2023屆重慶市江津、巴縣、長壽等七校聯(lián)盟數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則的值為（）A．2 B．1 C．0 D．2．（）A． B． C．2 D．13．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．4．下列四個結(jié)論：①在回歸分析模型中，殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越好；②某學校有男教師60名、女教師40名，為了解教師的體育愛好情況，在全體教師中抽取20名調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣；③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越弱；反之，線性相關(guān)性越強；④在回歸方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位.其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④C．②③ D．②④5．從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．286．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．用反證法證明命題“平面四邊形四個內(nèi)角中至少有一個不大于時”，應(yīng)假設(shè)（）A．四個內(nèi)角都大于 B．四個內(nèi)角都不大于C．四個內(nèi)角至多有一個大于 D．四個內(nèi)角至多有兩個大于8．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．5 D．69．若變量滿足約束條件，則的取值范圍是()A． B． C． D．10．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．11．設(shè)集合，則的元素的個數(shù)為（）A． B． C． D．12．已知有窮數(shù)列2，3，，滿足2，3，，，且當2，3，，時，若，則符合條件的數(shù)列的個數(shù)是

A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．除以9的余數(shù)為_______；14．給出定義：對于三次函數(shù)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.已知函數(shù).設(shè).若則__________．15．某單位普通職工和行政人員共280人．為了解他們在“學習強國”APP平臺上的學習情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職員中抽取容量為56的樣本．已知從普通職工中抽取的人數(shù)為49，則該單位行政人員的人數(shù)為____．16．已知隨機變量服從二項分布，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，當時，函數(shù)有極小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.18．（12分）已知O是平面直角坐標系的原點，雙曲線.（1）過雙曲線的右焦點作x軸的垂線，交于A、B兩點，求線段AB的長；（2）設(shè)M為的右頂點，P為右支上任意一點，已知點T的坐標為，當?shù)淖钚≈禐闀r，求t的取值范圍；（3）設(shè)直線與的右支交于A，B兩點，若雙曲線右支上存在點C使得，求實數(shù)m的值和點C的坐標.19．（12分）現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機抽取了位醫(yī)護人員的關(guān)愛患者考核分數(shù)(患者考核:分制)，用相關(guān)的特征量表示；醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)(試卷考試:分制),用相關(guān)的特征量表示，數(shù)據(jù)如下表:（1）求關(guān)于的線性回歸方程(計算結(jié)果精確到)；（2）利用(1)中的線性回歸方程，分析醫(yī)護專業(yè)考核分數(shù)的變化對關(guān)愛患者考核分數(shù)的影響，并估計當某醫(yī)護人員的醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)為分時，他的關(guān)愛患者考核分數(shù)(精確到).參考公式及數(shù)據(jù):回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，其中.20．（12分）已知函數(shù)，，（1）當時，求函數(shù)的最小值．（2）當時，對于兩個不相等的實數(shù)，，有，求證：．21．（12分）為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200m，圓心角為的扇形地上建造市民廣場，規(guī)劃設(shè)計如圖：內(nèi)接梯形區(qū)域為運動休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑，上，C，D在圓弧上，；上，；區(qū)域為文化展區(qū)，長為，其余空地為綠化區(qū)域，且長不得超過200m.(1)試確定A，B的位置，使的周長最大？(2)當?shù)闹荛L最長時，設(shè)，試將運動休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當時，求的最小值；（Ⅱ）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：令x=1，可得1=a1．令x=，即可求出．詳解：，令x=1，可得1=．令x=，可得a1+++…+=1，∴++…+=﹣1，故選：D．點睛：本題考查了二項式定理的應(yīng)用、方程的應(yīng)用，考查了賦值法，考查了推理能力與計算能力，注意的處理，屬于易錯題．2、A【解析】

根據(jù)定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，即可求出結(jié)果.【詳解】因為定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，又表示圓的一半，其中；因此定積分表示圓的，其中，故.故選A【點睛】本題主要考查定積分的幾何意義，熟記定積分幾何意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)殘差的意義可判斷①；根據(jù)分成抽樣特征，判斷②；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷③；由回歸方程的系數(shù)，可判斷④．【詳解】根據(jù)殘差的意義，可知當殘差的平方和越小，模擬效果越好，所以①錯誤；當個體差異明顯時，選用分層抽樣法抽樣，所以②正確；根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)特征，當相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，所以③錯誤；根據(jù)回歸方程的系數(shù)為0.5，所以當解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位.綜上，②④正確，故選D.【點睛】本題考查了統(tǒng)計的概念和基本應(yīng)用，抽樣方法、回歸方程和相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】試題分析：根據(jù)題意：，故選C.考點：排列組合.6、A【解析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡可得，則離心率.方法二：因為焦點到漸近線的距離為，則有平行線的對應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.7、A【解析】

對于“至少一個不大于”的否定為“全都大于”，由此得到結(jié)果.【詳解】“平面四邊形四個內(nèi)角中至少有一個不大于”的否定形式為：“平面四邊形四個內(nèi)角中都大于”，即反證法時應(yīng)假設(shè)：四個內(nèi)角都大于本題正確選項：【點睛】本題考查反證法的假設(shè)，關(guān)鍵是明確至少問題的否定的形式，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【詳解】解：變量，滿足約束條件的可行域如圖所示：目標函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當直線經(jīng)過可行域的點時，縱截距取得最小值，則此時目標函數(shù)取得最大值，由可得，目標函數(shù)的最大值為：5故選C．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9、B【解析】分析：根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，再將目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為，則為直線的截距，通過平推法確定的取值范圍.詳解：（1）畫直線，和，根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，如圖所示.（2）將目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為直線，則為直線的截距.（3）畫直線，平推直線，確定點A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,聯(lián)立方程組,解得，B坐標為（4）分別將點A、B坐標代入，，的取值范圍是故選B.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵.目標函數(shù)型線性規(guī)劃問題解題步驟：（1）確定可行區(qū)域（2）將轉(zhuǎn)化為，求z的值，可看做求直線，在y軸上截距的最值。（3）將平移，觀察截距最大（?。┲祵?yīng)的位置，聯(lián)立方程組求點坐標。（4）將該點坐標代入目標函數(shù)，計算Z。10、C【解析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運算可得到解。詳解：解絕對值不等式，得；由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得根據(jù)集合的運算得所以選C點睛：本題考查了解絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域，集合的基本運算，是基礎(chǔ)題。11、C【解析】分析：分別求出A和B，再利用交集計算即可.詳解：，，則，交集中元素的個數(shù)是5.故選：C.點睛：本題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.12、A【解析】

先選出三個數(shù)確定為，其余三個數(shù)從剩下的7個里面選出來，排列順序沒有特殊要求.【詳解】先確定，相當于從10個數(shù)值中選取3個，共有種選法，再從剩余的7個數(shù)值中選出3個作為，共有種選法，所以符合條件的數(shù)列的個數(shù)是，故選A.【點睛】本題主要考查利用排列組合的知識確定數(shù)列的個數(shù)，有無順序要求，是選擇排列還是組合的依據(jù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將變?yōu)?，利用二項式定理展開可知余數(shù)因不含因數(shù)的項而產(chǎn)生，從而可知余數(shù)為.【詳解】由題意得：除以的余數(shù)為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查余數(shù)問題的求解，考查學生對于二項式定理的掌握情況，關(guān)鍵是能夠配湊出除數(shù)的形式，屬于常考題型.14、-4037【解析】

由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù),令二階導(dǎo)數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進而可求的解析式,求導(dǎo),當代入導(dǎo)函數(shù)解得,計算求解即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點對稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點對稱,,兩式相加得,則.所以當時,解得:,所以則.故答案為:-4037.【點睛】本題考查對新定義的理解,考查二階導(dǎo)數(shù)的求法,仔細審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.15、1【解析】

由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為7，再求得抽樣的比列，再用7除以此比例，即得該學校的行政人員人數(shù)．【詳解】由題意可得，抽取的行政人員數(shù)為56﹣49＝7，抽樣的比列為，故該學校的行政人員人數(shù)是71，故答案為1．【點睛】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用數(shù)據(jù)計算抽樣比例是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

直接利用二項分布公式得到答案.【詳解】隨機變量服從二項分布，則故答案為：【點睛】本題考查了二項分布的計算，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)由題意得，解方程即得a，b的值即得解；（2）先求出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即得函數(shù)的值域.【詳解】（1），由題意得，解得，，經(jīng)檢驗為的極小值點，符合題意.（2）由（1）得當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因為，，所以的最大值為.所以在上的值域為.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）（3），.【解析】

（1）根據(jù)題意求出A、B兩點坐標，即得線段AB的長；（2）先列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)確定最小值取法，即得t的取值范圍；（3）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用韋達定理求,解得C點坐標（用m表示），代入雙曲線方程解得m的值和點C的坐標.【詳解】（1）因為，所以令得（2）,設(shè)，則由題意得時取最小值，所以（3）由，得，設(shè)，則，所以，因為在上，所以因為點C在雙曲線右支上，所以【點睛】本題考查雙曲線弦長、直線與雙曲線位置關(guān)系以及函數(shù)最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、(1).(2)隨著醫(yī)護專業(yè)知識的提高，個人的關(guān)愛患者的心態(tài)會變得更溫和，耐心。因此關(guān)愛忠者的考核分數(shù)也會穩(wěn)定提高；他的關(guān)愛患者考核分數(shù)約為分.【解析】分析：（1）由題意結(jié)合線性回歸方程計算公式可得，，則線性回歸方程為.（2）由(1)知.則隨著醫(yī)護專業(yè)知識的提高，關(guān)愛忠者的考核分數(shù)也會穩(wěn)定提高.結(jié)合回歸方程計算可得當某醫(yī)護人員的醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)為分時，他的關(guān)愛患者考核分數(shù)約為分，詳解：（1）由題意知所以，，所以線性回歸方程為.（2）由(1)知.所以隨著醫(yī)護專業(yè)知識的提高，個人的關(guān)愛患者的心態(tài)會變得更溫和，耐心.因此關(guān)愛忠者的考核分數(shù)也會穩(wěn)定提高.當時，所以當某醫(yī)護人員的醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)為分時，他的關(guān)愛患者考核分數(shù)約為分，點睛：一是回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．二是根據(jù)回歸方程進行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）先由得，對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，即可求出最值；（2）先由，得到，對函數(shù)求導(dǎo)，得到其單調(diào)區(qū)間，再設(shè)，令，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進而可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）當時，，∴，由得；由得；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.（2）當時，，對于兩個不相等的實數(shù)，，有，∵，由得；由得；∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，令，∴，當時，，，，∴，∴在單調(diào)遞減，∴，即，因為，則，由以上可知，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，又，，在上單調(diào)遞減，所以，因此.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，最值等，屬于?？碱}型.21、（1）、都為50m；（2）；；最大值為.【解析】

對于（1），設(shè)，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論；對于（2），當△AOB的周長最大時，梯形ACBD為等腰梯形，過O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，則E、F分別為AB，CD的中點，利用已知可表示出相關(guān)線段；然后利用梯形的面