半導體物理(第一章)

半導體物理(第一章)第一頁，共86頁。內(nèi)容簡介半導體中的電子狀態(tài)半導體中雜質(zhì)和缺陷能級半導體中載流子的統(tǒng)計分布半導體的導電性非平衡載流子pn結(jié)金屬和半導體的接觸半導體表面及MIS結(jié)構(gòu)異質(zhì)結(jié)半導體光學性質(zhì)和光電與發(fā)光現(xiàn)象第二頁，共86頁。第一章半導體中的電子狀態(tài)

本章主要討論半導體中電子的運動狀態(tài)。介紹了半導體中能帶的形成，半導體中電子的狀態(tài)和能帶特點，在講解半導體中電子的運動時，引入了有效質(zhì)量的概念。闡述本征半導體的導電機構(gòu)，引入了空穴的概念。最后，介紹了Si、Ge和GaAs的能帶結(jié)構(gòu)。第三頁，共86頁。1、電子共有化運動原子中的電子在原子核的勢場和其它電子的作用下，分列在不同的能級上，形成所謂電子殼層

不同支殼層的電子分別用1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s…等符號表示，每一殼層對應(yīng)于確定的能量。當原子相互接近形成晶體時，不同原子的內(nèi)外各電子殼層之間就有了一定程度的交疊，相鄰原子最外殼層交疊最多，內(nèi)殼層交疊較少?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.1晶體中的電子狀態(tài)第四頁，共86頁。原子組成晶體后，由于電子殼層的交疊，電子不再完全局限在某一個原子上，可以由一個原子轉(zhuǎn)移到相鄰的原子的相同電子軌道上去，因而，電子將可以在整個晶體中運動。這種運動稱為電子的共有化運動特點：1.外層電子軌道重疊大，共有化運動顯著

2.電子只能在能量相同的軌道之間轉(zhuǎn)移，引起相對應(yīng)的共有化§1.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.1晶體中的電子狀態(tài)第五頁，共86頁。2、電子共有化運動使能級分裂為能帶例如：兩個原子相距很遠時，如同孤立原子，每個能級都有兩個態(tài)與之相應(yīng)，是二度簡并的。EAEA‘

互相靠近時，原子中的電子除受本身原子的勢場作用，還受到另一個原子勢場的作用結(jié)果每個能級都分裂為二個彼此相距離很近的能級；兩個原子靠得越近，分裂得越厲害?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.1晶體中的電子狀態(tài)單獨的兩個原子中的某個能級形成晶體后對應(yīng)的分裂能級第六頁，共86頁。分裂的能級數(shù)與支殼層的簡并度有關(guān)：八個原子組成晶體時2s能級分裂為8個能級；2p能級本身是三度簡并，分裂為24個能級。八個原子形成晶體時能級分裂的情況第七頁，共86頁。當N個原子彼此靠近時，原來分屬于N個原子的相同的價電子能級必然分裂成屬于整個晶體的N個能量稍有差別的能帶?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.1晶體中的電子狀態(tài)第八頁，共86頁。能帶特點：（1）原子中的電子能級分裂成N個彼此靠的很近的能級，組成一個能帶稱為允帶，晶體中的電子分布在這些能級中，能帶由下至上能量增高；允帶間的能量間隙稱為禁帶（2）內(nèi)層電子受到的束縛強，共有化運動弱，能級分裂小，對應(yīng)的能帶窄；外層電子子受束縛弱，共有化運動強，能級分裂明顯，對應(yīng)的能帶寬?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.1晶體中的電子狀態(tài)第九頁，共86頁。共有化狀態(tài)數(shù)---每一個能帶包含的能級數(shù)。與孤立原子的簡并度有關(guān)。s能級分裂為N個能級（N個共有化狀態(tài)）；p能級本身是三度簡并，分裂為3N能級（3N個共有化狀態(tài)）。但并不是所有的能帶都一一對應(yīng)著原子中的電子軌道，我們來觀察一下金剛石型結(jié)構(gòu)的價電子能帶示意圖?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.1晶體中的電子狀態(tài)第十頁，共86頁。下面的能帶填滿了電子，它們相應(yīng)于共價鍵上的電子，這個帶通常稱為滿帶（或價帶）；上面一個能帶是空的沒有電子（或含少量電子）稱為導帶。注意：通常能帶圖的畫法?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.1晶體中的電子狀態(tài)第十一頁，共86頁?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論⒈電子的運動狀態(tài)（1）孤立原子中的電子是在其原子核和其它電子的勢場中運動（2）自由電子是在恒定為零的勢場中運動（3）晶體中的電子？絕熱近似——認為晶格振動對電子運動影響很小而被忽略。就好像原子的整體運動和電子運動之間不交換能量，因此可以認為原子都固定在平衡位置，形成一個周期性勢能場單電子近似——晶體中的某一個電子是在周期性排列且固定不動的原子核的勢場以及其它大量電子的平均勢場中運動，這個勢場也是周期性變化的，而且它的周期與晶格周期相同。

第十二頁，共86頁。⒉波函數(shù)德布羅意假設(shè):一切微觀粒子都具有波粒二象性。自由粒子的波長、頻率、動量、能量有如下關(guān)系即：具有確定的動量和確定能量的自由粒子，相當于頻率為ν和波長為λ的平面波，二者之間的關(guān)系如同光子與光波的關(guān)系一樣。自由粒子的波函數(shù)為：Ψ(r,t)=Aexp[i(k·r-ωt)]§1.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論第十三頁，共86頁。統(tǒng)一波和粒子的概念：用一波函數(shù)Ψ(r,t)描寫電子的狀態(tài)時，則波函數(shù)模的平方表示t時刻在空間某處波的強度，或表示與t時刻在空間某處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的數(shù)目成正比，而波的強度為極大的地方，找到粒子的數(shù)目為極大，在波的強度為零的地方，找到粒子的數(shù)目為零。一個粒子的多次重復行為結(jié)果與大量粒子的一次行為相同，所以波函數(shù)模的平方表示在某處找到粒子的幾率?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論第十四頁，共86頁。定態(tài)波函數(shù)和定態(tài)薛定諤方程若作用于粒子上的力場不隨時間改變，波函數(shù)有較簡單的形式：Ψ(r,t)=ψ(r)·exp(-iωt)

定態(tài)波函數(shù)ψ(r)=Aexp(ik·r)為一個空間坐標函數(shù)（振幅波函數(shù)）,整個波函數(shù)隨時間的改變由exp(-iωt)因子決定。定態(tài)薛定諤方程：

§1.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論第十五頁，共86頁。⒊電子在周期性勢場中的運動考慮一維晶體中電子所遵守的薛定諤方程如下:書中(1-13)§1.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論第十六頁，共86頁。布洛赫曾經(jīng)證明，滿足式(1-13)的波函數(shù)一定具有如下形式：式中k為波矢，是一個與晶格同周期的周期性函數(shù)，即：式中n為整數(shù)，a為晶格的周期?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論書中(1-14)第十七頁，共86頁。式(1-13)具有式(1-14)形式的解，這一結(jié)論稱為布洛赫定理。具有式(1-14)形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)晶體中的電子運動服從布洛赫定理：

§1.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論第十八頁，共86頁。與自由電子相比，晶體中的電子在周期性的勢場中運動的波函數(shù)與自由電子波函數(shù)形式相似，不過這個波的振幅uk(x)隨x作周期性的變化，且變化周期與晶格周期相同。——被調(diào)幅的平面波對于自由電子在空間各點找到電子的幾率相同；而晶體中各點找到電子的幾率具有周期性的變化規(guī)律?！娮硬辉偻耆窒拊谀硞€原子上，而是進行共有化運動。外層電子共有化運動強，稱為準自由電子。布洛赫波函數(shù)中的波矢k與自由電子波函數(shù)中的一樣，描述晶體中電子的共有化運動狀態(tài)?！?.1半導體中的電子狀態(tài)和能帶

§1.1.2電子在周期場中的運動——能帶論第十九頁，共86頁?！?.2克龍尼克-潘納模型下的能帶結(jié)構(gòu)克龍尼克-潘納模型一維周期性勢函數(shù)晶格周期a=b+c周期性勢場第二十頁，共86頁。第二十一頁，共86頁。結(jié)論：⒈在k=nπ/a處，即布里淵區(qū)邊界上能量出現(xiàn)不連續(xù)性，形成允帶和禁帶；每個布里淵區(qū)對應(yīng)于一個能帶。⒉E(k)是k的周期性函數(shù)，周期為2π/a，即：

E(k)=E(k+2π/a)，說明k和k+2π/a表示相同狀態(tài)。⒊只取第一布里淵區(qū)的k值描述電子的運動狀態(tài)，其他區(qū)域移動n2π/a與第一區(qū)重合；也稱第一布里淵區(qū)為簡約布里淵區(qū)?！?.2克龍尼克-潘納模型下的能帶結(jié)構(gòu)第二十二頁，共86頁。⒋在考慮能帶結(jié)構(gòu)時，只需考慮簡約布里淵區(qū)，在該區(qū)域，能量是波矢的多值函數(shù)，必須用En(k)標明是第幾個能帶。⒌對于有邊界的晶體，需考慮邊界條件，根據(jù)周期性邊界條件，波矢只能取分立的數(shù)值，每一個能帶中的能級數(shù)（簡約波矢數(shù)）與固體物理學原胞數(shù)N相等。每一個能級可容納2個電子。⒍能量越高的能帶，其能級間距越大。§1.2克龍尼克-潘納模型下的能帶結(jié)構(gòu)第二十三頁，共86頁。第二十四頁，共86頁。對于有限的晶體，根據(jù)周期性邊界條件，波矢k只能取分立數(shù)值。對于三維晶體kx=2πnx/N1a1(nx=0,±1,±2,…)ky=2πny/N2a2(ny=0,±1,±2,…)kz=2πnz/N3a3(nz=0,±1,±2,…)

由上式可以證明每個布里淵區(qū)中有N（其中N=N1N2N3）個k狀態(tài)（N為晶體的固體物理學原胞數(shù)）

§1.2克龍尼克-潘納模型下的能帶結(jié)構(gòu)第二十五頁，共86頁。導體、半導體、絕緣體的能帶從能帶論的角度來看，固體能夠?qū)щ娛怯捎谠陔妶隽ψ饔孟码娮幽芰堪l(fā)生變化，從一個能級躍遷到另一個能級上去。對于滿帶，能級全部為電子所占滿，所以滿帶中的電子不形成電流，對導電沒有貢獻；對于空的能帶，由于沒有電子，也同樣對導電沒有貢獻；而被電子部分占滿的能帶，在外電場作用下，電子可以從電場中吸收能量躍遷到未被電子占據(jù)的能級上形成了電流，起導電作用?！?.2克龍尼克-潘納模型下的能帶結(jié)構(gòu)第二十六頁，共86頁。金屬中，價電子占據(jù)的能帶是部分占滿的，所以金屬是良好的導體。絕緣體和半導體能帶類似，在絕對零度時價帶是全滿的，價帶之上是沒有電子的空帶所以不導電。但在通常溫度下，價帶頂部的少量電子可能會激發(fā)到空帶底部，使原來的空帶和價帶都成為部分占滿的能帶，在外電場作用下這些部分占滿的能帶中的電子將參與導電。由于絕緣體的禁帶寬度很大，電子從價帶激發(fā)到導帶需要很大能量，所以通常溫度下絕緣體中激發(fā)到導帶去的電子很少，導電性差；半導體禁帶比較?。〝?shù)量級為1eV），在通常溫度下有不少電子可以激發(fā)到導帶中去，所以導電能力比絕緣體要好?！?.2克龍尼克-潘納模型下的能帶結(jié)構(gòu)第二十七頁，共86頁。§1.3半導體中電子（在外力下）的運動

及有效質(zhì)量1.3.1半導體導帶中E(k)與k的關(guān)系定性關(guān)系如圖所示定量關(guān)系必須找出E(k)函數(shù)第二十八頁，共86頁?！?.3.1半導體導帶底附近E（k）與k的關(guān)系用泰勒級數(shù)展開可以近似求出極值附近的E(k)與k的關(guān)系，以一維情況為例，設(shè)能帶底位于k＝0，將E(k)在k＝0附近按泰勒級數(shù)展開，取至項，得到K=0時能量極小，所以，因而為一定值，令，得到：——注意對比自由電子第二十九頁，共86頁。

定義為電子有效質(zhì)量注意：在能帶底電子有效質(zhì)量是正值在能帶頂電子有效質(zhì)量是負值

它概括了半導體內(nèi)部的勢場作用

§1.3.1半導體導帶底附近E（k）與k的關(guān)系第三十頁，共86頁?！?.3.2能帶極值附近電子的運動⒈半導體中電子的平均速度根據(jù)量子力學，電子的運動可以看作波包的運動，波包的群速就是電子運動的平均速度（波包中心的運動速度）。設(shè)波包有許多角頻率ω相近的波組成，則波包的群速為：根據(jù)波粒二象性，角頻率為ω的波，其粒子的能量E為

，所以第三十一頁，共86頁。將代入上式，可得由于不同位置有效質(zhì)量正負的不同，速度的正負方向也會不同§1.3.2能帶極值附近電子的運動第三十二頁，共86頁。⒉半導體中電子的加速度

有強度為ε的外電場作用在半導體時,電子受力為f=-qε,在dt時間內(nèi)，位移為ds,外力對電子做的功等于能量的變化,有§1.3.2能帶極值附近電子的運動代換則第三十三頁，共86頁。半導體中電子的加速度具有牛頓第二定律的形式

§1.3.2能帶極值附近電子的運動根據(jù)有效質(zhì)量的定義：得到加速度為：第三十四頁，共86頁?！?.3.3有效質(zhì)量的意義由上述推導可以看出，當半導體中的電子在外力作用時，描述電子運動規(guī)律的方程中出現(xiàn)的是有效質(zhì)量而不是電子的慣性質(zhì)量。引進有效質(zhì)量的意義就在于它概括了半導體內(nèi)部勢場的作用，使得在解決半導體中電子受外力作用下的運動規(guī)律時，可以不涉及半導體內(nèi)部勢場的作用。有效質(zhì)量可以通過實驗直接測得，因而可以方便地解決半導體中電子的運動規(guī)律。第三十五頁，共86頁。有效質(zhì)量與能量函數(shù)對于k的二次微商成反比，對寬窄不同的各個能帶，E(k)隨k的變化情況不同，能帶越窄，二次微商越小，有效質(zhì)量越大。因此：內(nèi)層電子的能帶窄，有效質(zhì)量大外層電子的能帶寬，有效質(zhì)量小

外層電子，在外力的作用下可以獲得較大的加速度。§1.3.3有效質(zhì)量的意義123第三十六頁，共86頁?！?.3.4半導體中電子的準動量自由電子的真實動量：半導體中電子的準動量：mn*υ與m0υ有相同的形式，稱mn*υ為半導體中電子的準動量其中的mn*有質(zhì)量的量綱有效質(zhì)量與慣性質(zhì)量有質(zhì)的區(qū)別，前者隱含了晶格勢場的作用第三十七頁，共86頁。外力作用下半導體中電子的運動規(guī)律

電子在外力作用下運動受到外電場力f的作用內(nèi)部原子、電子相互作用內(nèi)部勢場作用引入有效質(zhì)量外力f和電子的加速度相聯(lián)系有效質(zhì)量概括內(nèi)部勢場作用第三十八頁，共86頁。例題分析：1滿帶電子不導電滿帶中的電子波矢狀態(tài)是正負對稱分布的，狀態(tài)

和

具有相同的能量

且具有大小相等方向相反的速度如果這兩個狀態(tài)中都有電子，它們對電流的貢獻恰好相互抵消。因此對一個被電子填滿的能帶（滿帶）成對的電子電流都抵消掉，總電流為零。第三十九頁，共86頁。在電場E作用下，每一個狀態(tài)改變?yōu)榧此须娮拥臓顟B(tài)都以相同的速度沿電場相反的方向運動。由于各電子狀態(tài)在布里淵區(qū)內(nèi)的分布是均勻的，晶體中總的電子狀態(tài)分布不會因有電場的作用而改變。因此滿帶中的電子在電場作用下k狀態(tài)的改變并不改變電子在滿帶的分布，具有正負速度電子對電流的貢獻同樣恰好抵消，所以滿帶電子即使有電場作用也不會產(chǎn)生電流。第四十頁，共86頁。2不滿帶情況（1）無電場作用在沒有電場作用時，電子在各狀態(tài)中的分布是均衡的，占據(jù)k狀態(tài)和-k狀態(tài)的概率相等，因而使具有正負速度的電子對電流的貢獻也相互抵消，所以沒有電流第四十一頁，共86頁。（2）有電場作用在電場作用時，電子可以在電場作用下躍遷到能量較高的空能級上去。經(jīng)過一定時間間隔，電子在布里淵區(qū)狀態(tài)中的分布不再是對稱的，具有正負速度的電子對電流的貢獻不再抵消，就會存在電子的定向運動，總電流不會為零。因此如果能帶不滿在電場作用時，晶體就會導電。第四十二頁，共86頁。3.電子的有效質(zhì)量變?yōu)椤薜奈锢硪饬x是什么?

從能量的角度討論.電子能量的變化從上式可以看出，當電子從外場力獲得的能量又都輸送給了晶格時,電子的有效質(zhì)量變?yōu)椤?此時電子的加速度即電子的平均速度是一常量.或者說,此時外場力與晶格作用力大小相等,方向相反.第四十三頁，共86頁?！?.4本征半導體的導電機構(gòu)空穴§1.4.1導電條件——有外加電場，有載流子滿帶中的電子不導電雖包含電子但并未填滿的能帶才有一定的導電性，即不滿的能帶中的電子才可以導電絕對溫度為零時，純凈半導體的價帶被價電子填滿，導帶是空的不導電在一定的溫度下，價帶頂部附近有少量電子被激發(fā)到導帶底附近，在價帶留下空狀態(tài)，價帶和導帶電子都是未填滿狀態(tài)，導帶電子和價帶中電子都可以參與導電第四十四頁，共86頁。第四十五頁，共86頁?！?.4.2空穴的概念在牛頓第二定律中要求有效質(zhì)量為正值，但價帶頂電子的有效質(zhì)量為負值。這在描述價帶頂電子的加速度遇到困難。為了解決這一問題，引入空穴的概念——

空穴是價帶頂部附近的電子激發(fā)到導帶后留下的價帶空狀態(tài)?！?.4本征半導體的導電機構(gòu)空穴第四十六頁，共86頁。在絕對零度時，晶體中的電子都被束縛在共價鍵上，晶體中任何局部都是電中性的。當溫度不為零時，共價鍵上一個電子掙脫共價鍵的束縛進入晶格間隙形成導電電子，在原共價鍵處形成空狀態(tài)，為了滿足電中性，該空狀態(tài)帶一個正電荷。當另一個共價電子填這個空位…相當于空位在移動，把這個帶一個單位正電荷的空位稱為空穴§1.4.2空穴的概念第四十七頁，共86頁。對本征半導體，導帶中出現(xiàn)多少電子，價帶中就對應(yīng)出現(xiàn)多少空穴，導帶上電子和價帶上空穴都參與導電——半導體的兩種載流子。載流子：晶體中荷載電流（或傳導電流）的粒子。金屬中為電子，半導體中有兩種載流子即電子和空穴。這一點是半導體同金屬的最大差異，正是由于這兩種載流子的作用，使半導體表現(xiàn)出許多奇異的特性，可用來制造形形色色的器件?！?.4.2空穴的概念第四十八頁，共86頁?！?.4.3空穴的性質(zhì)⒈空穴的速度設(shè)空穴出現(xiàn)在能帶頂部A點，其他k狀態(tài)均勻分布在布里淵區(qū)內(nèi)，都有電子占據(jù)。

當有外電場ε作用時（方向向右），所有電子均受到力f=-qε作用，電子的k狀態(tài)不斷變化，即所有電子以相同的速率向左運動。B電子→C位置，C電子→D位置，Y電子→X位置，X電子→A位置，也就是說電子從左端離開同時從右端填補進來。第四十九頁，共86頁。

下個時刻，B電子→原來D位置，X電子→原來B位置，Y電子→原來A位置。在這個過程中，所有電子由于電場力作用向左方移動，而空狀態(tài)A也從原來A位置移動到B位置進而到原來的C位置，和電子k狀態(tài)的變化是相同的。

可以看出，隨著所有電子向左運動的同時，空穴也以相同的速率沿同一方向運動，即——空穴k狀態(tài)的變化規(guī)律和電子的相同，都為第五十頁，共86頁。再來看看電流情況：電流密度J=價帶（有k狀態(tài)空出的）所有電子總電流假設(shè)該價帶沒有空狀態(tài)，即用一個電子填充上A的空狀態(tài)（設(shè)該空狀態(tài)波矢為k），則該電子產(chǎn)生的電流為：A空狀態(tài)電子電流=（-q）v(k)

填入這個電子后，價帶全滿，所以總電流為零，即：J+（-q）v(k)=0

所以電流密度J=(+q)v(k)

這就是說：當價帶k狀態(tài)空出時，價帶產(chǎn)生的電子總電流就如同一個帶一個單位正電荷的粒子以k狀態(tài)的電子速度v(k)運動時產(chǎn)生的電流。第五十一頁，共86頁。綜上：當價帶k狀態(tài)空出時，價帶產(chǎn)生的電子總電流就如同一個帶一個單位正電荷的粒子以k狀態(tài)的電子速度v(k)運動時產(chǎn)生的電流。

占據(jù)該空狀態(tài)的粒子就是我們所定義的空穴，它帶一個單位的正電荷，它的速度就是空穴所占據(jù)的k狀態(tài)處的電子速度v(k)。第五十二頁，共86頁。⒉空穴的有效質(zhì)量

空穴自A→B→C，空穴的k狀態(tài)不斷變化，速度也不斷變化。由于空穴位于價帶頂部，當k狀態(tài)自A到C時，E(k)曲線的斜率不斷增大，因而空穴的速度不斷增加，加速度應(yīng)為正值。

前面已經(jīng)得出，價帶頂部附近電子的加速度為§1.4.3空穴的性質(zhì)第五十三頁，共86頁。參照電子加速度的表達形式，由于空穴帶正電荷，在電場中受力應(yīng)當為+qε，令則得到空穴的加速度可表示為

可以看出，空穴具有正的有效質(zhì)量。第五十四頁，共86頁。小結(jié)：

當價帶中缺少一些電子而空出一些k狀態(tài)后，可以認為這些k狀態(tài)為空穴所占據(jù)?？昭梢钥醋魇且粋€具有正電荷q和正有效質(zhì)量mp*的粒子，在k狀態(tài)的空穴速度就等于該狀態(tài)的電子速度v(k)。引進空穴的概念后，就可以把價帶中大量電子對電流的貢獻用少量的空穴表達出來?！?.4.3空穴的性質(zhì)第五十五頁，共86頁。習題設(shè)晶格常數(shù)為a的一維晶格，導帶極小值附近能量Ec(k)和價帶極大值附近能量Ev(k)分別為：

式中m0為電子慣性質(zhì)量，k1=π/a，試求：

⑴禁帶寬度；⑵導帶底電子有效質(zhì)量；

⑶價帶頂電子有效質(zhì)量；

⑷價帶頂電子躍遷到導帶底時準動量的變化。

第五十六頁，共86頁?！?.5回旋共振

§1.5.1k空間等能面設(shè)一維情況下，能帶極值位于波矢k=0處導帶底附近：價帶頂附近：右圖為極值附近E(k)與k的關(guān)系曲線，如果知道電子或空穴的有效質(zhì)量，則極值附近的能帶結(jié)構(gòu)便可以掌握。第五十七頁，共86頁?！?.5.1k空間等能面對實際的三維而言，E(k)函數(shù)可能會是復雜的曲面。不同半導體的E(k)～k關(guān)系各不相同。即便對于同一種半導體，沿不同k方向的E(k)～k關(guān)系也不相同。換言之，半導體的E(k)～k關(guān)系可以是各向異性的。因為沿不同k方向E(k)～k關(guān)系不同就意味著半導體中電子的有效質(zhì)量mn*是各向異性的。第五十八頁，共86頁。三維情況下，如果導帶底Ec位于k=0處，對于各向同性的有效質(zhì)量mn*，其在導帶底附近能量函數(shù)為當E(k)為確定值時，對應(yīng)了許多個不同的(kx，ky，kz)，把這些不同的(kx，ky，kz)連接起來就可以構(gòu)成一個能量值相同的封閉面，稱為等能量面，簡稱等能面。k空間等能面為k空間能量相同的各k值點所構(gòu)成的曲面。上式所示的E(k)～k關(guān)系其等能面為球面?！?.5.1k空間等能面第五十九頁，共86頁。具有球形等能面的E(k)～k關(guān)系其電子有效質(zhì)量是各向同性的。半徑為的球面在這個面上能量值相等§1.5.1k空間等能面各向同性的k空間等能面平面圖第六十頁，共86頁。對于各向異性的晶體，E(k)與k的關(guān)系沿不同k方向不一定相同，也就是說不同k方向電子有效質(zhì)量不同，而且能帶極值也不一定位于k＝0處設(shè)導帶底位于k0，在晶體中選取適當?shù)淖鴺溯Skx，ky，kz，令mx*，my*，mz*分別表示沿kx，ky，kz方向的導帶底電子有效質(zhì)量，用泰勒級數(shù)在k0附近展開，保留到平方項，得到§1.5.1k空間等能面第六十一頁，共86頁。式中還可寫為（將E(k0)改寫成Ec）k0橢球型等能面第六十二頁，共86頁。§1.5.2回旋共振1.晶體中電子在磁場作用下的運動半導體樣品置于均勻恒定磁場假設(shè)電子速度υ與B夾角為θ，電子受力電子的運動軌跡為螺旋線，圓周半徑為r，回旋頻率為，向心加速度為a，關(guān)系式為：第六十三頁，共86頁。實驗目的測量電子的有效質(zhì)量，以便采用理論與實驗相結(jié)合的方法推出半導體的能帶結(jié)構(gòu)實驗原理固定交變電磁場的頻率，改變磁感應(yīng)強度以觀測吸收現(xiàn)象，磁感應(yīng)強度一般約為零點幾T。2.回旋共振實驗§1.5.2回旋共振第六十四頁，共86頁。半導體的等能面形狀與有效質(zhì)量（各向同性還是各向異性）密切相關(guān)

球形等能面有效質(zhì)量各向同性，即只有一個有效質(zhì)量

橢球等能面有效質(zhì)量各向異性，即在不同的波矢方向?qū)?yīng)不同的有效質(zhì)量§1.5.2回旋共振第六十五頁，共86頁。

等能面為球面半導體樣品置于均勻恒定磁場中，回旋頻率為以電磁波通過半導體樣品，交變電場頻率等于回旋頻率時，發(fā)生共振吸收測出頻率和電磁感應(yīng)強度便可得到mn*§1.5.2回旋共振第六十六頁，共86頁。

等能面為橢球（有效質(zhì)量各向異性），設(shè)電子沿k的三個方向的有效質(zhì)量分別為，磁場強度B沿的方向余弦分別為α，β，γ電子受力電子運動方程如下：§1.5.2回旋共振第六十七頁，共86頁。電子做周期性運動，取試解代入運動方程中得：§1.5.2回旋共振第六十八頁，共86頁。要使有異于零的解，系數(shù)行列式必須為零，即：解得回旋頻率為式中§1.5.2回旋共振第六十九頁，共86頁。回旋共振實驗的基本要求：在低溫下進行磁場強度（零點幾T）材料高純度這是為了能觀測出明顯的共振吸收峰§1.5.2回旋共振第七十頁，共86頁?！?.6Si、Ge和GaAs的能帶結(jié)構(gòu)

§1.6.1硅和鍺的導帶結(jié)構(gòu)Si的回旋共振的實驗結(jié)果如下：

1)若B沿[111]方向，只有一個吸收峰

2)若B沿[110]方向，有2個吸收峰

3)若B沿[100]方向，有2個吸收峰

4)若B沿任意方向，有3吸收峰第七十一頁，共86頁?！?.6.1硅和鍺的導帶結(jié)構(gòu)根據(jù)以上結(jié)果,可以假設(shè):1)導帶最小值不在k空間原點,在[100]方向上,即是沿[100]方向的旋轉(zhuǎn)橢球面2)根據(jù)硅晶體立方對稱性的要求,也必有同樣的能量在方向上3)如右圖所示,共有六個旋轉(zhuǎn)橢球等能面,半長軸沿<100>方向，電子主要分布在這些極值附近硅導帶等能面示意圖第七十二頁，共86頁。設(shè)是第S個極值所對應(yīng)的波矢，S＝1、2、…、6，極值處能級為Ec，則§1.6.1硅和鍺的導帶結(jié)構(gòu)第七十三頁，共86頁。

以沿[001]方向的旋轉(zhuǎn)橢球為例：設(shè)kz軸沿[001]方向，kx,ky軸位于(001)面內(nèi)，互相垂直，這時沿kx,ky軸有效質(zhì)量相同設(shè)mx*=my*=mt,mz*=ml,則等能面方程為§1.6.1硅和鍺的導帶結(jié)構(gòu)第七十四頁，共86頁。選取合適的kx使磁感應(yīng)強度B位于kx軸和kz軸所組成的平面內(nèi)，且同ky軸交角，B的方向余弦分別為：代入得：§1.6.1硅和鍺的導帶結(jié)構(gòu)B相對于k空間坐標軸的取向第七十五頁