河北省高考數(shù)學第一輪總復習知識點檢測 3.3對數(shù)與對數(shù)函數(shù)課件 舊人教版 課件

第三節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)基礎梳理1.對數(shù)概念(1)定義:一般地,對于指數(shù)式

,把“以a為底N的對數(shù)b”記作

,即

(a>0,且a≠1).其中a叫做對數(shù)的,N叫做.(2)對數(shù)性質(zhì)①沒有對數(shù),即;②1的對數(shù)為0,即③底的對數(shù)等于1,即(3)對數(shù)恒等式:(4)常用對數(shù):通常將叫做常用對數(shù),N的常用對數(shù)簡記為.(5)自然對數(shù):以無理數(shù)稱為自然對數(shù),N的自然對數(shù)簡記作.零和負數(shù)N>0以10為底的對數(shù)lgNe=2.71828…為底的對數(shù)lnN底數(shù)真數(shù)2.對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1);(2);(3).3.換底公式及常見結(jié)論(1)換底公式:(2)常見結(jié)論(其中a,b,c>0且a,b,c≠1):,

,

,1-14.對數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù),它的定義域為,值域為.(0,+∞)R5.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>0

0<a<1

圖像

性質(zhì)定義域值域過定點當x>0時,;當x<0時,當x>0時,;當x<0時,在(-∞,+∞)上是在(-∞,+∞)上是函數(shù)與的圖像關于對稱R（0，1）

y>0

y<0

y<0

y>0增函數(shù)減函數(shù)x軸6.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=(a>0,a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=(a>0,a≠1,x>0),它們的圖象關于直線對稱.互為反函數(shù)y=x典例分析題型一對數(shù)的運算【例1】求下列各式的值.(1)(2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值.分析關于對數(shù)運算的題目,往往需要利用對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)恒等式、換底公式等進行變形和求解.解

(1)原式=

=

=(2)由題意可得x>0,y>0,且x>2y.又lgx+lgy=2lg(x-2y),∴xy=,即-5xy+4=0,

解得x=4y(或x=y舍去).∴=4,∴=4.學后反思(1)熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式、對數(shù)恒等式是進行化簡、求值的關鍵,應用時務必要創(chuàng)造出適合公式或性質(zhì)應用的條件.(2)解(2)時要注意隱含在題目中的條件:x>2y>0,否則將導致的值出錯.舉一反三1.計算,求值.(1);(2)已知其中a>0,a≠1,求的值.解析:(1)原式==(2)根據(jù)對數(shù)的運算法則,原等式可化成∴整理得配方得,∴xy=3,x=2y,∴,∴題型二對數(shù)概念及運算性質(zhì)的綜合應用【例2】若a,b,c是均不為零的實數(shù),且.求證:.分析本題應利用對數(shù)與指數(shù)式的互化,將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)的運算.證明設=k(k>0,且k≠1),∴∴∴∴學后反思本題主要考查了兩點:(1)應用對數(shù)概念進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化;.(2)換底公式的應用:(a>0,a≠1,N>0,N≠1).舉一反三2.設x,y,z∈R+,且(1)比較3x,4y,6z的大小;(2)求證:.解析：(1)令=k,則k>1,∴∴

∵k>1,∴同理,4y-6z<0.∴3x<4y<6z.(2)證明：由(1)得∴而∴題型三對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例3】方程的實數(shù)解的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3分析在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y=與y=的圖象,然后觀察交點的個數(shù),交點個數(shù)即為方程解的個數(shù).解設,分別畫出兩個函數(shù)的圖象,如圖.從圖象上觀察與只有一個交點，所以實數(shù)解的個數(shù)為1.舉一反三3.方程的實根的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3解析：在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖象(如圖),觀察得知共有兩個不同交點.答案：

C【例4】設0<x<1,a>0,a≠1,比較與的大小.分析本題有作差法與作商法兩種思路:（1）若m-n>0,則m>n;（2）對于m>0,n>0,若>1,則m>n.解方法一:∵0<x<1,∴1<1+x<2,0<1-x<1.當0<a<1時,>0,<0,∴∵0<x<1,∴0<1-<1,∴>0,∴當a>1時,<0，>0,∴∴綜上可知,.方法二∵0<1-<1,∴0<(1+x)(1-x)<1,∴0<1-x<,∴l(xiāng)og（1+x）(1-x)<log(1+x)11+x=-1,則>1.又∵<0,∴∴學后反思

(1)作差法要注意討論a＞1與0＜a＜1兩種情況，依據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，合理去掉絕對值符號，然后判斷函數(shù)值與0的關系.(2)作商法要注意比較的兩式均同號，作商與1比較，本題是含有兩絕對值的式子，先運用對數(shù)換底公式化簡，然后去掉絕對值符號，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較與1的關系.舉一反三解析：當1<m<10時，0<lgm<1，∴

當m=10時，lgm=1,∴當m>10時，lgm>1，∴

4.比較

與(m>1)的大小.題型四對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例5】(12分)已知f(x)=(a>0且a≠1).(1)求f(x)的定義域;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.分析利用函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)知識進行求解.解

(1)由-1>0得>1,當a>1時,x>0;當0<a<1時,x<0.………………2′∴當a>1時,f(x)的定義域為(0,+∞);當0<a<1時,f(x)的定義域為(-∞,0).………4′(2)當a>1時,設0<,則1<,………5′∴0<-1<-1,∴,………7′∴.………………8′∴當a>1時,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).……10′類似地,當0<a<1時,f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù).…………12′學后反思

(1)含參數(shù)的對數(shù)問題必須要注意對底數(shù)“>1”還是“<1”的討論.(2)討論函數(shù)單調(diào)性時,應注意復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則.舉一反三5.已知f(x)=(a＞0,且a≠1).（1）求f(x)的定義域；（2）判斷f(x)的奇偶性，并予以證明.解析：∵f(x)=,令＞0,即(1+x)(1-x)＞0,（x+1）(x-1)＜0,∴-1＜x＜1,∴函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1).(2)f(x)是奇函數(shù).證明：∵f(-x)===-f(x)，∴f(x)為奇函數(shù).易錯警示【例】求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.錯解方法一：設

,則u在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;又

在定義域上單調(diào)遞減,根據(jù)同增異減的原則,函數(shù)

在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.方法二：設

,則由u>0,得-1<x<3,則

在(-1,1]上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減∴在(-1,1]上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減.錯解分析方法一忽視了函數(shù)

本身的定義域,導致出錯;方法二忽略了求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域問題時,應從內(nèi)層函數(shù)

與外層函數(shù)

兩方面結(jié)合來考慮.正解先求函數(shù)的定義域,由

,解得函數(shù)

的定義域是(-1,3).設

(-1<x<3),又設-1<≤1,則

,從而

即

.∴函數(shù)

在區(qū)間(-1,1]上單調(diào)遞減.同理可得,函數(shù)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增.考點演練10.(2008·天津)設a>1,若僅有一個常數(shù)c使得對任意x∈[a,2a]都有y∈[a,]滿足方程,這時a的取值集合為.解析：∵,∴,即y=.把看成常數(shù),則函數(shù)y=在[a,2a]上單調(diào)遞減,∴當x=a時,y=;當x=2a時,y=a.∴即∴a=2.答案：

{2}11.已知f(x)=(a>0,a≠1)(1)求f(x)的定義域;(2)當a>1時，求使f(x)>0的x的取值范圍.解析：（1）若使f(x)有意義，則

,解得-1<x<1，故所求函