平面問題有限元

平面問題有限元第1頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一3-1 有限單元法的計算步驟3-2 平面問題的常應變(三角形)單元3-3 單元剛度矩陣3-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質3-5 平面問題的矩形單元3-6 六節(jié)點三角形單元3-7 單元載荷移置3-8 整體分析3-9 整體剛度矩陣的形成3-10 整體剛度矩陣的特點3-11 支承條件的處理3-12 應力計算4/29/2023第2頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一彈性力學平面問題的有限單元法包括五個主要步驟：

1、所分析問題的數(shù)學建模2、離散化3、單元分析4、整體分析與求解5、結果分析4/29/2023圖3-1第3頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一

有限單元法的基礎是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體。 對于平面問題，最簡單，因而最常用的單元是三角形單元。 因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點都可視為平面鉸，即每個節(jié)點有兩個自由度。單元與單元在節(jié)點處用鉸相連，作用在連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點上，成為節(jié)點荷載。如節(jié)點位移或其某一分量可以不計之處，就在該節(jié)點上安置一個鉸支座或相應的連桿支座。如圖3-14/29/2023第4頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/20231、位移函數(shù)如果彈性體的位移分量是坐標的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應變分量，再從物理方程求應力分量。但對一個連續(xù)體，內部各點的位移變化情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪。有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細小網(wǎng)格，在每一個單元范圍內，內部各點的位移變化情況可近似地用簡單函數(shù)來描繪。對每個單元，可以假定一個簡單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場。對于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項式表示，多項式中包含的項數(shù)越多，就越接近實際的位移分布，越精確。但選取多少項數(shù)，要受單元型式的限制。第5頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

三結點三角形單元六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù)，所以平面問題的3節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)如下，該位移函數(shù)，將單元內部任一點的位移設定為坐標的線性函數(shù)，該位移模式很簡單。其中為廣義坐標或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點i、j、m的位移值和坐標值求出。位移函數(shù)寫成矩陣形式為：第6頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023最終確定六個待定系數(shù)其中為2A第1行各個元素的代數(shù)余子式，a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)只是記號，表示此方陣僅與x(i,j,m),y(i,j,m)有關。

第7頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023令（下標i，j，m輪換）簡寫為[I]是單位矩陣，[N]稱為形函數(shù)矩陣，Ni只與單元節(jié)點坐標有關，稱為單元的形狀函數(shù)第8頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一據(jù)彈性力學幾何方程得單元的應變分量由于三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應變單元（位移在單元內和邊界上為線性變化，應變?yōu)槌Ａ浚?/29/2023第9頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2、形函數(shù)的特點及性質1)形函數(shù)Ni為x、y坐標的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。2)形函數(shù)Ni在i節(jié)點處的值等于1，而在其他節(jié)點上的值為0。即4/29/20233)單元內任一點的三個形函數(shù)之和恒等于1。4)形函數(shù)的值在0—1間變化。第10頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/20233、收斂性分析選擇單元位移函數(shù)時，應當保證有限元法解答的收斂性，即當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元法的解答應當收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應當滿足下列條件：位移函數(shù)必須含單元常量應變。單元必須能反映單元的剛體位移（即單元應變?yōu)?時的位移）。前面位移函數(shù)改寫為（注意：為0）則單元剛體位移為顯然，位移函數(shù)包含了單元的剛體位移（平動和轉動）第11頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一(3)位移函數(shù)在單元內部必須連續(xù)位移。因為線性函數(shù)，內部連續(xù)(4)位移函數(shù)必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移協(xié)調（即在公共邊界上位移值相同）。如右圖設公共邊界直線方程為y=Ax+B，代入位移函數(shù)可得：邊界上位移為 顯然，u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調。 綜上所述，常應變三角形單元的位移函數(shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元為協(xié)調單元4/29/2023y=Ax+B邊界不協(xié)調產(chǎn)生裂縫邊界不協(xié)調產(chǎn)生重迭第12頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣[N]。第13頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

由三角形的面積把上步求得的a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)代入第14頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4、應力、應變矩陣將位移函數(shù)代入平面問題幾何方程，得應變矩陣：4/29/2023第15頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一應力矩陣由平面問題物理方程得：應變矩陣[B]反映了單元內任一點的應變與節(jié)點位移間的關系應力矩陣[S]反映了單元內任一點的應力與節(jié)點位移間的關系顯然，常應變三角形單元的應變矩陣[B]為常量矩陣，說明在該單元上的應力和應變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊界處，應變及應力不連續(xù)，有突變。4/29/2023第16頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023yiFixmFxjFxiFymFyjFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjys*xy*y*xgeexytxs(a)節(jié)點力、內部應力(b)虛位移、虛應變

討論單元內部的應力與單元的節(jié)點力的關系，導出用節(jié)點位移表示節(jié)點力的表達式。由應力推算節(jié)點力，需要利用平衡方程。采用虛功方程表示出平衡方程，即外力在虛位移上所作的虛功等于應力在虛應變上作的虛應變功。第17頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

考慮上圖三角形單元的實際受力，節(jié)點力和內部應力為：

任意虛設位移，節(jié)點位移與內部應變?yōu)榈?8頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

令實際受力狀態(tài)在虛設位移上作虛功，外力虛功為第19頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

計算內力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為dx和dy，厚度為t，圖示微小矩形的實際應力和虛設變形。第20頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

微小矩形的內力虛功為整個彈性體的內力虛功為第21頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

根據(jù)虛功原理，得這就是彈性平面問題的虛功方程，實質是外力與應力之間的平衡方程。虛應變可以由節(jié)點虛位移求出：代入虛功方程第22頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

接上式，將應力用節(jié)點位移表示出有令實際上，單元剛度陣的一般格式可表示為

則建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系，稱為單元剛度矩陣。它是6*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。第23頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

由于[D]中元素是常量，而在線性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以進一步得出平面應力問題和平面應變問題中的單元剛度矩陣。第24頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一單元剛度矩陣可記為分塊矩陣形式將應變矩陣[B]的分塊陣代入單元剛度矩陣，可得其子塊計算式：對于常應變三角形單元，考慮平面應力問題彈性矩陣[D]，可得4/29/2023第25頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

上述推導單元剛度矩陣的過程可歸納為單元剛陣[K]的物理意義是單元受節(jié)點力作用后抗變形的能力。其元素的意義為：當?shù)趈個自由度發(fā)生單位位移，而其他自由度的位移為0時，在第i個自由度上所施加的力。若按節(jié)點來說明，則剛陣中每個子塊表示：當節(jié)點j處發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點固定時，在節(jié)點i上所施加的力。{}s[]tABT[]tA]B][D[]B[KTe={}ed{}e{}eF[]D[]B[]]B][D[S=(6)(3)(3)(6╳3)(3╳3)(3╳6)(3╳6)(6╳6)第26頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

節(jié)點力和節(jié)點位移的關系：(以簡單平面桁架為例)平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點載荷的作用下，節(jié)點對單元、單元對節(jié)點都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點力。節(jié)點力和節(jié)點位移的關系前面已經(jīng)求出：第27頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

單元剛度矩陣的物理意義：將寫成分塊矩陣寫成普通方程其中表示節(jié)點S(S=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r(r=i,j,m)上所需要施加的節(jié)點力的大小。第28頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

單元剛度矩陣的物理意義：將節(jié)點力列矩陣與節(jié)點位移列矩陣均展開成(6*1)階列矩陣，單元剛度矩陣相應地展開成(6*6)階方陣：元素K的腳碼，標有“-”的表示水平方向，沒有標“-”的表示垂直方向。第29頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

單元剛度矩陣的物理意義：

單元剛度矩陣的每一個元素都有明顯的物理意義。表示節(jié)點S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平節(jié)點力和垂直節(jié)點力的大小。例如表示節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所需要施加的水平節(jié)點力的大小。第30頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1）單元剛度矩陣是對稱陣，(只要證明)2）單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素表示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。3）單元剛陣是奇異陣，即|K|=0，這是因為計算單元剛陣時沒有對單元的節(jié)點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能得到唯一位移解，只能得到唯一的節(jié)點力解。4）單元剛陣所有奇數(shù)行的對應元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應元素之和也為零。由此可見，單元剛陣各列元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。4/29/2023第31頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一

例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設4/29/20231、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求第32頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一幾點說明：1）單元剛度方程是滿足節(jié)點力平衡條件而建立的，即有限元方程是一組節(jié)點力平衡方程組。2）單元內任一點位置的平衡條件往往不滿足，即微分平衡方程可能不滿足。對于非線性單元，位移函數(shù)常不滿足以位移為未知量的平衡方程，對線性單元，因位移函數(shù)為線性的，應變、應力為常量，可以滿足單元內平衡。3）單元之間的平衡條件一般得不到滿足，線性單元的應力為常量，單元間應力有突變，明顯不滿足平衡條件。4/29/2023第33頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一利用節(jié)點位移，可待定系數(shù)4/29/2023xyi(1,-1)j(1,1)l(-1,1)m(-1,-1)

矩形單元是平面問題常用的一種單元，尤其是邊界比較規(guī)則的平面結構，如圖2a*2b的4節(jié)點8自由度矩形單元。位移函數(shù)取無量綱坐標，得矩陣表示第34頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一代入系數(shù)至位移函數(shù)，并整理成位移插值函數(shù)Ni為形函數(shù)，仍具有前述的形函數(shù)的基本性質記為矩陣形式，I為單位矩陣可以證明該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調元4/29/2023第35頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一應變矩陣4/29/2023應變矩陣[B]的元素是x，y的函數(shù)，所以，矩形單元中的應變不是常量，而是隨x或y線性變化的，顯然，應力也是隨x或y線性變化的。較常應變單元有更高的計算精度第36頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一將剛陣記為分塊形式其子塊的計算為（雖然該計算式是從三角形推導的，但它是一般格式，適用于所有單元）4/29/2023第37頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一面積坐標稱為p點的面積坐標，顯然三個面積坐標不完全獨立，有如下關系實際為三角形的高與高的比，即平行jm線的直線上的所有點有相同的。同時，易得4/29/2023ijmp第38頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一將三角形頂點ijm坐標與p點坐標代入面積坐標，則得面積坐標與直角坐標xoy的關系式比較與常應變三角形的形函數(shù)可知，兩者相同4/29/2023第39頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一如圖六節(jié)點12自由度三角形單元位移函數(shù)：單元內任意一點的位移位移函數(shù)用6個節(jié)點位移與相應的形函數(shù)來表示4/29/2023i(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1(1/2,1/2,0)2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2)第40頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一應變矩陣4/29/2023從上可知：位移為面積坐標或直角坐標的二次函數(shù)，應變或應力為面積坐標或直角坐標的一次式，即在單元內位移為二次變化，應變或應力為線性變化第41頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一將剛陣記為分塊形式4/29/2023其子塊的計算為(雖然該計算式是從三角形推導的，但它是一般格式，適用于所有單元)第42頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置(分解)，而成為節(jié)點載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點取為節(jié)點，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點載荷。但實際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點上。因此，必須進行載荷移置。如果集中力的作用點未被取為節(jié)點，該集中力也要向節(jié)點移置。將載荷移置到節(jié)點上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。第43頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一載荷移置的原則：能量等效，即單元的實際載荷與移置后的節(jié)點載荷在相應的虛位移上所做的虛功相等載荷移置的條件：圣維南原理載荷移置的方法：

1）直接法（靜力等效法，虛功移置法）

2）普遍公式法4/29/20230.5ql0.5ql0.5ql0.5qlMM靜力等效第44頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

虛功移置：在線性位移模式下，對于常見的一些載荷，可以通過簡單的虛功計算得節(jié)點載荷。即移置前后虛功相等。如均質等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每個節(jié)點，即yjcbxiwlmmyiYjYyjcbxiwlmmxiXjX1/3第45頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

例：總載荷的2/3移置到節(jié)點i，1/3移置到節(jié)點j，與原載荷同向yxmjip=0.5qLiX=2/3pjX=1/3pjL=2/3LiL=1/3LyxmjiqL第46頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

普遍公式法集中力的移置體力的移置分布面力的移置在線性位移模式下，用直接計算法簡單；非線性模式下，要用普遍公式計算。第47頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023圖示結構的網(wǎng)格共有四個單元和六個節(jié)點。在節(jié)點1、4、6共有四個支桿支承。結構的載荷已經(jīng)轉移為結點載荷。整體分析的四個步驟：1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求節(jié)點位移；4、根據(jù)節(jié)點位移求出應力。單元分析得出單元剛度矩陣，下面，將各單元組合成結構，進行整體分析。第48頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/20231、建立整體剛度矩陣(也叫作結構剛度矩陣)

上圖中的結構有六個節(jié)點，共有12個節(jié)點位移分量和12個節(jié)點力分量。由結構的節(jié)點位移向量求結構的節(jié)點力向量時，轉換關系為：分塊形式為：其中子向量和都是二階向量，子矩陣是二行二列矩陣，整體剛度矩陣[K]是12*12階矩陣。第49頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣建立整體剛度矩陣時，每個節(jié)點的位移當作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進行整體分析時還要針對支承條件加以處理。在上圖的結構中，支承條件共有四個，即在節(jié)點1、4、6的四個支桿處相應位移已知為零：建立節(jié)點平衡方程時，應根據(jù)上述邊界條件進行處理。3、解方程組，求出節(jié)點位移。通常采用消元法和迭代法兩種方法。4、根據(jù)節(jié)點位移求出應力。第50頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

整體剛度矩陣是單元剛度矩陣的集成。1、剛度集成法的物理概念：剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點作單位位移時引起的節(jié)點力。在單元剛陣中，表示j節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零時，單元e在i節(jié)點引起的節(jié)點力；類似，在整體剛陣中，表示j節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零時，整體結構在i節(jié)點引起的節(jié)點力(由于結構已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點相關的單元在i節(jié)點引起的節(jié)點力之和)。如上圖結構，計算時，與節(jié)點2和3相關的單元有單元①和③，當節(jié)點3發(fā)生單位位移時，相關單元①和③同時在節(jié)點2引起節(jié)點力，將相關單元在節(jié)點2的節(jié)點力相加，就得出結構在節(jié)點2的節(jié)點力。由此看出，結構的剛度系數(shù)是相關單元的剛度系數(shù)的集成，結構剛度矩陣中的子塊是相關單元的對應子塊的集成。第51頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、剛度矩陣的集成方法：1）在整體離散結構變形后，應保證各單元在節(jié)點處仍然協(xié)調地相互連接，即在該節(jié)點處所有單元在該節(jié)點上有相同位移，2）整體離散結構各節(jié)點應滿足平衡條件。即環(huán)繞每個節(jié)點的所有單元作用其上的節(jié)點力之和應等于作用于該節(jié)點上的節(jié)點載荷Ri，12i

3412i

Ri34第52頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一2、整體剛度矩陣的集成方法具體集成方法是：先對每個單元求出單元剛度矩陣，然后將其中的每個子塊送到結構剛度矩陣中的對應位置上去，進行迭加之后即得出結構剛度矩陣[K]的子塊，從而得出結構剛度矩陣[K]。關鍵是如何找出中的子塊在[K]中的對應位置。這需要了解單元中的節(jié)點編碼與結構中的節(jié)點編碼之間的對應關系。4/29/2023第53頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023結構中的節(jié)點編碼稱為節(jié)點的總碼，各個單元的三個節(jié)點又按逆時針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點的局部碼。單元剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點的局部碼排列的，而結構剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點的總碼排列的。因此，在單元剛度矩陣中，把節(jié)點的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。第54頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023以單元②為例，局部碼i,j,m對應于總碼5,2,4，因此子塊按照總碼重新排列后，得出擴大矩陣為：而相應的單元剛度方程為（或節(jié)點力表達式）：第55頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一用同樣的方法可得出其他單元的擴大的單元剛度方程:4/29/2023據(jù)節(jié)點力平衡，各個單元相應節(jié)點力疊加：整理可得，整體平衡方程：第56頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023整體平衡方程：

1）其中[K]為將各單元的擴大矩陣迭加所得出的結構剛度矩陣：集成包含搬家和迭加兩個環(huán)節(jié)：

A、將單元剛度矩陣中的子塊搬家，得出單元的擴大剛度矩陣。

B、將各單元的擴大剛度矩陣迭加，得出結構剛度矩陣[K]。2）為節(jié)點載荷向量，為節(jié)點位移向量。第57頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023第58頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達到節(jié)省存貯容量的途徑。

1、對稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。

2、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。第59頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。

節(jié)點5只與周圍的六個節(jié)點(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它們是5的相關節(jié)點。只有當這七個相關節(jié)點產(chǎn)生位移時，才使該節(jié)點產(chǎn)生節(jié)點力，其余節(jié)點發(fā)生位移時并不在該節(jié)點處引起節(jié)點力。因此，在矩陣[K]中，第5行的非零子塊只有七個(即與相關節(jié)點對應的七個子塊)。第60頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/20232、稀疏性一般，一個節(jié)點的相關結點不會超過九個，如果網(wǎng)格中有200個節(jié)點，則一行中非零子塊的個數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于9/200，即在5%以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點個數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。利用矩陣[K]的稀疏性，可設法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。第61頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023

3、帶形分布規(guī)律。上圖中，矩陣[K]的非零元素分布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內，稱為帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中(包括對角線元素在內)，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶寬的一般計算公式是：半帶寬d=(相鄰結點碼的最大差值+1)*2

上圖中相鄰節(jié)點碼的最大差值為4，故d=(4+1)*2=10

利用帶形矩陣的特點并利用對稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。

第62頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023圖(a)中的矩陣[K]為n行n列矩陣，半帶寬為d。半帶存貯時從[K]中取出上半帶元素，按圖(b)中的矩陣的排列方式進行存貯，即將上半部斜帶換成豎帶。存貯量n*d，存貯量與[K]中元素總數(shù)之比為d/n，d值越小，則存貯量約省。矩陣[K]矩陣對角線第1列

r行r行

r列45度斜線r行s列r行s-r+1列元素元素第63頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一4/29/2023同一網(wǎng)格中，如果采用不同的節(jié)點編碼，則相應的半帶寬d也可能不同。如圖，是同一網(wǎng)格的三種節(jié)點編碼，相鄰節(jié)點碼的最大差值分別為4、6、8，半帶寬分別為10、14、18。因此，應當采用合理的節(jié)點編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。第64頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一無約束結構的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程的解不唯一，所以，必須引入幾何約束，才能求得唯一解。位移約束常分為：節(jié)點固定和給定節(jié)點位移兩種約束。由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點載荷形成后進行，即此時[K]、{R}中的元素均已按一定順序分別儲存于相應的數(shù)組，故引入位移約束時，要求盡量不要打亂[K]、{R}的儲存順序。引入約束的方法常有：1）降階法2）對角元素置1法3）對角元素乘大數(shù)法4/29/2023第65頁，共78頁，2023年，2月20日，星期一1）降階法：此法將打亂[K]{R}的儲存順序，僅用于方法說明。設節(jié)點位移中，