故命題p為真，實數m的取值范圍為[1,2].

⑵若命題q為真，則帆>2方：+1,對VxG(-8,-l)上恒成立，

令g(x)=2r-j+l,因為g(x)在xC(-8,-1)上為單調增函數,

則g(x)vgGD=L故1,即命題q為真"21.

若pi\q為假,pVq為真,則命題p,q一真一假;

①若p為真,q為假，那么無解;

血<1或血>2,則心2.

②若p為假,q為真，那么

m>i,

綜上，團的取值范圍為(2,+8).

第二章測評

(時間:120分鐘滿分:150分)

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)

1.方程￥+2/=4所表示的曲線是()

A.焦點在x軸的橢圓

B.焦點在y軸的橢圓

C.拋物線

D.圓

解析方程化為2+邑=1,因此其表示焦點在X軸的橢圓.

42

答案A

2.雙曲線5—3=1的實軸長為（）

34

A.2B.4

C.V3D.2V5

解析雙曲線J=1,其中4r5力=2,其焦點在x軸上,則該雙曲線與x軸的交點為（丫3。）與

（-0,0）,則實軸長2a=2j3.故選D.

答案D

3.已知雙曲線盤-3=1（心0/>0）的漸近線方程為尸玲慧則此雙曲線的離心率為（）

A?B.李

23

C.5D.孚

33

解析因為雙曲線焦點在X軸上，所以于是e=￡==b手.

答案D

4.已知拋物線C:y2=8x焦點為F,點P是C上一點,0為坐標原點，若△P0F的面積為2,則|P用

等于（）

A.-B.3

2

7

D.4

2

解析由已知得F（2,0）,設P（沏而，貝哈2仇1=2,所以|%|=2,于是沏苦,于是附|=沏+：=|

答案A

5.已知一個動圓P與圓O:f+）2=1外切,而與圓C:?+/-6x+8=0內切，則動圓圓心P的軌跡是

（）

A.雙曲線的一支B.橢圓

C.拋物線D.圓

解析設動圓半徑為R,依題意有|PO|=R+1,|PC|=R-1,因此|P0|-|PC|=2,而|0C|=3,由雙曲線定

義知點P的軌跡為雙曲線的右支.

答案A

6.已知點A是拋物線丁=2/@>>0）上一點，點尸是拋物線的焦點,。為坐標原點，當|AF|=4時,N

。砌=120°,則拋物線的準線方程是（）

A.x=-1B.x=-3

C.x=-1或x=-3D.y=-1

解析由題意以-90°=30°,

過點A作準線的垂線AC,過點尸作AC的垂線，垂足分別為C,B.

如圖4點到準線的距離為d^\AB\+\BC\^p+2=4,解得p=2,則拋物線的準線方程是x=-1.

故選A.

答案A

7.過橢圓捻+5=l（a>b>0）中心的直線交橢圓于A,B兩點，右焦點為F2（c,0）,則△4g的最大

面積為（）

A.abB.ac

C.bcD.從

解析設A,B兩點的縱坐標分別為yA,yB.S..SF=加尸21（1%1+1）棚），而1叫用=1訓廿尻所以

Smax=1c.

答案C

8.已知雙曲線的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸,若雙曲線的一個焦點坐標為（0,遍），且圓

x2+O--V5）2=l與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的方程是（）

A，4-7=IBA2=I

44

2D."=l

rX21

cTy=l6

解析雙曲線的一個焦點坐標為（0,V5）,則c=\5.

由題意可知焦點在y軸上,

設雙曲線為｝?一￡=1,漸近線為by±ax=O.

焦點到漸近線的距離為1—-b,

102+/

即h=\,a=y/c2-b2=2,

則雙曲線的方程是匕故選B.

4

答案B

9.已知點P(乂0?0)在橢圓5+9=1上,其左、右焦點分別是F1,F2,若/為尸尸2為鈍角，則沏的取

值范圍是()

A.(-3,3)

B.(-oo,-2V2)U(2V2,+a))

C.(-°O,-3)U(3,+OO)

D.(-2＞/2,2V2)

解析由已知得FI(-3,0),F2(3,0),

所以PF*=(-3?向,-先)出8=(3-x0,-y0),

則P&?PEz=*+環(huán)-9,而丫旨=3-1就，

所以"馬=：珞6.

又NQPa為鈍角，所以:好-6＜0,

解得-2々＜沏＜271

答案D

10.橢圓芻+匕=1(?！罚?)的左、右焦點分別為尸|42,上頂點為A,若△ABB的面積為V3,且/

QA&=4NAQF2,則橢圓方程為()

A.y+/=1

B.§+5=1

32

得+曠=1

解析在△4Q&中/F產AF2,NQAF2=4NAQF2,則/AF|F2=30°,

所以”當

又△AQ&面積為百,

即S=^2cxb=yf3,

解得6=l,c=V5,則a=\>b2+c2=2,

、r2O

所以橢圓方程為--+)*"-1.

4

答案C

11.過橢圓M+E=l內一點M(2,l)引一條弦，使弦被點M平分，則這條弦所在直線的斜率等于

164

)

A.-2Bi

D.2

解析設所求直線的斜率為k,則其方程為y-l=A(x-2),代入橢圓方程并整理，得

(4必+1*-8(2必-A)x+4(2h1六16=0.

設直線與橢圓的交點為A(x,,y1),仇應,”)，

則X|/2是方程的兩根，

于是粽.

2

又加為川的中點，所以手=箸詈=2,解得仁宏

答案C

12.如圖所示，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線/,交拋物線于點4,8.交其準線于點C,若

18cl=V2|BF|,且|A尸|=0+1廁此拋物線的方程為（）

A.)P=@

BJ2=2X

C.y2=yf3x

D.）?=3x

解析如圖，過點A作AD垂直于拋物線的準線,垂足為D,

過點B作BE垂直于拋物線的準線，垂足為E,點、P為準線與x軸的交點,

由拋物線的定義，由F|=|8E|,|AF|=|AO|=1+1,

因為|8q=0|2F|,所以18cl=V2|BE|,所以ZDCA=45°,

|AC|=y/2\AD\=2+>/2,\CF\=2+>/2-V2-l=l,

所以|PF|=,=1即片由F|=/

所以拋物線的方程為9=內,故選A.

答案A

二'填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）

13.已知雙曲線C:g-p=l的焦距為4,點P（1,V3）在雙曲線C的漸近線上，則C的方程

為.

解析雙曲線隹一盤=1的漸近線方程為產冷

:?雙曲線C：5—5=1的焦距為4,點在C的漸近線上，可得a=J3"

?：2c=4,

:心辦猶

?：〃2=3/2=1,

.：雙曲線C的方程為94=1.

故答案為9-f=]

答案

14.若直線x-my+m=O經過拋物線f=2p)0>O)的焦點，則p=.

解析：?直線x-my+tn-Q可化為x-/n(^-l)=O,

所以直線x-my+m=O過點(0,1),

即拋物線f=2〃yS>0)的焦點F為(0,1),

.4=1,則〃=2,故答案為2.

答案2

15.已知分別為雙曲線捺一眼=1g>0力>0)的左、右焦點/為雙曲線右支上的一點，且

|PQ|=2|PF2|.若△PF1F2為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為.

解析P為雙曲線右支上的一點，

則由雙曲線的定義可得尸F(xiàn)|\-\PF2\=2a,

由|P尸li=2|PBI,

則|PF]|=4",|PF2|=2a,

由△PQF2為等腰三角形，

則|尸尸1|=|尸也|或|尸匹1=伊61,

即有4a=2c或2c=2a,

即有e==2(e=l舍去).

a

答案2

16.已知橢圓方程為最+f=l(a>6>0),雙曲線方程為《一馬(心0,〃>0),若該雙曲線的兩條

漸近線與橢圓的四個交點以及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓的離心

率與雙曲線的離心率之和為

解析橢圓方程為5+%■=I(a>6>0),雙曲線方程為高%=1(m>0,">0),

若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形

的頂點,可得橢圓的焦點坐標ECO),居(七0),正六邊形的一個頂點A("*,).

■-I+|AF2|=JG+C)'+(苧)2+J(H，+(苧)2=2”,

:V5c+c=2a,

?:橢圓離心率e]=￡=V3-1,

a

因為雙曲線的漸近線的斜率為丫",即三=vG,

m

可得雙曲線的離心率為C2

所以ei+e2=V3-l+2=V5+L

故答案為6+1.

答案V3+1

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(本小題滿分10分)已知雙曲線C的一個焦點與拋物線G：y2=-16x的焦點重合，且其離心率

為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求雙曲線C的漸近線與拋物線G的準線所圍成三角形的面積.

解(1)拋物線G:/=-16%的焦點坐標為(-4,0),因此可設雙曲線方程為盤-。15>0方>0),

則依題意有

解得iz2=4,Z?2=12,

故雙曲線c的方程為

⑵拋物線G的準線方程為x=4,雙曲線C的漸近線方程為y=±B,

于是雙曲線C的漸近線與拋物線G的準線的兩個交點為(4,4丫5),(4,-4J3),

所圍成三角形的面積S=；x8y"x4=16J5.

18.(本小題滿分12分)已知拋物線/=一200>0)上縱坐標為n的點到其焦點F的距離為3.

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線/與拋物線以及圓x2+(y-l)2=l都相切，求直線/的方程.

解(1)由已知得拋物線的準線方程為>=舄則由拋物線的定義知0+三=3,則p=2,

所以拋物線的方程為x-Ay.

(2)由題意知直線I的斜率存在，設其方程為則有瓦消去丫得

』+4丘+4/?=0,

則有/=16爐-16b=0,即O=b.

又直線/與圓￥+()，-1尸=1都相切，所以丹幺=1.

Jk2+1

解方程組后=ZE竦或忙,或憶產

M=b,一’

故所求直線/的方程為y=0或y=、5x+3或y=-vr3x+3.

19.(本小題滿分12分)已知Q,&是橢圓%|+捻=1(〃泌>0)的兩個焦點,橢圓時的離心率為

竽,P(xo?o)是M上異于上下頂點的任意一點，且△PQ&面積的最大值為2V2.

(1)求橢圓M的方程；

(2)若過點C(0,l)的直線I與橢圓C交于A,B兩點，就=2通,求直線I的方程.

c_V6

a-"T，

解(1)據題意，得■；x2cxb=

c2=a2-b2,

.：〃2=6,層=2.

.：橢圓M的方程為9+9,

⑵據題設知，直線AB的斜率存在，設直線/的方程為y=kx+\.

y=kx+1,

據//得（3+d*+2區(qū)-5=0.

，

-6+y=1

、2k5

設A（X|,?）,8（X2,y2）,則X|+X2=-jp,XlX2=-QT.

:‘就=2而，

.：（不，1-力）=2（82,竺-1）?

/?X\=-2X2.

.2k加2k

.XI+A：2=-A：2=-^—77,W'JX2=3+，2

又X|X2=-2媚=-^2，

?：(言

.：k=土店.

故直線/的方程為>'=-v15x+l或了=\每+1.

20.(本小題滿分12分)已知點F是拋物線C:x2=2p)，(p>0)的焦點，點M是拋物線上的定點，且

而=(4,0).

(1)求拋物線。的方程；

2

(2)直線AB與拋物線C交于不同兩點4處,)>),仇必,乃),且x2-l=xi+m(m為常數)，直線I與AB

平行，且與拋物線C相切，切點為N,試問△A8N的面積是否是定值.若是，求出這個定值;若不是,

請說明理由.

解⑴設M(x(),yo),由題知F(0^),

40

所以MF=（-xOtf-yo）=（>）-

-x0=4,%=-4,

所以“。尸

7o=i-

代入/=2pyS>0)中，得16=p2,解得p=4.

所以拋物線C的方程為x2=8y.

(2)由題意知，直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+h.

由”匕+瓦

lx2=8y,

消去y,整理得上8"-8〃=0,

貝IX]+X2=Sk,X\X2=~^b.

?：)，i+)，2=〃5+應)+2h=8d+2〃，

設A8的中點為。，

則點Q的坐標為(4￡4乃+3.

由條件，設切線方程為y=fci+f,

由y=h+t,

lx2=8y,

消去y整理得x2-8fcc-8f=0.

:?直線與拋物線相切，

.：/=64爐+32f=0.

.：r=-2好.

?：7-8丘+16左2=0,

?：x=4匕

.:尸2k3

.：切點N的坐標為(4k,29).

.：NQJ_x軸，

.：|NQ=(4d+b)-2d=2d+人

：二2-兩="+1,

又：口2-X|)2=(X]+工2)2-4X/2=64必+328.

二2爐十^^^.

32

??SAABN=,WQ|.|工2-%1=7(2F+份.\X2-X\I=⑺二1)一.

ZZ64

；m為常數，

.：△ABN的面積為定值，且定值為(m：+i廣

4+S=l(a>6>0)的左、右焦點，點產(-1亨)在

21.(本小題滿分12分)已知BE分別是橢圓

橢圓E上，且拋物線J=4x的焦點是橢圓E的一個焦點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)過點尸2作不與x軸重合的直線/,設/與圓/+)，2=d+/相交于兩點，且與橢圓E相交于

CQ兩點，當鉆?”=1時，求的面積.

解(l)y2=4x焦點為尸(1,0),

則橢圓E的焦點Q(-l,0),B(l,0).

2a=|PFi|+|P&l=2Vl

解得a=V2,c=l力=1,

所以橢圓E的標準方程為9+丁=1.

(2)由已知，可設直線/方程為x=)+l,A(xi,yi),B(X2,y2).

,_2t

聯(lián)立，得(廣+1)/+2)-2=0,易知/＞0.則「’~

凡A-+1)(忿+1)+力＞2=(加+2)(。2+2)+?兒

二(r+1?】力+2心+”)+4=^^.

因為F1A,F1B=\,

所若等1,解得寫

x=ty+1,

聯(lián)立/二得(F+ZM+Zry-UOZug^+l)〉。.

e+y=1，

設。＞3,)3),3(工4?4),

%+%=-磊

則

=一岳

1、；&1+#)

7

22.(本小題滿分12分)已知橢圓礙+好=1(“?>0)的長軸長為20,離心率為二

(1)求楠圓C的方程；

(2)過動點M(0,M(〃i>0)的直線交x軸于點N,交橢圓C于點A,PkP在第一象限)，且點M是線

段PN的中點.過點尸作x軸的垂線交橢圓C于另一點Q,延長QM交橢圓C于點8

①設直線PM、QM的斜率分別為后,1,證明稱為定值；

②求直線AB斜率取最小值時，直線PA的方程.

解（1）由題意得2a=2>j2,-=

a2

所以a=y/2,c=1,/?=va2-c2=V2-l=l.

故橢圓方程為三+）2=].

（2）①設P（沏jo）ao>Ojo>O）,由可得?（的,2m）,。（即,-2加），

所以直線PM的斜率上獨四=三直線QM的斜率〃=以工=.江

XQX0XQXQ

此時三二-：,所以三為定值

②設4兩田）,8（》2?2）,直線PN的方程為尸爪+也

直線QB的方程為y=?3履+"?.

y=kx-^-m,

聯(lián)立了,整理得（2爐+1*+4輸+2"』?2=0,

w+y2=i,

（A=16k2m2-8（m2-l）（2k2+1）>0,

由2m2.2

…汨？

可得X產2產2

（2r+i）x0

yi=kx\+m=k-丁z一+

”(2fc+l)x0

同理xz--'7—,y^=-3kx^+m=-3k—坊”—+tn.

(i8r+i)xo-(isr+i)xo

32k2(/0

所以X[-X2

(2/+1)(187+1)x0'

2^-2-2nl2.2

丁「丁Oi，----+K------,

2=34----Z

(18^+l)xo(2fc+l)x0

26fc24-l

124fc4-4

yry2=2k(m-\)=8W-1)

(2fc2+1)(18ic2+l)xo(2k?+1)(18K+l)xo'

2

?廠及_6k+1=；（6A+P，

所以以8=

X1-X24k

由心。應＞。,可知k＞。,所以6A+言2倔當且僅當中時取等號.

由尸（沏,2〃7）,"?＞0,沏＞0在橢圓C：T7+y2=l上，得Xo=v'2?8?n2,

m

k=-2.

X。y2-8m

此^^m.=B，即m耳,

\2.8E267

由/>0得,〃Pv2爐+1,

所以時,〃?二?符合題意.

67

所以直線AB的斜率最小時，直線PA的方程為y=2+蘭.

67

第三章測評

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分）

1.若A,B,C,D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（）

?AB+2BC+2CD+DC;?2AB+2BC+3CD+3DA+AC;?AB+CA+BD;④

AB-CB+CD—AD.

A.①②B.②③

C.②④D.①④

解析①中，原式=亞+2而+加=通+而+而+比=而+前,不符合題意;②中，原式

=2（而+就+而+區(qū)）+（正+而+a）=0;③中，原式=而，不符合題意；④中，原式

=（AB-AD）+（CD-而）=0.故選C.

答案C

2.已知向量a=（-2,1,3）,b=（-1,2,1）,若a_L（aUb）,則實數2的值為（）

A」2B.昔C號D.2

解析：，a，(a/b),

."a-(a-2b)=|a|2-Aa-b=0,

.：|a|2=/la-b,

.：14=雙2+2+3)=7%,

解得42.故選D.

答案D

3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是平行四邊形，麗=(2,-1,⑷,而=(4,2,0),而=(-1,2,-1),則PA

與底面ABCD的關系是()

A.相交B.垂直

C.不垂直D.成60°角

解析因為麗.而=0,而.而=0,所以而，平面ABCD.

答案B

4.已知正四面體ABC。的棱長為a,點E、尸分別是BC、AO的中點，則版?萬的值為()

A./B.VC.VD.?/

424

解析在正四面體A3CQ中，點E、F分別是3C、AD的中點,

/.AE=AB^BE.AF=\AD.

則AE?AF=(AB+BE>；AD=^AB-AD+^BE-AD.

因為是正四面體，所以8E_LAD,NB4)音

即BE-AD=0,

AB-AD=\AB\-\AD\cos^=

>,n2

所以=?，故選B.

4

答案B

5.已知平面a和平面夕的法向量分別為m=(3J,-5),n=(-6,-2,lO),RiJ()

A.a±/?B.a〃4

C.a與p相交但不垂直D.以上都不對

解析Vn=(-6,-2,l0),m=(3,l,-5),

?：n=-2m.?：m〃n.?：a與/i平行.

答案B

6.平行六面體A8CZ5-A]B|GQ中，向量AB.AD.AA1兩兩的夾角均為60°,且

|同|=1,|而|=2,|麗j=3,則|溫|等于()

A.5B.6C.4D.8

222

解析設AB=a,AD=b,AAt=c,則ACt=a+b+c,ACt=a+b+c+2ab+2bc+2ca=25,因此

旗I=5.

答案A

7.三棱錐A-BC力中,AB=AC=AD=2,NB4D=90°，/BAC=60°,貝ij麗?麗等于()

A.-2B.2C,-2V3D.2V3

解析而?麗=麗?(而-技)=麗?而一而?標=2X2XCOS90°-2x2xcos60°=-2.

答案A

8.如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-4向G,CA=CG=2CB,則直線BC\與直線AB}

夾角的余弦值為（）

B手C.竺

A.T

解析不妨設CB=1,則B(0,0』),A(2,0,0),G(0,2,0),5(0,2,1).

.:畫=(0,2,-1)陽=(-2,2,1).

.彳石-、_BCrAB1.0+4-1

<

,?cosSC1,^1>-——==T

故選A.

答案A

9.已知41,0,0),8(0,-1,1),刀+而豆與施的夾角為120°，則2的值為()

A.小善B.[C.￥D,+V6

666

解析因為41,0,0),B(0,-1,1),所以OA+MB=(1,0,0)+2(0,-1,1)=(1,丁)),

|0A+20B|=ar羽

I麗=在，

(0^+205)OB=2z,

所以cos120°=----7^—:

&xgg+i

所以z<0,X4z=-V4A2+2,

解得力=-?,故選C.

o

答案c

10.若正三棱柱ABC-A山Cl的所有棱長都相等,。是A1G的中點，則直線AD與平面BiDC所

成角的正弦值為()

A-sBlC!DT

解析取AC的中點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.

設三棱柱的棱長為2,則A(0,-l,0),D(0,0,2),C(0,l,0),B|(v",0,2),

.:前=(0,1,2).

設n=(x,y,z)為平面B\CD的一個法向量,

由卜亙=0,存,+22=0,

In-CBi=0,+2z=0,

故鵬

令z=［得n=(0,2,l).

設直線A。與平面8QC所成角為a,

則sina=|cos<而,11>|=黑=最后

所以直線A。與平面B0C所成角的正弦值為，.故選A.

答案A

11.如圖是棱長為6的正方體,E,F分別是棱AB,BC上的動點，且AE=BE當

4,E,F,G四點共面時，平面AQE與平面CQ尸所成二面角的余弦值為()

A里

A，2Bi

解析以D為原、點、,DA,DC,DD\所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系，則

4(6,0,6),E(6,3,0),尸(3,6,0).設平面AQE的法向量為川=5力1),依題意得

n，DE=6a+3b=0,

,HiDA1=6a+6c=0,

令a=-l,則c=l/=2,所以n1=(-1,2,1).

同理得平面CQF的一個法向量為n2=(2,-l,l),

由題圖知，平面A|Q￡與平面尸所成二面角的余弦值為風■翼?="

弁1n22

答案B

12.在三棱錐P-ABC中，尸底面A8C,NBAC=9004B=AC=4,NPBC=60°,貝ij點C到平面

PAB的距離是()

.3V42

A—B竿C智D萼

解析：?在三棱錐尸-A8C中,PC_L底面ABC,NBAC=90°AB=AC=4,ZPBC=60°,

.:以A為原點,AB為x軸4c為y軸，過4作平面A8C的垂線為z軸，建立空間直角坐標

--,，,—.

則C(0,4,0),P(0,4,476)^1(0,0,0),B(4,0,0),4C=(0,4,0),AB=(4,0,0),AP=(0,4,4V6),

設平面PAB的法向量n=(x,y,z),

則(九亞=4y+4、后z=0,

br荏=4x=0,

取z=l,得n=(0,-V6,l),

.:點C到平面南8的距離4=處三=4="三

nV77

故選B.

答案B

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.己知向量48=(2,4,5),。。=(34?),若48||CD,貝U孫二.

解析VABII而,?：存在實數k使得第=屈.

(2=3k,

.：4=kr則xy=tr=-^7=45.故答案為45.

(5=ky,卜凈

答案45

14.已知43=(2,2,1),AC=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是.

解析設平面ABC的法向量n=(x,y,z),

則停n=°'.［筑”廣二

Ucn=0,l4x+5y+3z=o.

令z=l,得*=7所以11=良-1,1)故平面ABC的單位法向量為土白土6/I).

答案士(蓑捐)

15.已知正四棱臺ABCQ-A/CQi中，上底面ABCQi邊長為1,下底面ABCD邊長為2,側棱

與底面所成的角為60°,則異面直線4Q與BC所成角的余弦值為.

解析設上、下底面中心分別為01,。，則OO】_L平面ABCQ,以O為原點，直線BDAC,OOt分別

為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.

因為AB=2A8=1,

所以AC=BO=2V2,AIG=B|O|=VI

因為平面8￡>￡)|8|J_平面ABCD,

所以NB1B。為側棱與底面所成的角,

故/880=60°.

設棱臺高為〃，則tan60°=—

已考2

所以40,-々,0）,2（-號,0孚、Bl停o￥）,c（o,V2,o）,

所以詆=（一條、②今說=（一條在閨

，AD\B^C__1

故cos<4D1,B1C>=

而氤i=7

故異面直線4￡>i與&C所成角的余弦值為土

4

答案;

4

16.已知矩形ABCD中48=1,8C=將矩形A8CZ）沿對角線AC折起,使平面ABC與平面ACZ）

垂直，則B與D之間的距離為.

解析如圖，過B,D分別向4C作垂線，垂足分別為M,N.

則可求得AM4BMQCN4DN=^,MN=1.

由于BD=BM+MN+ND,所以

I麗2=（而+MN+詬尸=|麗知麗2+麗2+2（曲.而+而.而+麗麗）=（一）+

儼+停）+2（0+0+0）奉攵|麗丹.

710

合木—~

三'解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（本小題滿分10分）在四棱錐P-ABCD中工BCD為平行四邊形/C與BD交于O,G為BD

..、■__,

上一點,BG=2G。,PA=a,PB=b,PC=c，試用基底｛a,b,c｝表示向量PG.

p

解因為BG=2GD,所以前=|麗.

又麗=BA+BC=PA-PB+