拆分方程建模分析

拆分方程建模分析第1頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一1、什么是數學模型？

數學模型是對于現實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據特有的內在規(guī)律，做出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構。簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質的數學表達式（或是用數學術語對部分現實世界的描述），即用數學式子（如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。第2頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一2、什么是數學建模?

數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設、引進變量等處理過程后，將實際問題用數學方式表達，建立起數學模型，然后運用先進的數學方法及計算機技術進行求解。觀點：“所謂高科技就是一種數學技術”第3頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

數學建模其實并不是什么新東西，可以說有了數學并需要用數學去解決實際問題，就一定要用數學的語言、方法去近似地刻劃該實際問題，這種刻劃的數學表述的就是一個數學模型，其過程就是數學建模的過程。數學模型一經提出，就要用一定的技術手段（計算、證明等）來求解并驗證，其中大量的計算往往是必不可少的，高性能的計算機的出現使數學建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個高潮。

數學建模將各種知識綜合應用于解決實際題中，是培養(yǎng)和提高同學們應用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一。第4頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一在實際過程中用那一種方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。符合實際不符合實際交付使用，從而可產生經濟、社會效益實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數建立數學模型并數學、數值地求解、確定參數用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型建模過程示意圖第5頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

模型

數學模型的分類：◆按研究方法和對象的數學特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等。◆按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。三、數學模型及其分類第6頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

正是由于認識到培養(yǎng)應用型、研究型科技人才的重要性，而傳統(tǒng)的數學競賽不能擔當這個任務，從1983年起，美國就有一些有識之士探討組織一項應用數學方面的競賽的可能性。經過論證、爭論、爭取資金等過程，1985年舉行了美國第一屆大學生數學建模競賽。簡稱MCM競賽由美國工業(yè)與用數學學會和美國運籌學學會聯(lián)合主辦。第7頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

從1985年起每年舉行一屆，時間定為每年的二月下旬或三月初的星期五到星期日舉行。

這項競賽的宗旨是鼓勵學生運用所學的知識（數學及其各門科學的知識）去參與解決實際問題的全過程。這些實際問題并不限于某個固定領域，可以涉及非常廣泛的、并不固定的范圍和領域。第8頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

美國的MCM雖然只是美國的國內賽，但它歡迎其他國家的大學組隊參加，而且越來越多國家的大學參加這一競賽，因此，在某種意義上它已經是國際比賽。我國最早由北京三所大學組隊參加美國的MCM競賽，繼后我國參加此項比賽的大學越來越多。第9頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一內容賽題：工程、管理中經過簡化的實際問題答卷：一篇包含問題分析、模型假設、建立、求解(通常用計算機)、結果分析和檢驗等的論文形式

3名大學生組隊，在3天內完成的通訊比賽可使用任何“死”材料(圖書/互聯(lián)網/軟件等),但不得與隊外任何人討論（包括上網討論）宗旨創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設的合理性，建模的創(chuàng)造性，結果的正確性，表述的清晰性。數學建模競賽內容與形式第10頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一我國大學生數學建模競賽（CUMCM）

1992年中國工業(yè)與應用數學學會(CSIAM)開始組織

1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月)

2008年有31省(市、區(qū)）的1022所學校12836隊參加網址：獎勵：全國一等獎（約2%）、全國二等獎（約7%）教育部高教司和CSIAM共同簽章

1999年起競賽分為甲組(本科)、乙組(高職高專組)

優(yōu)秀論文刊登于次年《工程數學學報》（2000年前為《數學的實踐與認識》）¤2009年全國有33個省/市/自治區(qū)(包括香港和澳門特區(qū))1137所院校、15046個隊（其中甲組12276隊、乙組2770隊）、4萬5千多名來自各個專業(yè)的大學生參加競賽(其中西藏和澳門是首次參賽)！第11頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一怎樣撰寫數學建模的論文？1、摘要:問題、模型、方法、結果2、問題重述4、分析與建立模型5、模型求解6、模型檢驗7、模型推廣8、參考文獻9、附錄實例3、模型假設

返回實例參考解答第12頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一差分方程建模?處理動態(tài)的離散型的問題?處理對象雖然涉及的變量(如時間)是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型(微分方程)化為離散型(差分方程)問題

第13頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第一講差分方程基礎知識設一階差分：一階后向差分一階前向差分注：差分是導數的一種推廣高階差分：第14頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第一講差分方程基礎知識性質1(可加性)：微分的性質與運算：??性質2(齊次性)：?性質3(線性性)：?性質3(線性性)：?性質4(乘積)：?性質4(除法運算)：第15頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第一講差分方程基礎知識性質1(可加性)：差分的性質與運算：??性質2(齊次性)：?性質3(線性性)：?性質3(線性性)：?性質4(乘積)：?性質4(除法運算)：注：注意它與微分性質的比較第16頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第一講差分方程基礎知識差分的性質與運算：第17頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第一講差分方程基礎知識差分方程及其解：定義2：包含未知函數及差分的方程式稱為差分方程注：差分方程的實質就是遞推公式線性差分方程：差分方程的解：第18頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一常微分方程化為差分方程

用導數近似式替代導數或者說用適當近似式替代含有導數的表達式，可以得到這些近似值滿足的代數方程----差分方程以二階常微分方程邊值問題為例

目的求差分法第19頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一一般k階常系數線性差分方程為差分方程邊值問題第20頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一二偏微分方程化為差分方程以二階橢圓方程的邊值問題為例用兩族平行坐標軸的直線

正方形網格把區(qū)域G剖分

第21頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一節(jié)點可分三類

1°通過該節(jié)點的網格線上的相鄰四網點都在G內,記

G12°在G內部但不屬于G1

，記G23°恰在邊界上記G3

確定各節(jié)點處解的近似值uij，需要建立代數方程，每一節(jié)點建立一個代數方程任務第22頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

(i，j-1)

(i，j+1)

(i-1，j)

(i，j)(i+1，j)

偏導數近似式替代第23頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一差分方程

N

(i，j)

E

第24頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

偏導數近似式替代第25頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一和分(反差分)周期函數：如果和分：若則稱為的和分（反差分），記為或者第26頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一積分中的N-L公式和分中的N-L公式定理：若在上有定義，并且，則練習：計算第27頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一四二階常系數齊次差分方程求法

齊次差分方程

(1)特征方程有兩個不相等實根

(2)特征方程有兩個相等實根

第28頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一例：求解差分方程例：求解差分方程初值問題解：特征方程為從而特征根為所以差分方程的解為第29頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一(3)特征方程有一對共軛復根

則為一對復值解.令第30頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一例：求解差分方程第31頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一非齊次差分方程非齊次方程的通解=非齊次的特解+齊次的通解解法：1.待定系數法2.常數變易法例：兔子問題在一年的時間里，一對兔子能夠生育出多少對兔子？第32頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一每對兔子每個月生育出新的一對兔子假設新的一對兔子在一個月之后具有生育能力其次這些兔子都不死亡第n個月開始時兔子對數模型結果Fibonacci數列黃金分割比第33頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一市場經濟中的蛛網模型問題供大于求現象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產量增加產量價格上漲供不應求描述商品數量與價格的變化規(guī)律數量與價格在振蕩第34頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一蛛網模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關系生產者的供應關系減函數增函數供應函數需求函數f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第35頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一xy0fgy0x0P0設x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網模型第36頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網模型的一致第37頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一~商品數量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產者對價格的敏感程度小,有利于經濟穩(wěn)定小,有利于經濟穩(wěn)定結果解釋xk~第k時段商品數量；yk~第k時段商品價格經濟穩(wěn)定結果解釋第38頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0x0gf結果解釋需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直第39頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型的推廣生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。生產者管理水平提高設供應函數為需求函數不變二階線性常系數差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件第40頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣第41頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一銀行復利問題

背景所付利息一年內復合n次，即把一年分n個相等的時間段，而所付利息為每一時間段的未尾

.給出一個可以預測在任意給定時間的帳目余額

分析帳目余額與時間直接相關，而時間是離散的本期結束時的總存款等于前一時期余下的本利，及本利得到的利息與第本期內新存入的存款之和

任何時候都可以存款第42頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型假設1.儲蓄的年利率為

r2.任何時候都可以存款，但存款利息只從下一時期開始計算，如時間段開始第一天的存款即開始計算利息

t期結束時的總存款

記號第t期內的新存款

第43頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型注：上式中n=2時，相應于半年的復利，而n=365則是相應于逐日計算的復利第44頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一抵押貸款買房問題

背景每戶人家都希望有一套屬于自己的住房，但又沒有足夠的資金一次買下。這就產生了貸款買房問題。某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則理想的房產廣告：“名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優(yōu)惠價40.2萬元。若不能一次性付款也沒關系，只付首期款為15萬元，其余每月1977.04元等額償還，15年還清。(公積金貸款月利息為3.675‰）。問題公寓原來價多少？每月等額付款如何算出來？第45頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一假設貸款期限內利率不變銀行利息按復利計算

記號A（元）：貸款額（本金）

n（月）：貨款期限r

：月利率B(元):月均還款額

Ck：第k個月還款后的欠款第46頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型求解代入n=180、

r=0.003675、

B=1977.04結果：A=260000（元）一次性優(yōu)惠價9.8折還款總額利息負擔總額第47頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一減肥計劃——節(jié)食與運動背景多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分析體重變化由體內能量守恒破壞引起飲食（吸收熱量）引起體重增加代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少體重指數BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第48頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),

相當于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第49頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。第50頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一確定某甲的代謝消耗系數即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第51頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃第52頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型第53頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第54頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃根據資料每小時每千克體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型第55頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一3）達到目標體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數C，使體重w不變不運動運動(內容同前)第56頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一2007年全國大學生數學建模A題

中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵因素之一。根據已有數據，運用數學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。

近年來中國的人口發(fā)展出現了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1)還做出了進一步的分析。

關于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數據資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數據。

試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關數據（也可以搜索相關文獻和補充新的數據），建立中國人口增長的數學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。

附錄1《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》

附錄2

人口數據（《中國人口統(tǒng)計年鑒》中的部分數據）及其說明

第57頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一人口預測是國家工作中的重點，關系著國家的發(fā)展方向和命運。我國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵因素之一。根據已有數據，運用數學建模的方法，對我國人口做出分析和預測是一個重要問題。近年來我國的人口發(fā)展出現了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著我國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》對此做出了進一步的分析。從我國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考相關數據，建立我國人口增長的數學模型，并由此對我國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測；特別注意指出模型中的優(yōu)點與不足之處。1.問題重述第58頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一2.問題分析一個社會（國家、省市、地區(qū)）人口的變化和隨時間的發(fā)展過程，是由很多因素決定的，社會制度、自然環(huán)境、生活水平、科學文化水平、戰(zhàn)爭、自然災害和移民等等，都能嚴重地影響社會人口的發(fā)展過程。然而，嬰兒的出生、人口的死亡、居民的遷移卻是決定該社會人口變化的直接原因，近年來我國人口發(fā)展出現的一些新特點，如老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，都直接或間接地通過這三個現象表現出來。綜合考慮這些因素成為構建符合我國國情的人口增長模型關鍵。建立模型對人口發(fā)展過程進行定量預測，就是根據現有的人口統(tǒng)計資料和原始數據，從當前實際的人口狀況出發(fā)，并對未來的人口發(fā)展過程，提出合理的控制要求和假定，應用科學的方法，預測出未來幾年、幾十年甚至上百年的人口發(fā)展趨勢，包括人口總數、人口的性別、年齡和城鄉(xiāng)結構，人口出生、死亡和自然增長率的變化以及在未來的人口構成中勞力和撫養(yǎng)水平及老化水平等。

第59頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一3.模型假設針對本問題，建立如下合理的假設：

題中所給數據能反映我國人口變化的基本情況；

一些重大事件，如戰(zhàn)爭、自然災害等對人口預測的影響暫不考慮；所給數據都是年末數據，也即下一年年初數據，如2001年總人口實質上也表示2002年初的總人口；今年所統(tǒng)計的i歲的人口在下一年年初均為i+1歲；生育模式不隨時間變化。

第60頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一4.符號說明第61頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一5.模型建立與求解5.1.數據預處理題中所給5年我國人口1%調查數據是對人口的抽樣調查數據，由于數據的不完備性，并不能由它來估計當時的全國總人口數。但基于抽樣調查的等概率性，可以認為它所反應的市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三個地區(qū)的人口比例及男女比例是與實際較為接近的。從《中國人口統(tǒng)計年鑒2006》[1],可以得到2001~2005年具體的全國總人口數。進而可以得到各部分人口數。所得數據見表1。

例：第62頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第63頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一5.2.模型一：基于人口遷移的Logistic阻滯增長模型

第64頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第65頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第66頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第67頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第68頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第69頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第70頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第71頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一5.3.模型二：離散人口發(fā)展方程模型

第72頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第73頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第74頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第75頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第76頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第77頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第78頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第79頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第80頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第81頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第82頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第83頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第84頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第85頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第86頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第87頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第88頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第89頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第90頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第91頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第92頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第93頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第94頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第95頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一●

Malthus模型設xn是某人類群體在第n個時間段(例如年)末時的總數，若在單位時間段內人口相對增長率為r（出生率與死亡率之差）,那么人口增長數與原人口數成正比,從而xn+1＝

xn

＋rxn即

xn+1

=axn其中a=r+1.差分形式的人口增長模型第96頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一這是一個如下線性映射的迭代

f(x)=ax從而

xn=axn－1=a2xn－2=…=anx0

Malthus的結論：人口增長呈幾何級數

約35年增加一倍，與1700－1961年世界人口統(tǒng)計結果一致與近年統(tǒng)計結果有誤差，由a>1,xn趨向無窮，模型在人口長期預測方面必定是失效的.差分形式的人口增長模型第97頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一離散形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關)離散形式x(t)~某種群t時刻的數量(人口)yk~某種群第k代的數量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點第98頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點第99頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一(1)的平衡點x*——代數方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點補充知識一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性第100頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一01的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性x*

穩(wěn)定x*不穩(wěn)定另一平衡點為x=0不穩(wěn)定第101頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一01/2101的平衡點及其穩(wěn)定性第102頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一初值x0=0.2數值計算結果b<3,xb=3.3,x兩個極限點b=3.45,x4個極限點b=3.55,x8個極限點0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第103頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性第104頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第105頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一倍周期收斂的進一步討論出現4個收斂子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡點及其穩(wěn)定性需研究時有4個穩(wěn)定平衡點2n倍周期收斂,n=1,2,…bn~2n倍周期收斂的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不穩(wěn)定b>3.57,不存在任何收斂子序列混沌現象4倍周期收斂第106頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一的收斂、分岔及混沌現象b第107頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一2．渾沌與遍歷性當c*<a<4時，Logistic映射進入渾沌區(qū)域.反映出的是：■遍歷性：點x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期軌道,它的軌道在(0,1)(或其中某些區(qū)間)內的任何一個子區(qū)間(a,b)內都會出現無數次.這是渾沌的

■敏感性：

軌道表現出對初始條件的強烈敏感性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的軌道也終將以某種方式分離.■存在周期小窗口渾沌區(qū)域內某些地方仍有倍周期分叉，例如a＝3.835附近第108頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一■

Feigenbaum常數比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趨于無窮時，趨于常數

q=4.6692016這常數的意義在于普適性，例如周期3窗口也適用，還適用其他映射任務：驗證遍歷性、敏感性周期3窗口的分叉、(結合Feigenbaum常數

)五.圖象方法●蛛網迭代在以xn為橫坐標、xn+1為縱坐標的第一象限作拋物線?。?/p>

xn+1＝a

xn(1-xn)第109頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一■

作圖的過程第110頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

任取(0,1)中的點x0,可以通過作圖來取得迭代的數值序列{xn},從而也通過圖象直觀地看出由x0出發(fā)的軌道的變化.這作圖的過程頗象蜘蛛織網,故稱為蛛網迭代.

第111頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一■

1<a<3從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動點(周期1點)第112頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

■3<a<61/2+1

從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期2點第113頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一■61/2+1<a<

3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點第114頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一■a=3.58軌道進入渾沌狀態(tài)第115頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一■a=4軌道的渾沌性表現充分第116頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)形式的人口增長模型馬爾薩斯（Malthus）在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現，人口凈增長率r基本上是一常數，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），即：

或（3.1）

（3.2）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時刻t0時的種群數。

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數量翻一番所需的時間是固定的。令種群數量翻一番所需的時間為T，則有：故第117頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第118頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型檢驗

比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預報結果基本相符，例如，1961年世界人口數為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數量，發(fā)現兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預測

幾何級數的增長Malthus模型實際上只有在群體總數不太大時才合理，到總數增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現象。所以Malthus模型假設的人口凈增長率不可能始終保持常數，它應當與人口數量有關。第119頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型2Logistic模型人口凈增長率應當與人口數量有關，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數，但根據實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數學模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）此時得到微分方程：或（3.8）（3.8）被稱為Logistic模型或生物總數增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數學生物學家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數是負的，因為當種群數量很大時，會對自身增大產生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。（3.8）可改寫成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當種群數量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設環(huán)境能供養(yǎng)的種群數量的上界為K（近似地將K看成常數），N表示當前的種群數量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。第120頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一圖3-5對（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：N(0)=N0

，N(t)的圖形請看圖3.5第121頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一模型檢驗

用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數學生物學家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數據與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3.6。

圖3-6第122頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一Malthus模型和Logistic模型的總結

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設了種群增長率r為一常數，（r被稱為該種群的內稟增長率）。后一模型則假設環(huán)境只能供養(yǎng)一定數量的種群，從而引入了一個競爭項。

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。

Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數學模型有相同的微分方程即可，下面我們來看兩個較為有趣的實例。第123頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一歷史背景:例5

贗品的鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術品的公司中發(fā)現線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀荷蘭名畫家揚·弗米爾（JanVeermeer）的油畫“捉奸”等賣給納粹德國戈林的中間人。可是，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當時震驚了全世界，為了證明自己是一個偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”，當這項工作接近完成時，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。為了審理這一案件，法庭組織了一個由著名化學家、物理學家和藝術史學家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗畫布上是否曾經有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗油畫中有沒有歷經歲月的跡象。科學家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現了現代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗出了20世紀初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據這些證據，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年。可是他在監(jiān)獄中只待了兩個多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。

然而，事情到此并未結束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實上，在此之前這幅畫已經被文物鑒定家認定為真跡，并以17萬美元的高價被倫布蘭特學會買下。專家小組對于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來證明他高于三流畫家。當創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當他看到這幅“在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時就不太用心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學的科學家們基本上解決。第124頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一原理與模型測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關鍵是本世紀初發(fā)現的放射性現象。放射性現象：著名物理學家盧瑟夫在本世紀初發(fā)現，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時間內，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質的放射性與所存在的物質的原子數成正比。用N(t)表示時間t時存在的原子數,則：常數λ是正的，稱為該物質的衰變常數用λ來計算半衰期T:與負增長的Malthus模型完全一樣其解為:令則有:許多物質的半衰期已被測定，如碳14，其T=5568；軸238，其T=45億年。第125頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一與本問題相關的其他知識:

(1)藝術家們應用白鉛作為顏料之一，已達兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系.

(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著其后繼元素。從而，各種放射性物質（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現含量高于2—3%的。

(3)從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。第126頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一簡化假定：本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設：

(1)由于鐳的半衰期為1600年，經過300年左右，應用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數是一個常數。

(2)鉛210的衰變?yōu)椋恒U210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏料應有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的分解數等于鉛210的分解數（相差極微，已無法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳撸蜥暤陌胨テ谳^短，易于測量。第127頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一建模：

(1)記提煉白鉛的時刻為t=0，當時每克白鉛中鉛210的分子數為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數相同。由此容易推算出每克白鉛中鉛210每分鐘分解數不能大于30000個，否則鈾的含量將超過4%，而這是不可能的。因為：若則（個）這些鈾約重（克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%以上確定了每克白鉛中鉛分解數的上界，若畫上的鉛分解數大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。第128頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

(2)設t時刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時間分解數為r（常數），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：

若此畫是真品，t-t0≈300（年）。畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數λy(t)及目前鐳的分解數r均可用儀器測出，從而可求出λy0的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數是否合理。若判斷結果為不合理，則可以確定此畫必是贗品，但反之不一定說明畫是真品（因為估計仍是十分保守的且只能證明畫的“年齡”）。第129頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一Carnegie-Mellon大學的科學家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了鑒定，測得數據如下（見表3-1）。油畫名稱210分解數（個/分）鐳226分解數（個/分）1、在埃牟斯的門徒

8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計算λy0

（個/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對“在埃牟斯的門徒”，λy0≈98050（個/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會是幾十年內偽制品，因為放射性物質已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀和二十世紀的任何作品中。判定結果：第130頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。例如對有機物（動、植物）遺體，考古學上目前流行的測定方法是放射性碳14測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結合，形成放射性碳14（C14）。有機物存活時，它們通過新陳代謝與外界進行物質交換，使體內的C14處于放射性平衡中。一旦有機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經測定，其C14衰減數為4.09個/每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數為6.68個/每克每分鐘，C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。第131頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一例6

新產品的推廣

經濟學家和社會學家一直很關心新產品的推銷速度問題。怎樣建立一個數學模型來描述它，并由此析出一些有用的結果以指導生產呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。記比例系數為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：還有兩個奇解:x=0和x=K

對x(t)求一階、兩階導數：

設需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的電飯包數量為x(t)，則尚未使用的人數大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計籌算律：第132頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一容易看出，x’(t)>0，即x(t)單調增加。由x’’(t0)=0，可以得出=1，此時，。當t<t0時，x’’(t)>0，x’(t)單調增加，而當t>t0時，x’’(t)<0，x’(t)單調減小。實際調查表明，銷售曲線與Logistic曲線十分接近，尤其是在銷售后期，兩者幾乎完全吻合。在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半時，該產品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應采取小批量生產并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應該大批量生產；后期則應適時轉產，這樣做可以取得較高的經濟效果。第133頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一觀眾廳地面設計1問題的提出在影視廳或報告廳，經常會為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場內的觀眾都在朝臺上看，如果場內地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會遮擋后面觀眾的視線。試建立數學模型設計良好的報告廳地面坡度曲線。第134頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一建立坐標系oo—處在臺上的設計視點bb—第一排觀眾的眼睛到x軸的垂直距離xyadda—第一排觀眾與設計視點的水平距離d—相鄰兩排的排距—視線升高標準x—表示任一排與設計視點的水平距離求任一排x與設計視點o的豎直距離函數使此曲線滿足視線的無遮擋要求。問題第135頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一2問題的假設觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。同一排的座位在同一等高線上。每個坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。每個坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個座位的人的頭頂擦過即可。第136頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一3建模設眼睛升起曲線應滿足微分方程初始條件obxyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點的連線的斜率隨排數的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。第137頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一2）選擇某排和相鄰排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相似于D第138頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一再計算相似于第139頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一4模型求解微分不等式（比較定理）設函數定義在某個區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式則初值問題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足第140頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一第141頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一所求曲線的近似曲線方程（折衷法）折衷法第142頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一5總結與討論有時只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型討論obxyadd1）視點移動時升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調整參數、相鄰排錯位。3）衡量經濟的指標？座位盡量多、升起曲線占據的空間盡量少等。第143頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一碳定年代法考古、地質學等方面的專家常用14C測定法（通常稱碳定年代法）來估計文物或化石的年代。

第144頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

14C的蛻變規(guī)律14C是一種由宇宙射線不斷轟擊大氣層，使大氣層產生中子，中子與氮氣作用生成的具有放射性的物質。這種放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作為動物的食物，于是放射性碳被帶到各種動植物體內。14C是放射性的，無論在空氣中還是在生物體內他都在不斷蛻變，這種蛻變規(guī)律我們可以求出來。通常假定其蛻變速度與該時刻的存余量成正比。第145頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一設在時刻t（年），生物體中14C的存量為x(t),生物體的死亡時間記為t0=0,此時14C含量為x0,由假設，初值問題

（1.1）的解為（1.2）其中，為常數，k前面的符號表示14C的存量是遞減的。（1.2）式表明14C是按指數遞減的，而常數k可由半衰期確定，

第146頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一若14C的半衰期為T,則有

(1.3)將（1.3）代入（1.2）得

即有（1.4）第147頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一碳定年代法的根據活著的生物通過新陳代謝不斷攝取14C,因而他們體內的14C與空氣中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止攝取14C，因而尸體內的14C由于不斷蛻變而不斷減少。碳定年代法就是根據生物體死亡之后體內14C蛻變減少量的變化情況來判斷生物的死亡時間的。第148頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一碳定年代法的計算由（1.4）解得(1.5)由于x(0),x(t)不便于測量，我們可把(1.5)作如下修改.對(1.2)式兩邊求導數，得(1.6)而(1.7)第149頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一(1.6)和(1.7)兩式相除，得將上式代入(1.5)，得

(1.8)這樣由(1.8)可知，只要知道生物體在死亡時體內14C的蛻變速度和現在時刻t的蛻變速度,就可以求得生物體的死亡時間了，在實際計算上，都假定現代生物體中14C的蛻變速度與生物體死亡時代生物體中14C的蛻變速度相同。第150頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一馬王堆一號墓年代的確定馬王堆一號墓于1972年8月出土，其時測得出土的木炭標本的C14平均原子蛻變數為29.78/s,而新砍伐木頭燒成的木炭中C14平均原子蛻變數為38.37/s,又知C14的半衰期為5568年，這樣，我們可以把,，T=5568年代入(1.8)，得這樣就估算出馬王堆一號墓大約是在2000多年前。第151頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一兩個注記（1）馬王堆中的古代科技之謎素紗蟬衣：兩件輕薄的衣服，絲綢，極輕且兩千年不腐，南京云錦研究所接受國家科技攻關，用了二十年時間，于1990年成功研制出類似素紗蟬衣的復制品，但該復制品比漢代的還重50克，已不可能再輕了。女尸千年不腐：病理知識：女尸解剖顯示患有非常嚴重的冠心?。环尾坑蟹谓Y核的鈣化，肺部鈣化是肺結核痊愈后的表現。2000年后的今天，要想控制肺結核，除自身的第152頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一抵抗力要強外，還要有好的營養(yǎng)，要想痊愈是很困難的。兩處膽結石，其一在膽總管，有蠶豆大，膽道被堵得水泄不通。三種寄生蟲，其中竟有血吸蟲，其癥狀應為腹脹如鼓，骨瘦如柴，但該女子皮下脂肪異常豐滿，顯然血吸蟲被有效的控制住了。該西漢貴婦生前病魔纏身，但從其遺體上未發(fā)現長期臥床養(yǎng)病的跡象。一個同時患有這么多疾病的人，能夠長期穩(wěn)定控制病情，在今天也是一個奇跡，說明漢代醫(yī)術已達到了相當高的水平。。。。。。。。。。第153頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一（2）碳定年代法的不足現在，14C年代測定法已受到懷疑，在2500----10000年前這段時間中與其他斷代法的結果有差異。1966年，耶魯實驗室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報告中指出了這一時期使14C年代測定產生誤差的根本原因。在那個年代，宇宙射線的放射強度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。第154頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一這兩位研究人員的結論出自對Brist/econe松樹所作的14C年代測定的結果，因為這種松樹同時還提供了精確的年輪斷代。他們提出了一個很成功的誤差公式，用來校正根據14C斷代定出的2300----6000年前這期間的年代：真正的年代=14C年×1.4—900。第155頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一

在研究人口或種群數量的實際增長情況時，有時采用離散化的時間變量更為方便。例如，有些種群具有相對較為固定的繁殖期，按時段統(tǒng)計種群數量更接近種群的實際增長方式。人口增長雖無這種特征，但人口普查不可能連續(xù)統(tǒng)計，任何方式的普查都只能得到一些離散時刻的人口總量（指較大范圍的普查）。這樣，如何建立人口問題的離散模型的問題十分自然地提了出來。第156頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一對于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(3-6)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(3-6)的解,包含個任意常數的解稱為(3-6)的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時稱為(3-6)的初始條件,通解中的任意常數都由初始條件確定后的解稱為(3-6)的特解.若x0,x1,…,xk-1已知,則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計算機上實現.第157頁，共173頁，2023年，2月20日，星期一若有常數a是差分方程(3-6)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,則稱a是差分方程(3-6)的平衡點.

又對差分方程(3-6)的任意由初始條件確定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個平衡點a是穩(wěn)定的.

一階常系數線性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b為常數,且a≠-1,0)的通解為xn=C(-a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點,由上式知,