2023屆湖南省長沙市鐵路第一中學數(shù)學高二下期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)，則共軛復數(shù)()A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B．C． D．3．一個圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（）平方米A． B．C． D．4．已知函數(shù)fx在R上可導，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-45．已知拋物線，過其焦點的直線交拋物線于兩點，若，則的面積（為坐標原點）為（）A． B． C． D．6．若，則為（）A．－233 B．10 C．20 D．2337．某物體的位移（米）與時間（秒）的關(guān)系為，則該物體在時的瞬時速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒8．已知為的一個對稱中心，則的對稱軸可能為（）A． B． C． D．9．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．10．直線與拋物線交于，兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于（）A． B． C．4 D．211．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．512．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．年齡在60歲（含60歲）以上的人稱為老齡人，某小區(qū)的老齡人有350人，他們的健康狀況如下表：其中健康指數(shù)的含義是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能夠自理”，代表“生活不能自理”，按健康指數(shù)大于0和不大于0進行分層抽樣，從該小區(qū)的老齡人中抽取5位，并隨機地訪問其中的3位，則被訪問地3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為___14．高三某位同學參加物理、化學、政治科目的等級考，已知這位同學在物理、化學、政治科目考試中達A的概率分別為、、，這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個A的概率為____15．在一棟6層樓房里，每個房間的門牌號均為三位數(shù)，首位代表樓層號，后兩位代表房間號，如218表示的是第2層第18號房間，現(xiàn)已知有寶箱藏在如下圖18個房間里的某一間，其中甲同學只知道樓層號，乙同學只知道房間號，不知道樓層號，現(xiàn)有以下甲乙兩人的一段對話：甲同學說：我不知道，你肯定也不知道；乙同學說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了；甲同學說：我也知道了.根據(jù)上述對話，假設甲乙都能做出正確的推斷，則藏有寶箱的房間的門牌號是______.16．已數(shù)列，令為，，，中的最大值2，，，則稱數(shù)列為“控制數(shù)列”，數(shù)列中不同數(shù)的個數(shù)稱為“控制數(shù)列”的“階數(shù)”例如：為1，3，5，4，2，則“控制數(shù)列”為1，3，5，5，5，其“階數(shù)”為3，若數(shù)列由1，2，3，4，5，6構(gòu)成，則能構(gòu)成“控制數(shù)列”的“階數(shù)”為2的所有數(shù)列的首項和是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年春節(jié)，“搶紅包”成為社會熱議的話題之一．某機構(gòu)對春節(jié)期間用戶利用手機“搶紅包”的情況進行調(diào)查，如果一天內(nèi)搶紅包的總次數(shù)超過10次為“關(guān)注點高”，否則為“關(guān)注點低”，調(diào)查情況如下表所示：關(guān)注點高關(guān)注點低總計男性用戶5女性用戶78總計1016（1）把上表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與關(guān)注點高低有關(guān)？（2）現(xiàn)要從上述男性用戶中隨機選出3名參加一項活動，以表示選中的男性用戶中搶紅包總次數(shù)超過10次的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標方程；（2）設動點在圓上，動線段的中點的軌跡為，與直線交點為，且直角坐標系中，點的橫坐標大于點的橫坐標，求點的直角坐標.19．（12分）在銳角三角形中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，求的值.20．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）在平面直角坐標系中,曲線過點,其參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為．求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；已知曲線和曲線交于兩點，且，求實數(shù)的值．22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：首先求得復數(shù)z，然后求解其共軛復數(shù)即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復數(shù).本題選擇B選項.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的概念等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、D【解析】

求解不等式可得，據(jù)此結(jié)合交集、并集、子集的定義考查所給的選項是否正確即可.【詳解】求解不等式可得，則：，選項A錯誤；，選項B錯誤；，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定義及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3、D【解析】分析：由已知可得水對應的幾何體是一個以截面中陰影部分為底，以9為高的柱體，求出底面面積，代入柱體體積公式，可得答案．詳解：由已知中罐子半徑是4米，水深2米，故截面中陰影部分的面積S=平方米，又由圓柱形的罐子的高h=9米，故水的體積V=Sh=48立方米，故選D．點睛：本題考查的知識點是柱體的體積公式，扇形面積公式，弓形面積公式，難度中檔．4、A【解析】

求導后代入x=1可得關(guān)于f'1【詳解】由fx=令x=1，則f'1本題正確選項：A【點睛】本題考查導數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)導數(shù)運算法則得到導函數(shù)的解析式，屬于基礎題.5、B【解析】

首先過作，過作（為準線），，易得，.根據(jù)直線：與拋物線聯(lián)立得到，根據(jù)焦點弦性質(zhì)得到，結(jié)合已知即可得到，再計算即可.【詳解】如圖所示：過作，過作（為準線），.因為，設，則，.所以.在中，，所以.則.，直線為.，.所以，.在中，.所以.故選：B【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，同時考查焦點弦的性質(zhì)，屬于中檔題.6、A【解析】

對等式兩邊進行求導，當x＝1時，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【詳解】對等式兩邊進行求導，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故選A．【點睛】本題考查了二項式定理與導數(shù)的綜合應用問題，考查了賦值法求解二項展開式的系數(shù)和的方法，利用導數(shù)得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】

根據(jù)導數(shù)的物理意義，求導后代入即可.【詳解】由得：當時，即該物體在時的瞬時速度為：米/秒本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查導數(shù)的物理意義，屬于基礎題.8、B【解析】

由題意首先確定的值，然后求解函數(shù)的對稱軸即可.【詳解】由題意可知，當時，，據(jù)此可得：，令可得，則函數(shù)的解析式為，函數(shù)的對稱軸滿足：，解得：，令可知函數(shù)的一條對稱軸為，且很明顯選項ACD不是函數(shù)的對稱軸.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，三角函數(shù)對稱軸方程的求解等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9、C【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．【詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【點睛】本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應用問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．10、B【解析】直線4kx﹣4y﹣k=0可化為k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直線恒過定點（，0）∵拋物線y2=x的焦點坐標為（，0），準線方程為x=﹣，∴直線AB為過焦點的直線∴AB的中點到準線的距離∴弦AB的中點到直線x+=0的距離等于2+=.故選B．點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應用結(jié)論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化．11、C【解析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準線方程l：x＝﹣1，準線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．12、C【解析】

據(jù)題意可知兩個圓的圓心分別為，；半徑分別為1和4；圓心距離為5，再由半徑長度與圓心距可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】設兩個圓的半徑分別為和，因為圓的方程為與圓所以圓心坐標為，圓心距離為5，由，可知兩圓外切，故選C.【點睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先確定抽取5位中健康指數(shù)大于0和不大于0的人數(shù)，再根據(jù)古典概型概率求解.【詳解】因為350人中健康指數(shù)大于0和不大于0各有280，70人，所以根據(jù)分層抽樣抽取5位中健康指數(shù)大于0和不大于0的人數(shù)分別為4，1；因此被訪問地3位老齡人中恰有1位老齡人的健康指數(shù)不大于0的概率為故答案為：【點睛】本題考查分層抽樣以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、【解析】

先求對立事件概率：三門科目考試成績都不是A，再根據(jù)對立事件概率關(guān)系求結(jié)果.【詳解】這位考生三門科目考試成績都不是A的概率為，所以這位考生至少得1個A的概率為故答案為：【點睛】本題考查利用對立事件求概率，考查基本分析求解能力，屬基礎題.15、325【解析】

利用演繹推理分析可得．根據(jù)房間號只出現(xiàn)一次的三個房間排除一些樓層，再在剩下的房間排除篩選可得．【詳解】甲同學說：我不知道，你肯定也不知道；由此可以判斷甲同學的樓層號不是1，4，6，因為房間號01，15，29都只出現(xiàn)一次，假設甲知道樓層號是1樓，若乙拿到的是01，則乙同學肯定知道自己的房間，所以甲肯定不是1層，同理可得甲也不是4，6層.101107126208211219311318325408415425507518526611619629所以只有以下可能的房間：208211219311318325507518526乙同學說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了；由此可知，乙同學通過甲的信息，排除了1，4，6層，在2，3，5層中，由于211，311都是11號，所以乙同學的房間號肯定不是11號，同理排除了318和518.208211219311318325507518526所以只有以下可能的房間：208219325507526最后甲同學說：我也知道了，只有可能是325，因為只有3層的房間號是唯一的.由此判斷出藏有寶箱的門牌號是325.【點睛】本題考查演繹推理，掌握推理的概念是解題基礎．16、1044【解析】

根據(jù)新定義，分別利用排列、組合，求出首項為1，2，3，4，5的所有數(shù)列，再求出和即可．【詳解】依題意得，首項為1的數(shù)列有1，6，a，b，c，d，故有種，首項為2的數(shù)列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有種，首項為3的數(shù)列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有種，首項為4的數(shù)列有種，即4，6，a，b，c，d，有種，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有種，4，a，b，6，c，d，其中a，2，，則有種，4，a，b，c，6，d，其中a，b，2，，則有6種，首項為5的數(shù)列有種，即5，6，a，b，c，d，有種，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有種，5，a，b，6，c，d，其中a，2，3，，則有種，5，a，b，c，6，d，其中a，b，2，3，，則有24種，5，a，b，c，d，6，其中a，b，c，2，3，，則有24種，綜上，所有首項的和為．故答案為1044【點睛】本題主要考查了排列組合，考查了新定義問題，屬于難題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與關(guān)注點高低有關(guān)．（2）見解析，【解析】

（1）先補充列聯(lián)表，再根據(jù)公式求出的觀測值并與1.841比較大小，從而得出結(jié)論；（2）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，1，結(jié)合組合數(shù)求出相應概率，由此可得分布列與期望．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得列聯(lián)表如下：關(guān)注點高關(guān)注點低總計男性用戶158女性用戶718總計10616的觀測值為，所以，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與關(guān)注點高低有關(guān)；（2）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，1．，，，．得的分布列為0121．【點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查計算能力，屬于中檔題．18、(1)的直角坐標方程是.直線的普通方程為.(2).【解析】

（1）消去參數(shù)后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.（2）設點，則，利用在橢圓上可得的直角方程，聯(lián)立直線的普通方程和的直角坐標方程可得的直角坐標.【詳解】解：（1）由，得，將互化公式代上式，得，故圓的直角坐標方程是.由，得，即.所以直線的普通方程為.（2）設點.由中點坐標公式得曲線的直角坐標方程為.聯(lián)立，解得，或.故點的直角坐標是.【點睛】極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標，關(guān)鍵是，而直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標，關(guān)鍵是．參數(shù)方程化為直角方法，關(guān)鍵是消去參數(shù)，消參的方法有反解消參、平方消參、交軌法等．19、（1）；（2）1【解析】

(1)利用二倍角公式化簡即得A的值.(2)先利用正弦定理化簡得，再利用余弦定理求a的值.【詳解】⑴,又因為為銳角三角形，，，.⑵，，，.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.20、(1).(2).【解析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標系，求出，D，M四點的坐標寫出對于的向量坐標，然后根據(jù)向量的夾角公式求解即可；（2）先根據(jù)坐標系求出平面的法向量，然后寫出向量，在根據(jù)向量夾角公式即可求解.詳解：在正四