2023屆云南省玉溪市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2017新課標(biāo)全國(guó)I理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．82．某中學(xué)高二年級(jí)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組擬完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)哪成鐓^(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從本年級(jí)12名體育特長(zhǎng)生中隨機(jī)選出5人調(diào)查其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況；則該研究性學(xué)習(xí)小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣3．已知一系列樣本點(diǎn)…的回歸直線方程為若樣本點(diǎn)與的殘差相同，則有()A． B． C． D．4．已知函數(shù)則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0，1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)5．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．6．以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．7．已知的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．408．在橢圓內(nèi)，通過點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．9．已知，且.則展開式中的系數(shù)為（）A．12 B．-12 C．4 D．-410．將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．12．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，則（）A． B．0 C．1 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)若存在互不相等實(shí)數(shù)有則的取值范圍是______.14．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的模等于__________.15．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)直徑為24cm，深為8cm的空穴，則這球的半徑為______cm.16．將參數(shù)方程（為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成普通方程為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.（2））討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.18．（12分）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若曲線過點(diǎn)的切線有兩條，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且曲線與在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同.（1）求的最小值；（2）若時(shí)，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某校20名同學(xué)的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩⑦@20名同學(xué)的兩顆成績(jī)繪制成散點(diǎn)圖如圖：根據(jù)該校以為的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)線性相關(guān).已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)椋⒄Z(yǔ)平均成績(jī)，考試結(jié)束后學(xué)校經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)號(hào)為的同學(xué)與學(xué)號(hào)為的同學(xué)（分別對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖中的）在英語(yǔ)考試中作弊，故將兩位同學(xué)的兩科成績(jī)?nèi)∠?取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求其余同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與英語(yǔ)成績(jī)的平均數(shù)；取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績(jī)后，求數(shù)學(xué)成績(jī)x與英語(yǔ)成績(jī)y的線性回歸直線方程，并據(jù)此估計(jì)本次英語(yǔ)考試學(xué)號(hào)為8的同學(xué)如果沒有作弊的英語(yǔ)成績(jī).（結(jié)果保留整數(shù)）附：位同學(xué)的兩科成績(jī)的參考數(shù)據(jù)：參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.點(diǎn)睛:求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.2、D【解析】

①總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成時(shí)，應(yīng)選用分層抽樣；②總體個(gè)體數(shù)有限、逐個(gè)抽取、不放回、每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均等，應(yīng)選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；∴選D3、C【解析】

分別求得兩個(gè)殘差，根據(jù)殘差相同列方程，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】樣本點(diǎn)的殘差為，樣本點(diǎn)的殘差為，依題意，故，所以選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查殘差的計(jì)算，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，作出的圖象，觀察它與直線的交點(diǎn)，得知當(dāng)時(shí)，或時(shí)有交點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn).考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，做題時(shí)注意三者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．5、D【解析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.6、D【解析】

由題求已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出值即可得答案?！驹斀狻坑深}可知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又因?yàn)殡x心率為，所以，解得，所以，即，所以漸近線方程是故選D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題的關(guān)鍵是判斷出焦點(diǎn)位置后求得，屬于簡(jiǎn)單題。7、B【解析】

首先根據(jù)二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，求得，再求二項(xiàng)展開式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，所以，又二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為=，，所以二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為．答案選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開系數(shù)、通項(xiàng)等公式，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】試題分析：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)分別為，則，又，兩式相減化簡(jiǎn)得，即以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，即，故選A.考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.9、D【解析】

求定積分得到的值，可得的值，再把按照二項(xiàng)式定理展開式，可得中的系數(shù)．【詳解】∵，且，則展開式，故含的系數(shù)為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得，選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換11、B【解析】

由和都是定義在上的偶函數(shù)，可推導(dǎo)出周期為4，而，即可計(jì)算.【詳解】因?yàn)槎际嵌x在上的偶函數(shù)，所以，即，又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)周期，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，利用周期求函數(shù)值，屬于中檔題.12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)仍成等差數(shù)列，則，則，，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

不妨設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性求得的值.根據(jù)絕對(duì)值的定義求得的關(guān)系式，將轉(zhuǎn)化為來(lái)表示，根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，畫出函數(shù)的圖像如下圖所示.二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以.不妨設(shè)，則由得，得，結(jié)合圖像可知，解得，所以，由于在上為減函數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查二次函數(shù)的圖像，考查含有絕對(duì)值函數(shù)的圖像，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)除法計(jì)算出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算出的模即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法計(jì)算以及復(fù)數(shù)模的求解，難度較易.已知復(fù)數(shù)，所以.15、13；【解析】

設(shè)球的半徑為，得到截面圓的半徑為，球心距為，再由，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，將球取出，留下空穴的直徑為，深，則截面圓的半徑為，球心距為，又由，即，化簡(jiǎn)得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的幾何特征，其中解答中根據(jù)球的半徑，截面圓的半徑，以及球心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

將參數(shù)方程變形為，兩式平方再相減可得出曲線的普通方程.【詳解】將參數(shù)方程變形為，兩等式平方得，上述兩個(gè)等式相減得，因此，所求普通方程為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化為普通方程，在消參中，常用平方消元法與加減消元法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析（3），見解析【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點(diǎn)，由此根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為求解出的值，并注意驗(yàn)證是否滿足；（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對(duì)進(jìn)行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉(zhuǎn)化為證明，由此構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行分析證明.【詳解】（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)，所以，∵，故，此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，所以；（2）∵，∴，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即或時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.③當(dāng)且時(shí)，由得.令得；令得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)或時(shí)，在上遞減；當(dāng)且時(shí)，在上遞增，在上遞減.（3）令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故在處取得最小值為又當(dāng)，由圖象知：不妨設(shè)，則有，令在上單調(diào)遞增，故即，【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)、分類討論法分析函數(shù)的單調(diào)性、雙變量構(gòu)造函數(shù)問題，難度較難.（1）已知是的極值點(diǎn)，利用求解參數(shù)值后，要注意將參數(shù)值帶回驗(yàn)證是否滿足；（2）導(dǎo)數(shù)中的雙變量證明問題，一般的求解思路是：先通過轉(zhuǎn)化統(tǒng)一變量，然后構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性和取值范圍達(dá)到證明的目的.18、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，可證得；（2）利用假設(shè)切點(diǎn)的方式寫出切線方程，原問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)解；此時(shí)可采用零點(diǎn)存在定理依次判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到范圍，也可以先利用分離變量的方式，構(gòu)造新的函數(shù)，然后討論函數(shù)圖像，得到范圍.【詳解】（1）證明：時(shí)，在上遞減，在上遞增（2）當(dāng)時(shí)，，，明顯不滿足要求；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（顯然），則有，整理得由題意，要求方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解令①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減再遞增而，，，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，所以此時(shí)不滿足題要求.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增不滿足在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解③當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，所以此時(shí)不滿足題要求.④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，此時(shí)不滿足題要求.當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)零點(diǎn)為，又這時(shí)顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)滿足題目要求.綜上所述，的取值范圍是（2）解法二：設(shè)切點(diǎn)為由解法一的關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩解顯然不是方程的解故原問題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)有兩解設(shè)，且則，且令，，則又，；，，故，；，從而，遞增，，遞減令，由于時(shí)，時(shí)故，；，，而時(shí)，，時(shí)，故在區(qū)間內(nèi)有兩解解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用.難點(diǎn)在于將原問題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)的問題，此時(shí)根無(wú)法確切的得到求解，解決此類問題的方式是靈活利用零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間內(nèi)逐步確定根的個(gè)數(shù).19、（Ⅰ）曲線C的方程為．（Ⅱ）時(shí)，．【解析】

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故．，即．而，于是．所以時(shí)，，故．當(dāng)時(shí)，，．，而，所以．【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?0、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)不等式解的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)方程的根即可求解；（2）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求的最小值即可解決.試題解析：（1），，即得，得.（2）∵，∴.∵，且存在實(shí)數(shù)使，∴.21、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由于曲線與在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同，即它們?cè)谠c(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相同，，，且切點(diǎn)為原點(diǎn)，，解得.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為；（2）由（1）知，，即，從而，即.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并對(duì)分類討論的圖象與性質(zhì)，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）因?yàn)?，，依題意，，且，解得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為0.（2）由（1）知，，即，從而，即.設(shè)，則，（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋啵ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）此時(shí)在上單調(diào)遞增，從而，即.（2）當(dāng)時(shí)，由于，所以，又由（1）知，，所以，故，即.（此步也可以直接證）（3）當(dāng)時(shí)，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，從而，即，所以在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，，即，不合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式、恒成立問題．【方法點(diǎn)晴】第一問是跟切線有關(guān)的問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于切點(diǎn)和斜率，切點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，由于兩條曲線在原點(diǎn)的切線相同，故兩個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值相等，利用這兩個(gè)條件聯(lián)立方程組就能求出的值.第二問是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解不等式，我們構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究的圖象與性質(zhì)，含有參數(shù)，我們就需要對(duì)進(jìn)行分類討論.