人教課標實驗版七年級下冊三角形課題學習鑲嵌【全國一等獎】

用正多邊形拼地板【學習目標】1．理解正三角形、正方形、正六邊形以及任意三角形、四邊形能鑲嵌平面的道理．2．理解兩種以上正多邊形的組合鋪滿地面所必須具備的條件．3．體驗數(shù)學在實際生活中的應(yīng)用．4．感受數(shù)學美，創(chuàng)造更美麗的圖案．【主體知識歸納】當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時，這幾個多邊形就能拼成一個平面圖形．【基礎(chǔ)知識精講】1．通過用正多邊形拼地板的問題，理解正三角形、正方形、正六邊形乃至任意三角形、四邊形能鑲嵌平面的理由，體驗應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的過程，學會必要的數(shù)學方法．2．由多種正多邊形拼地板的組合盡管能夠圍繞一點拼成周角，但不能擴展到整個平面，即不能鋪滿平面3．根據(jù)自己的愛好，設(shè)計各種各樣美麗的圖案．通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增進應(yīng)用數(shù)學的自信心．【例題精講】例1．請問能否全用正五邊形的材料鋪滿地面，為什么?解:不能全用正五邊形材料鋪滿地面．因為正五邊形的每個內(nèi)角為＝108°,要鋪成平整、無空隙的地面，必須滿足圍繞一點拼在一起的若干個正五邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角，即360°．但找不到符合條件的整數(shù)n，使n·108°＝360°，故不能全用形狀為正五邊形的材料鋪滿地面．例2．用兩種多邊形鋪滿地面．圖8－55分析：如果用兩種不同邊數(shù)的正多邊形鋪滿地面，同樣，必須在一個頂點處，正多邊形的內(nèi)角之和為360°．解：（1）正三角形與正方形．設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形的角、n個正方形的角．那么，這些角的和應(yīng)滿足方程：m·60°＋n·90°＝360°，即2m＋3n（2）正三角形與正六邊形．設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形的角、n個正六邊形的角．那么，應(yīng)有m·60°＋n·120°＝360°，即m＋2n＝6．（3）正三角形與正十二邊形．設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形的角、n個正十二邊形的角．那么，這些角的和應(yīng)滿足方程：m·60°＋n·150°＝360°，即2m＋5n（4）正四邊形與正八邊形．設(shè)在一個頂點周圍有m個正四邊形的角、n個正八邊形的角．那么，這些角的和應(yīng)滿足方程：m·90°＋n·135°＝360°，即2m＋3n例3．你能用三種不同的正多邊形鋪滿地面嗎？解：用三種不同正多邊形鑲嵌，同樣，必須在一個頂點處，正多邊形的內(nèi)角之和為360°，如果正多邊形的邊數(shù)分別為n1、n2、n3，且每一個頂點處，一種正多邊形只有一個，則根據(jù)平面鑲嵌的條件，必須有這樣，上式的正整數(shù)解可列表如下Non1n2n3137422382433918431015531212645207461284889551010666如圖8－56就是其中的一個．圖8－56（2）一個頂點處，各種正多邊形不只一個的可類似討論，比較復(fù)雜．略由（1）（2）知能用三種不同的正多邊形鋪滿地面．1．填空題（1）正三角形的每一個內(nèi)角都是_______度，用_______個正三角形拼在一起，可以鋪滿地板．（2）正方形的每一個內(nèi)角都等于_______度，所以用_______個正方形拼在一起，可以鋪滿地面．（3）正八邊形的每一個內(nèi)角都是_______度，而一個周角為_______度，360不是135的整數(shù)倍，所以用正八邊形_______能鋪滿地面．（4）我們常常見到像下列圖8－57那樣圖案的地板，它們分別是用正方形、等邊三角形、正六邊形的材料鋪成的，用這樣形狀的材料能鋪成平整、無空隙的地板，這是因為____________．圖8－57（5）能夠使用兩種不同形狀的正多邊形瓷磚拼成無縫隙的地板的組合是_______或_______或_______．（6）如圖8－58，分別指出下列圖形組合是哪幾種正多邊形組合：圖8－58（a）_______；（b）_______；（c）_______；（d）_______；（e）_______；（f）_______．2．我們知道，任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°，紅光木器廠的工人師傅準備用—批形狀、大小完全相同，但不規(guī)則的四邊形邊腳余料用來鋪設(shè)地板．你認為工人師傅這樣做行嗎?請你用一疊白紙剪一些這樣的任意四邊形拼一拼．（如圖8－59）圖8－59用若干個這樣的五邊形能否鋪滿地面，試一試，把結(jié)果貼在下面，與同伴進行交流．圖8－604．動手做．請你用一些薄紙片，剪出以下形狀的小拼塊：圖8－61于是，你就有一副簡單的拼圖了．（1）請你試著把它們拼成一個正方形．（2）將拼圖的痕跡用實線在圖8－62正方形中畫出來．圖8－62（3）若想把你的拼圖變得更漂亮、更有趣，你可以在拼成的正方形（如圖8－62）上畫上自己喜愛的圖形，并涂上自己喜歡的顏色，再將拼成正方形的各小拼塊拆開，于是你就擁有一副漂亮、有趣的拼圖了．現(xiàn)在你可以與同學交換著來玩各自設(shè)計的拼圖游戲．5．觀察圖8－63中兩塊地磚的草圖，它們利用基本圖形的不同顏色，排放而構(gòu)成新的圖案，從而更多樣、美麗．請你也試一試用我們所學過的基本圖形來設(shè)計一種地磚的樣式．圖8－63參考答案1．（1）606（2）904（3）135360不（4）繞著一點的內(nèi)角和為360°（5）正三角形與正方形正三角形與正六邊形正方形與