最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)胡壽松版課后習(xí)題答案

5求通過(guò)，，使下列性能泛函為極值的極值曲線(xiàn)：解：由題可知，始端和終端均固定，被積函數(shù)，，，代入歐拉方程，可得，即故其通解為：代入邊界條件，，求出，極值曲線(xiàn)為2-6已知狀態(tài)的初值和終值為，式中自由且>1，試求使下列性能泛函達(dá)到極小值的極值軌線(xiàn)：解：由題可知，，，，歐拉方程：橫截條件：，，易得到故其通解為：根據(jù)橫截條件可得：解以上方程組得：還有一組解(舍去，不符合題意>1)將，，代入可得.極值軌線(xiàn)為2-7設(shè)性能泛函為求在邊界條件，自由情況下，使性能泛函取極值的極值軌線(xiàn)。解：由題可知，，，自由歐拉方程：橫截條件：，，易得到其通解為：代入邊界條件，，，求出，將，，代入可得極值軌線(xiàn)為2－8設(shè)泛函端點(diǎn)固定，端點(diǎn)可沿空間曲線(xiàn)移動(dòng)。試證：當(dāng)泛函取極值時(shí)，橫截條件為證：根據(jù)題意可知，此題屬于起點(diǎn)固定，末端受約束情況，由可得，（1）由c=,,（2）將（2）代入（1）式，得：,得證。2-13設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程，，性能指標(biāo)如下：要求達(dá)到，試求（1）時(shí)的最優(yōu)控制。（2）自由時(shí)的最優(yōu)控制。解：由題可知構(gòu)造H：正則方程：可求得控制方程：由上式可得由狀態(tài)方程，可得（1）時(shí)由邊界條件，，，可得得故有有最優(yōu)控制（2）若自由由哈密頓函數(shù)在最優(yōu)軌線(xiàn)末端應(yīng)滿(mǎn)足的條件得即，從而，代入可得因?yàn)闀r(shí)間總為正值，所以此題無(wú)解。3-2設(shè)二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程邊界條件試求下列性能指標(biāo)的極小值：解：由題可知構(gòu)造H：由協(xié)態(tài)方程和極值條件：得代入狀態(tài)方程得：即，代入初始條件解得：故，此時(shí)3-4給定一階系統(tǒng)方程，控制約束為，試求使下列性能指標(biāo)：為極小值的最優(yōu)控制及相應(yīng)的最優(yōu)軌線(xiàn)。解：由題可知構(gòu)造H：哈密頓函數(shù)達(dá)到極小值就相當(dāng)于使性能指標(biāo)極小，因此要求極小。且取其約束條件的邊界值，即時(shí)，使哈密頓函數(shù)H達(dá)到最小值。所以，最優(yōu)控制應(yīng)取由協(xié)態(tài)方程可得由橫截條件求得，于是有顯然，當(dāng)時(shí)，產(chǎn)生切換，其中為切換時(shí)間。不難求得，故最優(yōu)控制為將代入狀態(tài)方程，得解得代入初始條件，可得，因而，在上式中，令，可求出時(shí)的初始條件從而求得。因而，于是，最優(yōu)軌線(xiàn)為將求得的和代入式J，得最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)解曲線(xiàn)如下：3-5控制系統(tǒng)，試求最優(yōu)控制,以及最優(yōu)軌線(xiàn)和,使性能指標(biāo)為極小值。解：哈密爾頓函數(shù)為由協(xié)態(tài)方程：，解得，由極值條件：，解得，由狀態(tài)方程有，解得，代入初始值解得：，故此時(shí)…………………..3－6已知二階系統(tǒng)方程式中自由。試求使性能指標(biāo)為極小的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線(xiàn)以及最優(yōu)指標(biāo)。解：本例為線(xiàn)性定常系統(tǒng)，積分型性能指標(biāo)，自由，末端固定的最優(yōu)化問(wèn)題。構(gòu)造哈密頓函數(shù)為：由極小值條件應(yīng)?。?由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線(xiàn)的變化律：，可得：，即：，可知：，（其中矛盾），由協(xié)態(tài)方程有：，由初始條件解得：，由所給狀態(tài)方程及初始條件解得：………………………3-7已知二階系統(tǒng)方程，，式中控制約束為試確定最優(yōu)控制。將系統(tǒng)在時(shí)刻由轉(zhuǎn)移到空間原點(diǎn)，并使性能指標(biāo)取最小值，其中自由。解：由題可知構(gòu)造哈密頓函數(shù)：按照最小值原理，最優(yōu)控制應(yīng)取由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線(xiàn)的變化規(guī)律可得以及因?yàn)?，可以求出由協(xié)態(tài)方程解得，當(dāng)時(shí)(試取)代入初始條件，，可得代入末端條件，可得又，聯(lián)立解得于是有在時(shí)，正好滿(mǎn)足要求故最優(yōu)控制為，相應(yīng)的最優(yōu)性能指標(biāo)為最優(yōu)軌線(xiàn)為3-17已知系統(tǒng)方程，，性能指標(biāo)，末端。試用連續(xù)極小值原理求最優(yōu)控制與最優(yōu)軌跡。解：構(gòu)造哈密頓函數(shù)：，由協(xié)態(tài)方程：，解得：，由極值條件：，解得，代入狀態(tài)方程有：，解得，代入初始值解得：，故最優(yōu)軌線(xiàn)為：，又，所以最優(yōu)控制律為：，此時(shí)3-28已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，控制約束為|u（t）|1。試求最優(yōu)控制u*（t），使系統(tǒng)由任意初態(tài)最快地轉(zhuǎn)移到，的末態(tài)。寫(xiě)出開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)方程，并繪出開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)的圖形。解：本例為二次積分模型的最小時(shí)間控制問(wèn)題。容易判定系統(tǒng)可控，因而必為Bang-Bang控制。構(gòu)造哈密頓函數(shù):由協(xié)態(tài)方程得：解得：。，知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。若時(shí)，代入狀態(tài)方程考慮到初始狀態(tài)，解得：，消t得：，同理，若時(shí)，解得：，由末態(tài)配置到，取開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)為過(guò)（2,1）的那條曲線(xiàn)，即開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)方程為：開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)圖如下：開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)3-31設(shè)二階系統(tǒng)：，控制約束|u（t）|1。試求使系統(tǒng)由已知初態(tài)最快地轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間最優(yōu)控制u*（t）和開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)。（注：本題書(shū)上的是錯(cuò)的，因?yàn)榘磿?shū)上的得不到相平面軌跡方程）解：本例為二次積分模型的最小時(shí)間控制問(wèn)題。容易判定系統(tǒng)可控，因而必為Bang-Bang控制。構(gòu)造哈密頓函數(shù):，知最優(yōu)控制：，知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。若時(shí)，代入狀態(tài)方程考慮到初始狀態(tài)，解得：，消t得：，同理，若時(shí)，解得：，消t得：，即開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)方程為：開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)圖如下：本題初始點(diǎn)A(1，1),最優(yōu)控制曲線(xiàn)如上圖，最優(yōu)控制律為u={-1，+1}。3-33已知受控系統(tǒng)，目標(biāo)集為，試求由目標(biāo)集外的任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集的時(shí)間最優(yōu)控制律。解：哈密爾頓函數(shù)為，協(xié)態(tài)方程，邊界條件：，目標(biāo)集約束：，由極小值條件知，最優(yōu)控制律：若時(shí)，代入狀態(tài)方程，解得：，消t得相軌跡方程：；同理，若時(shí)，解得：，消t得相軌跡方程：；由相軌跡方程與目標(biāo)集相切且滿(mǎn)足末態(tài)要求的相軌跡曲線(xiàn)：，，所以系統(tǒng)的開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)開(kāi)關(guān)曲線(xiàn)圖如下所示：相軌跡如上圖所示：ⅰ、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域或上時(shí)，知最優(yōu)控制為終于上半圓；ⅱ、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域或上時(shí)，知最優(yōu)控制為終于下半圓；ⅲ、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域中，知最優(yōu)控制為；ⅳ、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域中，知最優(yōu)控制為；3-42已知系統(tǒng)方程，控制約束|u（t）|1。試求以切換時(shí)間表示的時(shí)間-燃料最優(yōu)控制u*（t），使性能指標(biāo)取極小值，并求最優(yōu)控制J*。解：哈密頓函數(shù)為：由，解得：由極小值條件知：，因?yàn)槌鯌B(tài)=知時(shí)間—燃料最優(yōu)控制為：，設(shè)的切換時(shí)間為和，則有①當(dāng)時(shí)，有u=-1，初態(tài)=，由狀態(tài)方程得：②當(dāng)時(shí)，u=0，初態(tài)為：，由狀態(tài)方程解得：。當(dāng)時(shí)，u=+1，初態(tài)為：，由狀態(tài)方程解得：。末態(tài)值求得，，于是時(shí)間—燃料最優(yōu)控制為：，，從而有。4-4設(shè)二階離散系統(tǒng)試求使性能指標(biāo)：為極小的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線(xiàn)。解：本題為二級(jí)最優(yōu)決策問(wèn)題，其中、不受約束。令N=2，k=1時(shí)：，=0，所以由于不受約束：，求得：。將結(jié)果代入得：。令N=1，k=0時(shí)：，=0，所以=，代入初始值，求得：，，，，，，于是本題的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線(xiàn)及最優(yōu)代價(jià)分別為：，，，，4-13已知二階系統(tǒng)，，性能指標(biāo)：試用連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線(xiàn)。解：解：（1）由題意可得：，，，，令,得，顯然{A，b}可控，{A，D}可觀，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：，代入A,b，Q，r可得:,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)控制指標(biāo):,將代入狀態(tài)方程，得閉環(huán)系統(tǒng)方程：代入初始值解得：將、代入狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制，求得：。4-14已知系統(tǒng)方程：，性能指標(biāo)：，試確定該系統(tǒng)的哈密頓-雅可比方程。解：令哈密頓函數(shù)為：由于不受約束，則，由最優(yōu)解的充分條件知：，代入，得：。因?yàn)橄到y(tǒng)是時(shí)不變的，并且性能指標(biāo)的被積函數(shù)不是時(shí)間的顯函數(shù)，故，則有。在性能指標(biāo)中，令，得邊界條件：。所以本題的哈密頓—雅可比方程為：5-8給下列二階系統(tǒng)：，試確定最優(yōu)控制，使下列性能指標(biāo)極?。航猓涸擃}為有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。由題意得：令，代入黎卡提方程：，代入A,b，Q，r，邊界條件：,,即：解得：,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)性能指標(biāo):。5-10已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程：，性能指標(biāo)極?。涸嚧_定最優(yōu)控制。解：該題為無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。由題意得：，令,得，，，故{A，b}可控，{A，D}可觀，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：，代入A,B，Q，R解得：,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)性能指標(biāo):。5-20已知為具有性質(zhì)的李亞普諾夫函數(shù)。其中，滿(mǎn)足式。試用李亞普諾夫穩(wěn)定性定理證明最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明：取二次型函數(shù)：，對(duì)于由于>0必有。所以李亞普諾夫函數(shù)。，將代入，整理得：=，又由，知，代入整理得：，即：。所以知，為負(fù)定。又顯然。根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性定理，最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定。6-2設(shè)有二次積分模型：，，性能指標(biāo)：，試求使性能指標(biāo)極小的最優(yōu)控制，并求最優(yōu)性能指標(biāo)。解:由題意可知：，，，Q=1，，，R=4。因?yàn)閞ank[BAB]=rank=2，rank=rank=2rank=rank=2,所以，{A,B}可控，{A,C}可觀，{A,D}可觀，故可以構(gòu)造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。,設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：得：得>0，此時(shí)：=，最優(yōu)性能指標(biāo)：。6-3已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：，性能指標(biāo)：，試求使性能指標(biāo)極小并使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最優(yōu)控制。解:由題意可知：，，，Q=100，，，R=1。因?yàn)閞ank[BAB]=rank=2，rank=rank=2rank=rank=2,所以，{A,B}可控，{A,C}可觀，{A,D}可觀，故可以構(gòu)造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。,設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：得：，解得，此時(shí)：=，將代入狀態(tài)方程得：，解得閉環(huán)系統(tǒng)特征值為：所以閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的?！?.6-10設(shè)用控制系統(tǒng)可以自動(dòng)地保持潛艇的深度，潛艇從艇尾水平角到實(shí)際深度的傳遞函數(shù)，可以近似為：，試設(shè)計(jì)控制律，使性能指標(biāo)最小。其中希望深度=100。假定，實(shí)際深度可用壓力傳感器測(cè)量，并可用于反饋。解：………………………..8-2設(shè)二階系統(tǒng)方程：，控制約束。性能指標(biāo)式中自由。試驗(yàn)證系統(tǒng)能否出現(xiàn)奇異弧。解:本例為線(xiàn)性定常系統(tǒng)，積分型性能指標(biāo)、自由的最優(yōu)控制問(wèn)題。構(gòu)造哈密頓函數(shù)：，根據(jù)極小值原理可知，相應(yīng)于正?；《蔚淖顑?yōu)控制為如下邦-邦控制：邦-邦弧段滿(mǎn)足下列正則方程：函數(shù)H線(xiàn)性依賴(lài)于，所以可能存在奇異弧。在奇異弧上必有：解方程組知：得異最優(yōu)解：，即系統(tǒng)有奇異解。8-6已知系統(tǒng)方程，控制約束。性能指標(biāo)試用奇異調(diào)節(jié)器方法求奇異最優(yōu)控制.解：首先對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行線(xiàn)性變換。令得修正奇異調(diào)節(jié)器系統(tǒng)狀態(tài)方程：，式中即：設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：：解得：,此時(shí)，式中,即，則原奇異調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制9-3設(shè)隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為，且滿(mǎn)足下列方程：試證明：x(t)的均值和方差陣分別為：證明：x(t)的均值滿(mǎn)足以下矩陣微分方程：其解為：證得一式。應(yīng)滿(mǎn)足又可得證畢。9-5設(shè)隨機(jī)系統(tǒng)方程為，式中與為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲，其方差為和。試求最優(yōu)控制，使下列性能指標(biāo)極?。菏街?。解：依據(jù)定理9-7（線(xiàn)性連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)分離定理），可知F＝1，G＝1，H＝1，Q＝0，R＝……………（1）（1）式中狀態(tài)反饋增益矩陣…………（2）而滿(mǎn)足下列Riccati矩陣微分方程及其邊界條件：…………（3）解出（3）式微分方程：…………（4）將（4）式代入（2）式得到：…………（5）由以下Kalman濾波方程給出：………（6）（6）式中Kalman增益矩陣………（7）而滿(mǎn)足以下Riccati矩陣微分方程及初始條件：………（8）解出（8）式微分方程：……（9）將（9）式代入（7）式得到：………（10）現(xiàn)在，只要由（10）式代入（6）式即可解出：………（11）將（5）式和（11）代入（1）式，即可算出最優(yōu)控制……圖9.5隨機(jī)輸出反饋調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖9-6設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測(cè)方程為：，式中是零均值高斯白噪聲序