賦值法的解題功能

PAGEPAGE2賦值法的解題功能浙江省奉化中學(xué)孫偉奇315500所謂賦值，就是給命題中某些字母（或量）賦上一定的數(shù)值，這樣做，常可以打通解題思路、簡(jiǎn)化某些解題過(guò)程，收到以簡(jiǎn)馭繁、化難為易的效果．本文就賦值法的解題功能談?wù)勛约旱墓芤姡?、探路功能?duì)變量賦以某些滿足命題條件的特殊值，常能有效地打通解題思路．例1、求1，2，3，……，中所以數(shù)字之和．分析：取，易求出數(shù)字和為，其特點(diǎn)是“數(shù)字和”通過(guò)“數(shù)值和”而求得．再取，即求1，2，3，……，99中所有的數(shù)字的和，依照上述“數(shù)值和”的配對(duì)方法：1+99=100，2+98=100，…，不能得出數(shù)字和：1+9+9=19，2+9+8=19，…，究其原因，是配對(duì)中的進(jìn)位干擾，造成了數(shù)字和的失真，若能找到一個(gè)不進(jìn)位的的配對(duì)，如1+98=99，則兩邊的數(shù)字和與數(shù)值和就完全統(tǒng)一起來(lái)了．據(jù)此，我們?cè)O(shè)中的所有數(shù)字和為則解：=２、篩選功能這里的篩選包括“篩”和“選”兩種形式?！昂Y”就是把一些特殊的不滿足條件的元素篩除，“選”就是把一些特殊的滿足條件元素選出。例2、對(duì)于每一對(duì)實(shí)數(shù)函數(shù)滿足，若則滿足的整數(shù)有多少對(duì)？解：將代入已知式可得：……①（1）用連續(xù)代入①可知為正整數(shù)時(shí)，對(duì)于正整數(shù)有，從而可知無(wú)大于1的整數(shù)解，又……②，得，現(xiàn)有，以及對(duì)有，這樣對(duì)有無(wú)小于的整數(shù)解，由此得滿足的整數(shù)有2個(gè)。以上對(duì)所進(jìn)行的賦值，不僅起到了“篩”的作用，也發(fā)揮了“選”的功能。３、轉(zhuǎn)化功能大家熟知的多項(xiàng)式的因式分解，是一種帶有較強(qiáng)技巧性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于一些次數(shù)較高或元數(shù)較多的多項(xiàng)式因式分解，解答就更加困難，而利用賦值法可把式中的字母用數(shù)字代換，這樣因式分解的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為質(zhì)因數(shù)的分解問(wèn)題，從而“化難為易”．例3、因式分解解：用10代將924分解質(zhì)因數(shù)：考慮到常數(shù)項(xiàng)是進(jìn)行適當(dāng)組合：４、構(gòu)造功能通過(guò)賦值構(gòu)造一些等式也是賦值法的一個(gè)常用的解題功能例4、因式分解解：設(shè)原式可以分解為,令則上式變?yōu)樗裕?可得.經(jīng)檢驗(yàn)知，原式＝例5、（2001年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）若的展開式為的值．解：令令則以上三式相加得：本題利用賦值法．首先，令，其次，又令．構(gòu)造出三個(gè)等式，然后通過(guò)疊加，巧妙的得出了結(jié)果．5、模式識(shí)別功能我們知道解題中生發(fā)思路的過(guò)程，就其實(shí)質(zhì)而言是模式識(shí)別與模式構(gòu)造的過(guò)程，而恰到好處的賦值有時(shí)可以幫助我們將待解決的陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個(gè)我們比較熟悉的問(wèn)題．例5、在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)處，一個(gè)標(biāo)以紅色，一個(gè)標(biāo)以藍(lán)色，在線段中間插入個(gè)分點(diǎn)，在各個(gè)分點(diǎn)上隨意地標(biāo)上紅色或者藍(lán)色，這樣就把原來(lái)的線段分成為段不重合的線段，這些小線段的兩端顏色不同叫做標(biāo)準(zhǔn)線段．試證：標(biāo)準(zhǔn)線段的個(gè)數(shù)是奇數(shù)．證明：這是一道可用數(shù)學(xué)歸納法證明的問(wèn)題，其思路和證明過(guò)程是較復(fù)雜的．現(xiàn)先把這些涂色的點(diǎn)賦值，比如紅色賦上，再把這些賦了值的點(diǎn)在圖上標(biāo)出，然后把相鄰點(diǎn)間連以線段，組成折線，這些標(biāo)準(zhǔn)線段都穿過(guò)線段AB，而非標(biāo)準(zhǔn)線段則不然．（如圖）因A、B異色，它們分別賦以,這樣折線穿過(guò)線段AB的次數(shù)應(yīng)為奇數(shù)，些即說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)為奇數(shù)．例6、男女若干人圍坐一圓桌，若相鄰為同性者中間插一紅花，異性者中間插一藍(lán)花，若所插紅花與藍(lán)花朵數(shù)一樣，則男女總?cè)藬?shù)必是4的整數(shù)倍．證明：我們把男人女人分別用和表示，這樣或時(shí)插紅花，或時(shí)插藍(lán)花，即：兩“數(shù)”積為“時(shí)插紅花，為“”時(shí)插藍(lán)花，這樣問(wèn)題化為：是一種排列，它們均為或，若，則必為4的倍數(shù)．由上題的結(jié)論知，在點(diǎn)之間的標(biāo)準(zhǔn)線段個(gè)數(shù)人偶數(shù)(),即在中的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，不妨記為又這些和為0，故其中的個(gè)數(shù)亦為，故共有和()，從而證明了命題．6、批判功能對(duì)于一些些問(wèn)題解答，賦于一些特殊值可檢驗(yàn)答案是否正確，如果發(fā)現(xiàn)不對(duì)，可引導(dǎo)我們?nèi)プ穼そ獯鸬腻e(cuò)誤之所在．例6、求函數(shù)的最小正周期．分析：很多學(xué)生是這樣求解的：上述過(guò)程從表面上看，似乎沒有有問(wèn)題，但如果給予賦以特殊值，即令時(shí)，對(duì)題目中的如果周期是，那么應(yīng)有無(wú)意義，可知解答是錯(cuò)誤的．錯(cuò)誤的原因是變形擴(kuò)大了原來(lái)函數(shù)的定義域，從而影響其周期．解：考慮到原函數(shù)的定義域，應(yīng)有如下變形：且．注意到的周期為，…，但由于有意義，而不在的定義域內(nèi)故因此不是的周期，從而